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12. 已知长方形的长 $ a = \frac{1}{2}\sqrt{72} $，宽 $ b = \frac{1}{3}\sqrt{18} $。
(1)求该长方形的周长 $ C_1 $；
(2)若某正方形的面积与该长方形的面积相等，求该正方形的周长 $ C_2 $。
(1)求该长方形的周长 $ C_1 $；
(2)若某正方形的面积与该长方形的面积相等，求该正方形的周长 $ C_2 $。
答案
12.解:$a=\dfrac{1}{2}\sqrt{72}=3\sqrt{2},b=\dfrac{1}{3}\sqrt{18}=\sqrt{2}$.
(1)长方形的周长 $ C_1=2×(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=8\sqrt{2}$.
(2)$\because$ 正方形的面积$=$长方形的面积$=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=6$,$\therefore$ 正方形的边长$=\sqrt{6}$,$\therefore$ 正方形的周长 $ C_2=4\sqrt{6}$.
(1)长方形的周长 $ C_1=2×(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=8\sqrt{2}$.
(2)$\because$ 正方形的面积$=$长方形的面积$=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=6$,$\therefore$ 正方形的边长$=\sqrt{6}$,$\therefore$ 正方形的周长 $ C_2=4\sqrt{6}$.
解析
【分析】
解题前首先要将题目给出的长$a$、宽$b$化简为最简二次根式，方便后续运算。
(1)求长方形周长直接套用长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，将化简后的$a$、$b$代入计算即可；
(2)先根据长方形面积公式：面积=长×宽，求出长方形面积，该面积等于正方形面积，再根据正方形边长是面积的算术平方根求出边长，最后套用正方形周长公式：周长=4×边长，计算得到结果。
【解析】
首先化简长方形的长和宽：
$a=\frac{1}{2}\sqrt{72}=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
$b=\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(1)根据长方形周长公式计算：
$C_1=2×(a+b)=2×(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
(2)先计算长方形的面积：
$S_{\mathrm{长方形}}=a× b=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3×2=6$
由题意得正方形面积$S_{\mathrm{正方形}}=S_{\mathrm{长方形}}=6$
则正方形的边长为$\sqrt{6}$，因此正方形周长：
$C_2=4×\sqrt{6}=4\sqrt{6}$
【答案】
(1)$C_1=8\sqrt{2}$；(2)$C_2=4\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式运算、图形周长面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积公式考查二次根式的相关运算，属于基础类题型，解题的关键是先将二次根式化为最简形式，再结合对应公式准确运算，需要熟练掌握二次根式的化简规则和四则运算方法。
【难度系数】
0.8
解题前首先要将题目给出的长$a$、宽$b$化简为最简二次根式，方便后续运算。
(1)求长方形周长直接套用长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，将化简后的$a$、$b$代入计算即可；
(2)先根据长方形面积公式：面积=长×宽，求出长方形面积，该面积等于正方形面积，再根据正方形边长是面积的算术平方根求出边长，最后套用正方形周长公式：周长=4×边长，计算得到结果。
【解析】
首先化简长方形的长和宽：
$a=\frac{1}{2}\sqrt{72}=\frac{1}{2}×6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
$b=\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(1)根据长方形周长公式计算：
$C_1=2×(a+b)=2×(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$
(2)先计算长方形的面积：
$S_{\mathrm{长方形}}=a× b=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3×2=6$
由题意得正方形面积$S_{\mathrm{正方形}}=S_{\mathrm{长方形}}=6$
则正方形的边长为$\sqrt{6}$，因此正方形周长：
$C_2=4×\sqrt{6}=4\sqrt{6}$
【答案】
(1)$C_1=8\sqrt{2}$；(2)$C_2=4\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式运算、图形周长面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积公式考查二次根式的相关运算，属于基础类题型，解题的关键是先将二次根式化为最简形式，再结合对应公式准确运算，需要熟练掌握二次根式的化简规则和四则运算方法。
【难度系数】
0.8
13. 小明在学习二次根式时,发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方,如$5+2\sqrt{6}=(2+3)+2\sqrt{2×3}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2};8+2\sqrt{7}=(1+7)+2\sqrt{1×7}=1^{2}+(\sqrt{7})^{2}+2×1×\sqrt{7}=(1+\sqrt{7})^{2}.$
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法,将$7+2\sqrt{10}$化成另一个式子的平方;
(2)请运用小明的方法化简:$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$;
【变式探究】
(3)若$a+2\sqrt{21}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.
【类比归纳】
(1)请你仿照小明的方法,将$7+2\sqrt{10}$化成另一个式子的平方;
(2)请运用小明的方法化简:$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$;
【变式探究】
(3)若$a+2\sqrt{21}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^{2}$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.
答案
13.解:(1)$7+2\sqrt{10}=(2+5)+2\sqrt{2×5}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{5}=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$.
(2)$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{2+9-2×\sqrt{9}×\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=3-\sqrt{2}$.
(3)$\because a+2\sqrt{21}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$,$a,m,n$ 均为正整数,$\therefore a+2\sqrt{3}×\sqrt{7}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$,$a+2×\sqrt{21}×1=m+n+2\sqrt{m}×\sqrt{n}$,$\therefore m=3,n=7$ 或 $m=21,n=1$,$\therefore a=3+7=10$ 或 $a=21+1=22$.
(2)$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{2+9-2×\sqrt{9}×\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=3-\sqrt{2}$.
(3)$\because a+2\sqrt{21}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$,$a,m,n$ 均为正整数,$\therefore a+2\sqrt{3}×\sqrt{7}=(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$,$a+2×\sqrt{21}×1=m+n+2\sqrt{m}×\sqrt{n}$,$\therefore m=3,n=7$ 或 $m=21,n=1$,$\therefore a=3+7=10$ 或 $a=21+1=22$.
解析
【分析】
本题考查完全平方公式在二次根式变形中的应用，解题思路如下：
(1) 对于形如$x+2\sqrt{y}$的式子配方，需将整数部分$x$拆成两个正整数的和，且这两个正整数的乘积等于$y$，再逆用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$写成平方形式即可；
(2) 先将被开方数$11-6\sqrt{2}$变形为$x-2\sqrt{y}$的形式，再按上述配方方法写成平方形式，最后根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，注意结果非负；
(3) 先将等式右边展开，对比左右两边的有理数部分和含根号的部分，得到$mn=21$、$a=m+n$，再结合$m,n$为正整数，分类枚举21的正整数因数对，即可求出$a$的所有可能值。
【解析】
(1) 把7拆为2和5的和，且$2×5=10$，因此：
$7+2\sqrt{10}=(2+5)+2\sqrt{2×5}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{5}=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$
(2) 先将$6\sqrt{2}$变形为$2×3×\sqrt{2}=2\sqrt{9×2}$，再把11拆为9和2的和：
$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9+2-2×3×\sqrt{2}}=\sqrt{3^2+(\sqrt{2})^2-2×3×\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}$
因为$3＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$
(3) 先将等式右边展开：$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}$
对比左边$a+2\sqrt{21}$，可得$\begin{cases}mn=21\\a=m+n\end{cases}$
因为$m,n$均为正整数，21的正整数因数对为$\begin{cases}m=1,n=21\\m=3,n=7\end{cases}$（交换$m,n$取值和不变）
代入计算得：$a=1+21=22$或$a=3+7=10$
【答案】
(1) $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$；(2) $3-\sqrt{2}$；(3) $a=10$或$22$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的创新应用题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，学会将含根号的式子与完全平方的各项对应，解题时要注意拆项的技巧，开根号时牢记二次根式结果的非负性，涉及多解问题时要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.65
本题考查完全平方公式在二次根式变形中的应用，解题思路如下：
(1) 对于形如$x+2\sqrt{y}$的式子配方，需将整数部分$x$拆成两个正整数的和，且这两个正整数的乘积等于$y$，再逆用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$写成平方形式即可；
(2) 先将被开方数$11-6\sqrt{2}$变形为$x-2\sqrt{y}$的形式，再按上述配方方法写成平方形式，最后根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，注意结果非负；
(3) 先将等式右边展开，对比左右两边的有理数部分和含根号的部分，得到$mn=21$、$a=m+n$，再结合$m,n$为正整数，分类枚举21的正整数因数对，即可求出$a$的所有可能值。
【解析】
(1) 把7拆为2和5的和，且$2×5=10$，因此：
$7+2\sqrt{10}=(2+5)+2\sqrt{2×5}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{5}=(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$
(2) 先将$6\sqrt{2}$变形为$2×3×\sqrt{2}=2\sqrt{9×2}$，再把11拆为9和2的和：
$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9+2-2×3×\sqrt{2}}=\sqrt{3^2+(\sqrt{2})^2-2×3×\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}$
因为$3＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$
(3) 先将等式右边展开：$(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}$
对比左边$a+2\sqrt{21}$，可得$\begin{cases}mn=21\\a=m+n\end{cases}$
因为$m,n$均为正整数，21的正整数因数对为$\begin{cases}m=1,n=21\\m=3,n=7\end{cases}$（交换$m,n$取值和不变）
代入计算得：$a=1+21=22$或$a=3+7=10$
【答案】
(1) $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2$；(2) $3-\sqrt{2}$；(3) $a=10$或$22$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的创新应用题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，学会将含根号的式子与完全平方的各项对应，解题时要注意拆项的技巧，开根号时牢记二次根式结果的非负性，涉及多解问题时要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.65
