10. 有甲、乙两个溢水杯，甲溢水杯中盛满酒精，乙溢水杯中盛满某种液体。将一个不吸水的小球轻轻放入甲溢水杯中，小球下沉到杯底，溢出酒精的质量是40 g；将小球从甲溢水杯中取出擦干，轻轻放入乙溢水杯中，小球漂浮且有$\frac{1}{11}$的体积露出液面，溢出液体的质量是50 g。（$\rho_{酒精}=0.8×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$g = 10\ \mathrm{N/kg}$）求：
（1）小球的体积。
（2）乙溢水杯中液体的密度。

解：
(1) 小球浸没在盛满酒精的甲溢水杯中，小球的体积等于溢出酒精的体积。
已知$\rho_{酒精}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得小球的体积：
$V=V_{\mathrm{排酒精}}=\frac{m_{\mathrm{排酒精}}}{\rho_{\mathrm{酒精}}}=\frac{40\ \mathrm{g}}{0.8\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
(2) 小球在乙溢水杯中漂浮，由漂浮条件和阿基米德原理可知，小球所受浮力等于自身重力，也等于排开液体的重力，因此小球的质量：
$m_{\mathrm{球}}=m_{\mathrm{排液}}=50\ \mathrm{g}$
小球排开液体的体积：
$V_{\mathrm{排液}}=(1-\frac{1}{11})V=\frac{10}{11}×50\ \mathrm{cm}^3=\frac{500}{11}\ \mathrm{cm}^3$
由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{液}}gV_{\mathrm{排液}}=G_{\mathrm{球}}=m_{\mathrm{球}}g$，约去g可得：
$\rho_{\mathrm{液}}V_{\mathrm{排液}}=m_{\mathrm{球}}$
代入数据解得乙溢水杯中液体的密度：
$\rho_{\mathrm{液}}=\frac{m_{\mathrm{球}}}{V_{\mathrm{排液}}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{\frac{500}{11}\ \mathrm{cm}^3}=1.1\ \mathrm{g/cm}^3=1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
答：(1) 小球的体积为$50\ \mathrm{cm}^3$；(2) 乙溢水杯中液体的密度为$1.1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。