1. 若$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{\frac{x+1}{2-x}}$成立，则$x$的值可以是 （）

A.$-2$
B.$0$
C.$2$
D.$3$

1.B

【分析】
这道题考查二次根式除法运算的成立条件，解题时首先要明确$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$成立的前提：分子的被开方数为非负数，分母的被开方数为正数（因为分母不能为0）。我们先根据这个条件列出关于x的不等式组，解出x的取值范围，再逐一判断选项中的数值是否在取值范围内即可得到答案。
【解析】
要使等式$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{\frac{x+1}{2-x}}$成立，需满足二次根式有意义且分母不为0，因此列不等式组：
$\begin{cases}x+1≥0 \\2-x＞0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥-1$
解第二个不等式得：$x＜2$
即x的取值范围为$\boldsymbol{-1≤ x＜2}$。
逐一核对选项：
A.$-2＜-1$，不符合取值范围，排除；
B.$-1≤0＜2$，符合取值范围；
C.$2$不满足$x＜2$，排除；
D.$3＞2$，不符合取值范围，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记二次根式除法法则的成立条件，尤其注意分母的被开方数必须大于0，避免误将分母的条件写为≥0导致错选。
【难度系数】
0.8

2. 下列各式计算正确的是（）

A.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 9$
B.$\sqrt{48} ÷ \sqrt{16} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{20} ÷ \sqrt{4} = 4$
D.$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{9}} = 3\sqrt{2}$

2.B

【分析】
本题考查二次根式的除法运算，解题时先回忆二次根式的除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），接下来依次对四个选项按法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3 ≠ 9$，计算错误；
选项B：$\sqrt{48} ÷ \sqrt{16} = \sqrt{\dfrac{48}{16}} = \sqrt{3}$，计算正确；
选项C：$\sqrt{20} ÷ \sqrt{4} = \sqrt{\dfrac{20}{4}} = \sqrt{5} ≠ 4$，计算错误；
选项D：$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3} ÷ \dfrac{1}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{3} × 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ≠ 3\sqrt{2}$，计算错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式除法运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式除法法则的应用，解题关键是牢记运算法则，计算完成后注意将结果化为最简二次根式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

3. 当$a＜0,b＜0$时，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$化为最简二次根式的结果是 （）

A.$\dfrac{1}{b}\sqrt{ab}$
B.$-\dfrac{1}{b}\sqrt{ab}$
C.$-\dfrac{1}{b}\sqrt{-ab}$
D.$b\sqrt{ab}$

3.B

【分析】
要化简二次根式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$，首先明确两个核心要点：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是最简二次根式要求被开方数不含分母。已知$a＜0,b＜0$，先判断$\dfrac{a}{b}$的符号确定根式有意义，再通过分母有理化去掉根号内的分母，化简时结合二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$和$b$的取值范围去掉绝对值，即可得到正确结果。
【解析】
解：$\because a＜0,b＜0$
$\therefore \dfrac{a}{b}＞0$，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$有意义，且$ab＞0$
对$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$进行分母有理化：
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{a· b}{b· b}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥ 0,n＞0$），可得：
$\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$
又$\because \sqrt{b^2}=|b|$，且$b＜0$，$\therefore |b|=-b$
代入得：$\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}=-\dfrac{1}{b}\sqrt{ab}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，最简二次根式，分母有理化
【点评】
本题易错点是忽略$b＜0$的条件，直接将$\sqrt{b^2}$化简为$b$误选A。解题时要结合字母的取值范围，正确运用二次根式的性质化简，避免符号错误。
【难度系数】
0.6

4. 若要在$(5\sqrt{2}-\sqrt{2})□\sqrt{2}$的“$□$”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填（）

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

4.C

【分析】
要确定使计算结果最大的运算符号，首先先化简括号内的二次根式，再依次将+、-、×、÷四个运算符号代入计算出对应结果，最后比较四个结果的大小，结果最大的对应的运算符号即为正确选项。
【解析】
先计算括号内的部分：
$5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
分别代入不同运算符号计算结果：
1. 填“$+$”时：$4\sqrt{2}+\sqrt{2}=5\sqrt{2}\approx7.07$
2. 填“$-$”时：$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\approx4.24$
3. 填“$×$”时：$4\sqrt{2}×\sqrt{2}=4×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=4×2=8$
4. 填“$÷$”时：$4\sqrt{2}÷\sqrt{2}=4$
比较结果大小：$8＞7.07＞4.24＞4$，因此填“$×$”时计算结果最大。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是先化简括号内的二次根式，再分别计算不同运算对应的结果比较即可，侧重考查基本运算能力。
【难度系数】
0.8

5. 计算$\sqrt{27} - \sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{9}}$的结果是________.

5.$2\sqrt{3}$

【分析】
这是二次根式混合运算题，解题遵循"先乘除后加减"的运算顺序：第一步先算乘法部分$\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{9}}$，可先将各二次根式化简为最简形式再计算乘法，也可直接用二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算；第二步将被减数$\sqrt{27}$化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：按运算顺序分步计算：
1. 化简二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$
2. 计算乘法项：
$\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{9}}=3\sqrt{3}×\frac{1}{3}=\sqrt{3}$
3. 计算减法：
$\sqrt{27} - \sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{9}}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘法运算、二次根式加减运算
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，运算规则和整式混合运算一致，牢记二次根式运算法则、熟练掌握最简二次根式化简方法即可顺利求解，计算时注意不要混淆运算顺序。
【难度系数】
0.8

6. [2025·合肥蜀山区期末]若$\sqrt{2} × \sqrt{20} = \sqrt{2} × m\sqrt{5} = m\sqrt{m}$，则$m - n =$.

6.$-8$

【分析】
解题思路分三步开展：第一步，利用二次根式的性质化简√20，将其变形为“系数×√5”的形式，和等式中的√2×m√5进行对比，即可求出m的值；第二步，运用二次根式的乘法法则计算√2×√20的结果，将其化为最简二次根式，得到“m×√n”的形式，进而求出n的值；第三步，把求得的m、n代入m-n中计算，就能得到最终结果。
【解析】
1. 求m的值：
根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，化简$\sqrt{20}$得：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
对比等式$\sqrt{2} × \sqrt{20} = \sqrt{2} × m\sqrt{5}$，可得$m=2$。
2. 求n的值：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，计算原式的乘积：
$\sqrt{2} × \sqrt{20}=\sqrt{2×20}=\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$
对比等式$\sqrt{2} × \sqrt{20} = m\sqrt{n}$，结合$m=2$，可得$n=10$。
3. 计算$m-n$：
将$m=2$、$n=10$代入得：$m-n=2-10=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
二次根式化简；二次根式乘法运算；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式的化简规则和乘法法则，将等式两边的二次根式都化为最简形式后，即可通过对应关系快速求出未知参数，计算时注意要保证二次根式为最简形式再对比参数。
【难度系数】
0.7

7. 计算：
(1)$\sqrt{24}÷(\sqrt{6}+\sqrt{24})$；
(2)$(\dfrac{1}{2}\sqrt{8}+6\sqrt{\dfrac{2}{9}}-8\sqrt{\dfrac{1}{2}})÷\sqrt{2}$；

(3)$(\sqrt{3}-2)^2-\sqrt{27}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.

7.解:(1)原式$=\dfrac{2}{3}$.
(2)原式$=-1$.
(3)原式$=4-4\sqrt{3}$.

【分析】
这三道题都属于二次根式的混合运算，解题遵循二次根式运算的基本思路：①先将所有二次根式化为最简二次根式；②有括号先计算括号内的运算，也可根据运算律灵活简化计算；③涉及乘法公式的可套用整式乘法公式计算，最后合并同类二次根式得到结果。
第(1)题可先化简$\sqrt{24}$，再合并括号内的同类二次根式后做除法；第(2)题可利用除法分配律，将括号内各项分别除以$\sqrt{2}$，简化计算；第(3)题先利用完全平方公式计算平方项，再计算二次根式的乘法，最后合并即可。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
原式$=2\sqrt{6}÷(\sqrt{6}+2\sqrt{6})$
合并括号内同类二次根式：$=2\sqrt{6}÷3\sqrt{6}$
约分得：$=\dfrac{2}{3}$
(2) 利用除法分配律计算：
原式$=\dfrac{1}{2}\sqrt{8}÷\sqrt{2}+6\sqrt{\dfrac{2}{9}}÷\sqrt{2}-8\sqrt{\dfrac{1}{2}}÷\sqrt{2}$
根据$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$计算：
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{8}{2}}+6\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{9}}{2}}-8\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{4}+6\sqrt{\dfrac{1}{9}}-8\sqrt{\dfrac{1}{4}}$
$=\dfrac{1}{2}×2 + 6×\dfrac{1}{3} - 8×\dfrac{1}{2}$
$=1+2-4=-1$
(3) 分别计算平方项和乘法项：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(\sqrt{3}-2)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得$\sqrt{27}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{27×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$
原式$=7-4\sqrt{3}-3=4-4\sqrt{3}$
【答案】
(1)$\dfrac{2}{3}$；(2)$-1$；(3)$4-4\sqrt{3}$
【知识点】
1.二次根式化简
2.二次根式混合运算
3.完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，侧重考察运算规则的掌握程度，计算时优先化简二次根式，灵活运用运算律和乘法公式可大幅降低计算量，需注意运算过程中的符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8