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12. [2025·马鞍山和县期中]已知 $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-3$，求$(x+y)^{2025}$ 的值.
答案
解:由题意知$\begin{cases} x-2≥0,\\ 2-x≥0, \end{cases}$解得$x=2$,$\therefore y=-3$,$\therefore(x+y)^{2025}=(2-3)^{2025}=-1$.
解析
【分析】
要计算$(x+y)^{2025}$的值，需先求出x和y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的规则，被开方数必须是非负数，因此可以列出关于x的不等式组，解出x的取值后代入原式求出y，最后将x、y代入待求式计算结果即可。
【解析】
解：要使$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足被开方数非负，列不等式组得：
$\begin{cases} x-2≥0,\\ 2-x≥0, \end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-3$，得$y=0+0-3=-3$。
将$x=2$、$y=-3$代入$(x+y)^{2025}$得：
$(x+y)^{2025}=(2-3)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用二次根式被开方数非负的性质确定x的取值，只要掌握二次根式的相关性质即可顺利求解，计算时注意负数的奇次幂仍为负数。
【难度系数】
0.8
要计算$(x+y)^{2025}$的值，需先求出x和y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的规则，被开方数必须是非负数，因此可以列出关于x的不等式组，解出x的取值后代入原式求出y，最后将x、y代入待求式计算结果即可。
【解析】
解：要使$\sqrt{x-2}$和$\sqrt{2-x}$有意义，需满足被开方数非负，列不等式组得：
$\begin{cases} x-2≥0,\\ 2-x≥0, \end{cases}$
解不等式$x-2≥0$得$x≥2$，解不等式$2-x≥0$得$x≤2$，因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-3$，得$y=0+0-3=-3$。
将$x=2$、$y=-3$代入$(x+y)^{2025}$得：
$(x+y)^{2025}=(2-3)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值，乘方运算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用二次根式被开方数非负的性质确定x的取值，只要掌握二次根式的相关性质即可顺利求解，计算时注意负数的奇次幂仍为负数。
【难度系数】
0.8
13. [2025·合肥蜀山区期末](1)若$2＜c＜8$,化简:$\sqrt{c^2 + 4 - 4c} - \sqrt{\frac{1}{4}c^2 - 4c + 16}$；
(2)若化简$|1 - a| - \sqrt{a^2 - 8a + 16}$的结果是$2a - 5$,求实数$a$的取值范围.
(2)若化简$|1 - a| - \sqrt{a^2 - 8a + 16}$的结果是$2a - 5$,求实数$a$的取值范围.
答案
解:(1)$\because2＜c＜8$,$\therefore$原式$=\sqrt{(c-2)^2}-\sqrt{\dfrac{1}{4}(c-8)^2}=|c-2|-\dfrac{1}{2}|c-8|=c-2-\dfrac{1}{2}(8-c)=\dfrac{3}{2}c-6$.
(2)$\because|1-a|-\sqrt{a^2-8a+16}=|1-a|-|a-4|=2a-5$,$\therefore|1-a|-|a-4|=(a-1)-(4-a)$
$\therefore\begin{cases} 1-a≤0,\\ a-4≤0, \end{cases}\therefore1≤ a≤4$.
(2)$\because|1-a|-\sqrt{a^2-8a+16}=|1-a|-|a-4|=2a-5$,$\therefore|1-a|-|a-4|=(a-1)-(4-a)$
$\therefore\begin{cases} 1-a≤0,\\ a-4≤0, \end{cases}\therefore1≤ a≤4$.
解析
【分析】
(1) 化简带二次根式的式子时，首先观察根号内的多项式，可利用完全平方公式将其变形为平方的形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号；接下来结合已知条件$2＜c＜8$，判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 先将式子中的二次根式利用完全平方公式变形，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$转化为两个绝对值的差的形式；已知化简结果为$2a-5$，对比绝对值去符号后的运算结果，即可得到绝对值内式子的正负限制，列出不等式组求解就能得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) $\because 2＜c＜8$
$\therefore$ 先对原式根号内的式子配方变形：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{c^2-4c+4}-\sqrt{\frac{1}{4}(c^2-8c+16)}\\&=\sqrt{(c-2)^2}-\sqrt{(\frac{1}{2}(c-8))^2}\\&=|c-2|-\frac{1}{2}|c-8|\end{aligned}$
$\because 2＜c＜8$，$\therefore c-2＞0$，$c-8＜0$
去绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=c-2-\frac{1}{2}(8-c)\\&=c-2-4+\frac{1}{2}c\\&=\frac{3}{2}c-6\end{aligned}$
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}|1-a|-\sqrt{a^2-8a+16}&=|1-a|-\sqrt{(a-4)^2}\\&=|1-a|-|a-4|\end{aligned}$
已知化简结果为$2a-5$，即$|1-a|-|a-4|=2a-5=(a-1)-(4-a)$，可得绝对值去符号的条件：
$\begin{cases}1-a≤0\\a-4≤0\end{cases}$
解不等式组得$1≤ a≤4$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{2}c-6$；(2) $1≤ a≤4$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型常考题，解题核心是熟练掌握二次根式与绝对值的转化关系$\sqrt{a^2}=|a|$，化简时需结合已知条件或化简结果判断绝对值内代数式的正负，重点要注意去绝对值时的符号判断，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 化简带二次根式的式子时，首先观察根号内的多项式，可利用完全平方公式将其变形为平方的形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号；接下来结合已知条件$2＜c＜8$，判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 先将式子中的二次根式利用完全平方公式变形，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$转化为两个绝对值的差的形式；已知化简结果为$2a-5$，对比绝对值去符号后的运算结果，即可得到绝对值内式子的正负限制，列出不等式组求解就能得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) $\because 2＜c＜8$
$\therefore$ 先对原式根号内的式子配方变形：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{c^2-4c+4}-\sqrt{\frac{1}{4}(c^2-8c+16)}\\&=\sqrt{(c-2)^2}-\sqrt{(\frac{1}{2}(c-8))^2}\\&=|c-2|-\frac{1}{2}|c-8|\end{aligned}$
$\because 2＜c＜8$，$\therefore c-2＞0$，$c-8＜0$
去绝对值得：
$\begin{aligned}原式&=c-2-\frac{1}{2}(8-c)\\&=c-2-4+\frac{1}{2}c\\&=\frac{3}{2}c-6\end{aligned}$
(2) 先化简原式：
$\begin{aligned}|1-a|-\sqrt{a^2-8a+16}&=|1-a|-\sqrt{(a-4)^2}\\&=|1-a|-|a-4|\end{aligned}$
已知化简结果为$2a-5$，即$|1-a|-|a-4|=2a-5=(a-1)-(4-a)$，可得绝对值去符号的条件：
$\begin{cases}1-a≤0\\a-4≤0\end{cases}$
解不等式组得$1≤ a≤4$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{2}c-6$；(2) $1≤ a≤4$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型常考题，解题核心是熟练掌握二次根式与绝对值的转化关系$\sqrt{a^2}=|a|$，化简时需结合已知条件或化简结果判断绝对值内代数式的正负，重点要注意去绝对值时的符号判断，避免出错。
【难度系数】
0.7
