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8.李老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算.如图，李老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子计算出现错误的是 （
李老师 明明 芳芳 琪琪 佳佳
$(\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{18}})÷\sqrt{3}$ ⇒ $\sqrt{12÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷3}$ ⇒ $\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$ ⇒ $2+\sqrt{\dfrac{1}{36}}$ ⇒ $2\dfrac{1}{6}$
A.明明和芳芳
B.芳芳和琪琪
C.琪琪和佳佳
D.芳芳和佳佳
B
）李老师 明明 芳芳 琪琪 佳佳
$(\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{18}})÷\sqrt{3}$ ⇒ $\sqrt{12÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷3}$ ⇒ $\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$ ⇒ $2+\sqrt{\dfrac{1}{36}}$ ⇒ $2\dfrac{1}{6}$
A.明明和芳芳
B.芳芳和琪琪
C.琪琪和佳佳
D.芳芳和佳佳
答案
8.B
解析
【分析】
要判断接力中谁负责的步骤出错，需按照二次根式的运算法则，从第一步开始依次核对每个人的计算：首先明确运算规则，除法对加法的分配律在二次根式运算中适用，其次核对每一步的除法运算、根式化简是否正确，注意每个人仅需对自己接收前一步后的计算是否正确负责，无需追究前序步骤的错误。
【解析】
我们依次核对每个人的计算：
1. 明明的步骤：
原式$(\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据二次根式除法的分配律$(a+b)÷ c=a÷ c + b÷ c$，可变形为$\sqrt{12÷ 3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷ 3}$，明明的计算正确。
2. 芳芳的步骤：
接收的式子是$\sqrt{12÷ 3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷ 3}$，计算$12÷3=4$正确，计算$\dfrac{1}{18}÷3=\dfrac{1}{18}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{54}$，但芳芳写成了$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，计算错误。
3. 琪琪的步骤：
接收的式子是$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，$\sqrt{4}=2$正确，但$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$无需平方，琪琪错误将其变形为$\sqrt{\dfrac{1}{36}}$，计算错误。
4. 佳佳的步骤：
接收的式子是$2+\sqrt{\dfrac{1}{36}}$，$\sqrt{\dfrac{1}{36}}=\dfrac{1}{6}$，因此结果为$2\dfrac{1}{6}$，佳佳基于前一步的式子计算正确。
因此计算出现错误的是芳芳和琪琪。
【答案】
B
【知识点】
二次根式混合运算、二次根式除法
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确运算规则，逐式核对计算，同时注意接力规则中每个人仅需对自己步骤的计算正确性负责。
【难度系数】
0.7
要判断接力中谁负责的步骤出错，需按照二次根式的运算法则，从第一步开始依次核对每个人的计算：首先明确运算规则，除法对加法的分配律在二次根式运算中适用，其次核对每一步的除法运算、根式化简是否正确，注意每个人仅需对自己接收前一步后的计算是否正确负责，无需追究前序步骤的错误。
【解析】
我们依次核对每个人的计算：
1. 明明的步骤：
原式$(\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据二次根式除法的分配律$(a+b)÷ c=a÷ c + b÷ c$，可变形为$\sqrt{12÷ 3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷ 3}$，明明的计算正确。
2. 芳芳的步骤：
接收的式子是$\sqrt{12÷ 3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷ 3}$，计算$12÷3=4$正确，计算$\dfrac{1}{18}÷3=\dfrac{1}{18}×\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{54}$，但芳芳写成了$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，计算错误。
3. 琪琪的步骤：
接收的式子是$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，$\sqrt{4}=2$正确，但$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$无需平方，琪琪错误将其变形为$\sqrt{\dfrac{1}{36}}$，计算错误。
4. 佳佳的步骤：
接收的式子是$2+\sqrt{\dfrac{1}{36}}$，$\sqrt{\dfrac{1}{36}}=\dfrac{1}{6}$，因此结果为$2\dfrac{1}{6}$，佳佳基于前一步的式子计算正确。
因此计算出现错误的是芳芳和琪琪。
【答案】
B
【知识点】
二次根式混合运算、二次根式除法
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确运算规则，逐式核对计算，同时注意接力规则中每个人仅需对自己步骤的计算正确性负责。
【难度系数】
0.7
9. 若最简二次根式$\sqrt[n-1]{2n+1}$与最简二次根式$\sqrt{4n - m}$相等，则$m + n =$
$8$
.答案
9.$8$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个最简二次根式相等的核心条件：一是二者都属于二次根式，根指数必须为2；二是相等的最简二次根式的被开方数一定相等。我们可以先根据根指数的要求求出n的值，再代入被开方数相等的等式求出m的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵ 两个最简根式都是二次根式且相等
∴ 根指数满足：$n - 1 = 2$，解得$n = 3$
又
∵ 相等的最简二次根式被开方数相等
∴ $2n + 1 = 4n - m$
将$n=3$代入上式：
$2×3 + 1 = 4×3 - m$
计算得：$7 = 12 - m$
解得：$m = 5$
因此$m + n = 5 + 3 = 8$
【答案】
$8$
【知识点】
二次根式的定义，最简二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是抓住最简二次根式相等的两个隐含条件，按照先求n、再求m、最后求和的顺序计算即可，计算难度较低，只要掌握二次根式相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确两个最简二次根式相等的核心条件：一是二者都属于二次根式，根指数必须为2；二是相等的最简二次根式的被开方数一定相等。我们可以先根据根指数的要求求出n的值，再代入被开方数相等的等式求出m的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵ 两个最简根式都是二次根式且相等
∴ 根指数满足：$n - 1 = 2$，解得$n = 3$
又
∵ 相等的最简二次根式被开方数相等
∴ $2n + 1 = 4n - m$
将$n=3$代入上式：
$2×3 + 1 = 4×3 - m$
计算得：$7 = 12 - m$
解得：$m = 5$
因此$m + n = 5 + 3 = 8$
【答案】
$8$
【知识点】
二次根式的定义，最简二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是抓住最简二次根式相等的两个隐含条件，按照先求n、再求m、最后求和的顺序计算即可，计算难度较低，只要掌握二次根式相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
10. 阅读下列材料并解答问题.
材料:将一组数$\sqrt{3},\sqrt{6},3,2\sqrt{3},\sqrt{15},···,3\sqrt{10}$按下面的方法进行排列:
我们规定:$2\sqrt{3}$的位置为$(1,4),2\sqrt{6}$的位置为$(2,3)$.
(1)若一个数$a$的位置为$(5,1)$,则$a$的值为________;
(2)若$b$是这组数中最大的有理数,则数$b$的位置为________.
材料:将一组数$\sqrt{3},\sqrt{6},3,2\sqrt{3},\sqrt{15},···,3\sqrt{10}$按下面的方法进行排列:
我们规定:$2\sqrt{3}$的位置为$(1,4),2\sqrt{6}$的位置为$(2,3)$.
(1)若一个数$a$的位置为$(5,1)$,则$a$的值为________;
(2)若$b$是这组数中最大的有理数,则数$b$的位置为________.
答案
10.(1)$3\sqrt{7}$ (2)$(6,2)$
解析
【分析】
首先将所有数统一转化为$\sqrt{3n}$（n为正整数）的形式，观察排列规律：每行排列5个数，第m行第k列的数对应的n值为$5(m-1)+k$，即该数为$\sqrt{3[5(m-1)+k]}$。（1）已知位置为$(5,1)$，代入规律求出对应n值，再化简二次根式即可得到a的值；（2）先确定这组数的最大值为$\sqrt{90}$，要找最大的有理数，即找小于等于90的3的倍数中最大的完全平方数，得到对应n值后，再换算成行列位置即可。
【解析】
先将所有数改写为$\sqrt{3n}$（n为正整数）的形式，观察排列规律可得：第m行第k列的数对应$n=5(m-1)+k$。
(1) 已知a的位置为$(5,1)$，即$m=5,k=1$，代入得：
$n=5×(5-1)+1=21$
所以$a=\sqrt{3×21}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$。
(2) 这组数的最后一项为$3\sqrt{10}=\sqrt{90}$，因此$3n≤90$，即$n≤30$。
若$\sqrt{3n}$是有理数，则$3n$为完全平方数，小于等于90的3的倍数中最大的完全平方数是$81=9^2$，此时$3n=81$，解得$n=27$。
计算27对应的位置：$27÷5=5······2$，即前5行共25个数，27是第6行第2个数，位置为$(6,2)$。
【答案】
(1)$3\sqrt{7}$；(2)$(6,2)$
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究
【点评】
本题将二次根式的性质和数字规律结合考查，解题的核心是先统一数的表达形式，找到行列位置和被开方数的对应关系，再结合有理数的定义筛选符合条件的数，对规律观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先将所有数统一转化为$\sqrt{3n}$（n为正整数）的形式，观察排列规律：每行排列5个数，第m行第k列的数对应的n值为$5(m-1)+k$，即该数为$\sqrt{3[5(m-1)+k]}$。（1）已知位置为$(5,1)$，代入规律求出对应n值，再化简二次根式即可得到a的值；（2）先确定这组数的最大值为$\sqrt{90}$，要找最大的有理数，即找小于等于90的3的倍数中最大的完全平方数，得到对应n值后，再换算成行列位置即可。
【解析】
先将所有数改写为$\sqrt{3n}$（n为正整数）的形式，观察排列规律可得：第m行第k列的数对应$n=5(m-1)+k$。
(1) 已知a的位置为$(5,1)$，即$m=5,k=1$，代入得：
$n=5×(5-1)+1=21$
所以$a=\sqrt{3×21}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$。
(2) 这组数的最后一项为$3\sqrt{10}=\sqrt{90}$，因此$3n≤90$，即$n≤30$。
若$\sqrt{3n}$是有理数，则$3n$为完全平方数，小于等于90的3的倍数中最大的完全平方数是$81=9^2$，此时$3n=81$，解得$n=27$。
计算27对应的位置：$27÷5=5······2$，即前5行共25个数，27是第6行第2个数，位置为$(6,2)$。
【答案】
(1)$3\sqrt{7}$；(2)$(6,2)$
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究
【点评】
本题将二次根式的性质和数字规律结合考查，解题的核心是先统一数的表达形式，找到行列位置和被开方数的对应关系，再结合有理数的定义筛选符合条件的数，对规律观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
11. 已知 $x=\sqrt{6}+2,y=\sqrt{6}-2$,求下列代数式的值:
(1)$x^2+y^2-xy$;
(2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$;
(3)$\sqrt{x^2+y^2+4xy}$.
(1)$x^2+y^2-xy$;
(2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$;
(3)$\sqrt{x^2+y^2+4xy}$.
答案
11.解:$\because x=\sqrt{6}+2,y=\sqrt{6}-2,\therefore x+y=2\sqrt{6},xy=2$.
(1)$x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy=(2\sqrt{6})^2-3×2=18$.
(2)$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\dfrac{(2\sqrt{6})^2-2×2}{2}=10$.
(3)$\sqrt{x^2+y^2+4xy}=\sqrt{(x+y)^2+2xy}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+2×2}=2\sqrt{7}$.
(1)$x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy=(2\sqrt{6})^2-3×2=18$.
(2)$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\dfrac{(2\sqrt{6})^2-2×2}{2}=10$.
(3)$\sqrt{x^2+y^2+4xy}=\sqrt{(x+y)^2+2xy}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+2×2}=2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
本题若直接将x、y的值代入代数式计算，运算过程繁琐且易出错。我们可以先根据已知的x、y表达式，先求出x+y与xy的计算结果，再利用完全平方公式的变形，把待求的代数式转化为仅含x+y和xy的形式，最后整体代入数值计算，能大幅简化运算过程。
【解析】
首先计算x+y与xy的值：
∵$x=\sqrt{6}+2$，$y=\sqrt{6}-2$，
∴$x+y=(\sqrt{6}+2)+(\sqrt{6}-2)=2\sqrt{6}$，
$xy=(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)=(\sqrt{6})^2-2^2=6-4=2$。
(1) 由完全平方公式变形得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入原式：
$x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy$，
将$x+y=2\sqrt{6}$，$xy=2$代入得：
原式=$(2\sqrt{6})^2-3×2=24-6=18$。
(2) 先对原式通分，再用完全平方公式变形：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}$，
代入数值得：
原式=$\frac{(2\sqrt{6})^2-2×2}{2}=\frac{24-4}{2}=10$。
(3) 先对根号内的表达式变形：
$x^2+y^2+4xy=(x+y)^2+2xy$，
代入数值得：
原式=$\sqrt{(2\sqrt{6})^2+2×2}=\sqrt{24+4}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$18$；(2)$10$；(3)$2\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题核心考查整体代入的化简求值思想，通过乘法公式的变形将待求式转化为含$x+y$、$xy$的结构，避免了直接代入的复杂运算，解题时要熟练掌握常见的乘法公式变形，提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
本题若直接将x、y的值代入代数式计算，运算过程繁琐且易出错。我们可以先根据已知的x、y表达式，先求出x+y与xy的计算结果，再利用完全平方公式的变形，把待求的代数式转化为仅含x+y和xy的形式，最后整体代入数值计算，能大幅简化运算过程。
【解析】
首先计算x+y与xy的值：
∵$x=\sqrt{6}+2$，$y=\sqrt{6}-2$，
∴$x+y=(\sqrt{6}+2)+(\sqrt{6}-2)=2\sqrt{6}$，
$xy=(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)=(\sqrt{6})^2-2^2=6-4=2$。
(1) 由完全平方公式变形得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入原式：
$x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy$，
将$x+y=2\sqrt{6}$，$xy=2$代入得：
原式=$(2\sqrt{6})^2-3×2=24-6=18$。
(2) 先对原式通分，再用完全平方公式变形：
$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}$，
代入数值得：
原式=$\frac{(2\sqrt{6})^2-2×2}{2}=\frac{24-4}{2}=10$。
(3) 先对根号内的表达式变形：
$x^2+y^2+4xy=(x+y)^2+2xy$，
代入数值得：
原式=$\sqrt{(2\sqrt{6})^2+2×2}=\sqrt{24+4}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
(1)$18$；(2)$10$；(3)$2\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题核心考查整体代入的化简求值思想，通过乘法公式的变形将待求式转化为含$x+y$、$xy$的结构，避免了直接代入的复杂运算，解题时要熟练掌握常见的乘法公式变形，提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
