1. 下列二次根式中$x$的取值范围是$x≥ 3$的是 （）

A.$\sqrt{3-x}$
B.$\sqrt{6-2x}$
C.$\sqrt{2x-6}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{x-3}}$

C

【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须大于等于0；若被开方数含有分母，还需满足分母不为0。我们只需要逐个计算每个选项中x的取值范围，再筛选出符合x≥3的选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{3-x}$有意义，则$3-x\ge0$，解得$x\le3$，不符合要求；
选项B：$\sqrt{6-2x}$有意义，则$6-2x\ge0$，移项得$-2x\ge-6$，系数化为1时不等号方向改变，解得$x\le3$，不符合要求；
选项C：$\sqrt{2x-6}$有意义，则$2x-6\ge0$，移项得$2x\ge6$，解得$x\ge3$，符合要求；
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{x-3}}$有意义，需同时满足被开方数$\dfrac{1}{x-3}\ge0$且分母$x-3\ne0$，即$x-3＞0$，解得$x＞3$，不符合要求。
综上，只有选项C符合条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式取值范围的基础题型，解题时要注意区分被开方数是整式和分式的情况，若被开方数为分式，不要忽略分母不能为0的隐含条件，避免出现范围判断错误。
【难度系数】
0.8

2. 下列各式是最简二次根式的是（）

A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\sqrt{0.6}$

C

【分析】
要判断一个式子是不是最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即根号内不能含有分数、小数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们可以用这两个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
结合最简二次根式的判定条件逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$的被开方数是分数，不符合条件①，不是最简二次根式，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
B选项：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合条件②，不是最简二次根式，化简后为$2\sqrt{2}$；
C选项：$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$中，根号内的被开方数5是整数，且不含能开得尽方的因数，同时根号外的分母不含根号，完全符合最简二次根式的要求；
D选项：$\sqrt{0.6}$的被开方数是小数（可化为$\dfrac{3}{5}$），不符合条件①，不是最简二次根式，化简后为$\dfrac{\sqrt{15}}{5}$。
综上，只有C选项是最简二次根式。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简二次根式的判定
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是对二次根式基础概念的考察，难度较低，只要牢记最简二次根式的两个判定标准，就能快速准确作答，平时学习要注意对基础概念的理解和记忆。
【难度系数】
0.8

3. 实数 $a$，$b$ 在数轴上对应的位置如图所示，则$\sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-1)^2} = $（$$$$）

A.$b - a$
B.$2 - a - b$
C.$a - b$
D.$2 + a - b$

C

【分析】
解决这道题首先要用到二次根式的核心性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因此解题思路分为三步：第一步先根据数轴上$a$、$b$的位置，判断$a$、$b$和$1$的大小关系；第二步根据大小关系确定$b-1$、$a-1$的正负性，为去绝对值做准备；第三步按照绝对值的性质去掉绝对值符号，再化简计算即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$a＜0＜b＜1$，
因此$b-1＜0$，$a-1＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：
$\sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-1)^2}=|b-1|-|a-1|$
根据负数的绝对值等于它的相反数，去绝对值得：
$|b-1|=1-b$，$|a-1|=1-a$
代入式子化简：
原式$=(1-b)-(1-a)=1-b-1+a=a-b$
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题核心是先结合数轴判断绝对值内代数式的正负，再正确运用二次根式和绝对值的性质去符号计算，需注意去括号时的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

4. 下列运算正确的是 （）

A.$\sqrt{3}+3=3\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=4$
C.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

D

【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路为：首先明确二次根式加减的核心规则：只有化简后被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式无法直接合并；接下来逐一验证每个选项是否符合该规则，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次根式加减的运算规则逐一判断选项：
A. $\sqrt{3}$与3不是同类二次根式，无法直接合并，运算错误；
B. $4\sqrt{5}-\sqrt{5}=(4-1)\sqrt{5}=3\sqrt{5}≠4$，运算错误；
C. $\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$化简后被开方数不同，不是同类二次根式，无法直接合并，运算错误；
D. $3\sqrt{3}-\sqrt{3}=(3-1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 同类二次根式 2. 二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是掌握二次根式加减的运算规则，易错点是容易错误合并非同类二次根式，或合并时错误修改被开方数、遗漏根号部分。
【难度系数】
0.8

5. 计算：$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}×(\sqrt{5}-\sqrt{3})=$ .

$2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

【分析】
观察算式结构，发现式子中同时含有$(\sqrt{5}+\sqrt{3})$和$(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，符合平方差公式的形式特征。我们可以先将$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$拆分为$(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}+\sqrt{3})$，再利用乘法结合律优先计算$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，通过平方差公式快速得到结果后，再与剩余的$(\sqrt{5}+\sqrt{3})$相乘，可大幅简化运算，减少计算失误。
【解析】
解：原式$=(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{3})$
根据乘法结合律，先计算后两个因式的乘积：
$=(\sqrt{5}+\sqrt{3})×[(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})]$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算括号内的部分：
$=(\sqrt{5}+\sqrt{3})×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2]$
$=(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(5-3)$
$=(\sqrt{5}+\sqrt{3})×2$
去括号计算得：
$=2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{5}+2\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式；二次根式混合运算；乘法结合律
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题核心是观察式子的结构特征，灵活选用乘法公式和运算律简化计算，相比直接展开完全平方再计算的方法，运算效率更高，出错概率更低。
【难度系数】
0.7

6. 如图,从一个大正方形中裁去面积为$30\ \mathrm{cm}^2$和$48\ \mathrm{cm}^2$的两个正方形,则余下阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.

$24\sqrt{10}$

【分析】
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，求出两个空白正方形的边长；再观察图形可知，余下的阴影部分是两个完全相同的长方形，长方形的长为面积是$48\ \mathrm{cm}^2$的正方形的边长，宽为面积是$30\ \mathrm{cm}^2$的正方形的边长；最后根据长方形面积公式计算出两个长方形的总面积即可，计算过程需用到二次根式的乘法法则。
【解析】
解：由正方形面积公式可得：
面积为$30\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，
面积为$48\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{48}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，阴影部分是两个长为$\sqrt{48}\ \mathrm{cm}$、宽为$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$的长方形，因此阴影部分总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=2×\sqrt{48}×\sqrt{30}\\&=2×\sqrt{48×30}\\&=2×\sqrt{1440}\\&=2×\sqrt{144×10}\\&=2×12\sqrt{10}\\&=24\sqrt{10}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$24\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积计算、长方形面积计算、二次根式运算
【点评】
本题将几何图形面积计算和二次根式运算相结合，解题的核心是准确判断阴影部分的形状及对应的边长，既考察了数形结合的思维能力，也考察了二次根式的运算能力，是二次根式应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

7. 计算：
(1)$\sqrt[3]{8} - \sqrt{(-2)^2} + \sqrt{\dfrac{1}{4}} × \sqrt{3}$；

(2)$(\sqrt{5} + 2\sqrt{2})^2 - 16\sqrt{30} ÷ \sqrt{48}$。

(1)原式$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
(2)原式$=13$.

【分析】
解题时遵循实数混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
(1) 先分别化简各个根式项：计算立方根$\sqrt[3]{8}$、算术平方根$\sqrt{(-2)^2}$，再计算二次根式乘法$\sqrt{\dfrac{1}{4}}×\sqrt{3}$，最后合并结果即可。
(2) 首先用完全平方公式展开$(\sqrt{5}+2\sqrt{2})^2$，再计算二次根式除法$16\sqrt{30}÷\sqrt{48}$，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
(1) 逐项化简：
$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{\dfrac{1}{4}}×\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}×\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2) 先算完全平方和除法：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+2\sqrt{2})^2&=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2\\&=5+4\sqrt{10}+8\\&=13+4\sqrt{10}\end{aligned}$
$\begin{aligned}16\sqrt{30}÷\sqrt{48}&=16×\sqrt{\dfrac{30}{48}}\\&=16×\sqrt{\dfrac{5}{8}}\\&=16×\dfrac{\sqrt{10}}{4}\\&=4\sqrt{10}\end{aligned}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=13+4\sqrt{10}-4\sqrt{10}\\&=13\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(2) $13$
【知识点】
立方根化简，二次根式运算，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题，解题时要注意开方的符号规则，二次根式乘除可以先约分再化简，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8