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8. 若$\sqrt{(a+3)^2}=-a-3$，则实数$a$满足的条件是 （
A.$a≤ -3$
B.$a=-3$
C.$a＜ -3$
D.$a≥ -3$
A
）A.$a≤ -3$
B.$a=-3$
C.$a＜ -3$
D.$a≥ -3$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时先利用二次根式的性质将等式左边的式子转化为绝对值形式，再结合绝对值的符号规律推导a的取值范围：首先回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得左边等于$|a+3|$；再根据“若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数”的规律，列出关于a的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a+3)^2}=|a+3|$
已知$\sqrt{(a+3)^2}=-a-3$，因此$|a+3|=-a-3=-(a+3)$
根据绝对值的性质：当$x≤0$时，$|x|=-x$，可得$a+3≤0$
解不等式，两边同时减3得：$a≤-3$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式性质与绝对值性质的综合基础题，解题的核心是先将二次根式化简为绝对值形式，再根据绝对值的符号特征列不等式求解，注意不要遗漏等于0的情况。
【难度系数】
0.8
解题时先利用二次根式的性质将等式左边的式子转化为绝对值形式，再结合绝对值的符号规律推导a的取值范围：首先回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得左边等于$|a+3|$；再根据“若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数”的规律，列出关于a的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(a+3)^2}=|a+3|$
已知$\sqrt{(a+3)^2}=-a-3$，因此$|a+3|=-a-3=-(a+3)$
根据绝对值的性质：当$x≤0$时，$|x|=-x$，可得$a+3≤0$
解不等式，两边同时减3得：$a≤-3$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式性质与绝对值性质的综合基础题，解题的核心是先将二次根式化简为绝对值形式，再根据绝对值的符号特征列不等式求解，注意不要遗漏等于0的情况。
【难度系数】
0.8
9. 若点 $ P(m,n) $ 在第二象限,则化简 $ \sqrt{(m-n)^2} + \sqrt{m^2} $ 的结果为
$-2m+n$
.答案
9.$-2m+n$
解析
【分析】
解题时首先回忆第二象限内点的坐标特征，先确定m、n的正负性，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：$\because$点$P(m,n)$在第二象限，
$\therefore m＜0$，$n＞0$，
$\therefore m-n＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|m-n| + |m|$
$\because m-n＜0$，$\therefore |m-n|=-(m-n)=n-m$；
$\because m＜0$，$\therefore |m|=-m$；
$\therefore$原式$=n-m + (-m) = n - 2m = -2m + n$。
【答案】
$-2m+n$
【知识点】
象限内点的坐标特征，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简与平面直角坐标系知识点的结合应用类题目，解题的核心是先根据坐标特征判断出绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值运算，是二次根式部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆第二象限内点的坐标特征，先确定m、n的正负性，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：$\because$点$P(m,n)$在第二象限，
$\therefore m＜0$，$n＞0$，
$\therefore m-n＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|m-n| + |m|$
$\because m-n＜0$，$\therefore |m-n|=-(m-n)=n-m$；
$\because m＜0$，$\therefore |m|=-m$；
$\therefore$原式$=n-m + (-m) = n - 2m = -2m + n$。
【答案】
$-2m+n$
【知识点】
象限内点的坐标特征，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简与平面直角坐标系知识点的结合应用类题目，解题的核心是先根据坐标特征判断出绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值运算，是二次根式部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10. (1)[2025·六安霍邱期中]若$\sqrt{9-n}$是整数,则满足条件的自然数$n$共有________个;
(2)若$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$是整数,则整数$n$的值为________.
(2)若$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$是整数,则整数$n$的值为________.
答案
(1)4
(2)16或4或1
(2)16或4或1
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关知识，解题思路如下：
(1) 首先根据二次根式有意义的条件确定n的取值范围，再结合$\sqrt{9-n}$是整数，可知被开方数$9-n$是完全平方数，枚举所有符合条件的完全平方数，计算对应的n值并统计个数即可。
(2) 先保证二次根式有意义且分母不为0，确定n为正整数，再将$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$化简为$\dfrac{4}{\sqrt{n}}$，根据结果为整数可知$\sqrt{n}$是4的正约数，据此求出对应的n值即可。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{9-n}$有意义，则被开方数满足：
$9-n≥0$，解得$n≤9$，
又
∵n是自然数，
∴$0≤ n≤9$。
∵$\sqrt{9-n}$是整数，
∴$9-n$是0到9之间的非负完全平方数，
符合条件的完全平方数有0、1、4、9，共4个：
当$9-n=0$时，$n=9$；当$9-n=1$时，$n=8$；
当$9-n=4$时，$n=5$；当$9-n=9$时，$n=0$。
上述n值均为自然数，故满足条件的n共有4个。
(2) 要使$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$有意义，需满足$\dfrac{16}{n}≥0$，且分母$n≠0$，
∴n为正整数。
化简二次根式得：$\sqrt{\dfrac{16}{n}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{n}}=\dfrac{4}{\sqrt{n}}$，
∵$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$是整数，
∴$\sqrt{n}$是4的正约数，
4的正约数为1、2、4，对应：
当$\sqrt{n}=1$时，$n=1$；当$\sqrt{n}=2$时，$n=4$；当$\sqrt{n}=4$时，$n=16$。
故整数n的值为16或4或1。
【答案】
(1)4；(2)16或4或1
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方数，二次根式的性质
【点评】
解题时要先确定二次根式中未知数的取值范围，再结合整数的要求枚举所有符合条件的情况，注意不要遗漏边界值，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的相关知识，解题思路如下：
(1) 首先根据二次根式有意义的条件确定n的取值范围，再结合$\sqrt{9-n}$是整数，可知被开方数$9-n$是完全平方数，枚举所有符合条件的完全平方数，计算对应的n值并统计个数即可。
(2) 先保证二次根式有意义且分母不为0，确定n为正整数，再将$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$化简为$\dfrac{4}{\sqrt{n}}$，根据结果为整数可知$\sqrt{n}$是4的正约数，据此求出对应的n值即可。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{9-n}$有意义，则被开方数满足：
$9-n≥0$，解得$n≤9$，
又
∵n是自然数，
∴$0≤ n≤9$。
∵$\sqrt{9-n}$是整数，
∴$9-n$是0到9之间的非负完全平方数，
符合条件的完全平方数有0、1、4、9，共4个：
当$9-n=0$时，$n=9$；当$9-n=1$时，$n=8$；
当$9-n=4$时，$n=5$；当$9-n=9$时，$n=0$。
上述n值均为自然数，故满足条件的n共有4个。
(2) 要使$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$有意义，需满足$\dfrac{16}{n}≥0$，且分母$n≠0$，
∴n为正整数。
化简二次根式得：$\sqrt{\dfrac{16}{n}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{n}}=\dfrac{4}{\sqrt{n}}$，
∵$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$是整数，
∴$\sqrt{n}$是4的正约数，
4的正约数为1、2、4，对应：
当$\sqrt{n}=1$时，$n=1$；当$\sqrt{n}=2$时，$n=4$；当$\sqrt{n}=4$时，$n=16$。
故整数n的值为16或4或1。
【答案】
(1)4；(2)16或4或1
【知识点】
二次根式有意义的条件，完全平方数，二次根式的性质
【点评】
解题时要先确定二次根式中未知数的取值范围，再结合整数的要求枚举所有符合条件的情况，注意不要遗漏边界值，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
11. 计算:
(1)$-\sqrt{3^{2}}$；
(2)$\sqrt{(-0.2)^{2}}$；
(3)$-\sqrt{(\dfrac{1}{3})^{2}}$；
(4)$\sqrt{(-\dfrac{2}{5})^{2}}$；
(5)$-\sqrt{(-5)^{2}}$；
(6)$\sqrt{5^{-2}}$.
(1)$-\sqrt{3^{2}}$；
(2)$\sqrt{(-0.2)^{2}}$；
(3)$-\sqrt{(\dfrac{1}{3})^{2}}$；
(4)$\sqrt{(-\dfrac{2}{5})^{2}}$；
(5)$-\sqrt{(-5)^{2}}$；
(6)$\sqrt{5^{-2}}$.
答案
(1)$-\sqrt{3^2}=-3$.
(2)$\sqrt{(-0.2)^2}=0.2$.
(3)$-\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=-\dfrac{1}{3}$.
(4)$\sqrt{(-\dfrac{2}{5})^2}=\dfrac{2}{5}$.
(5)$-\sqrt{(-5)^2}=-5$.
(6)$\sqrt{5^{-2}}=\dfrac{1}{5}$.
(2)$\sqrt{(-0.2)^2}=0.2$.
(3)$-\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=-\dfrac{1}{3}$.
(4)$\sqrt{(-\dfrac{2}{5})^2}=\dfrac{2}{5}$.
(5)$-\sqrt{(-5)^2}=-5$.
(6)$\sqrt{5^{-2}}=\dfrac{1}{5}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简计算，解题核心是运用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，步骤如下：1. 先判断根号内表达式的形式，均为某个数的平方；2. 运用$\sqrt{a^2}=|a|$将开方运算转化为求绝对值的运算；3. 根据绝对值的性质去掉绝对值符号，若根号外有负号，最后再添加负号；4. 第(6)题先将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，再按上述步骤化简即可。
【解析】
我们利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）、绝对值的性质$|a|=\begin{cases}a&(a≥0)\\-a&(a＜0)\end{cases}$，以及负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算：
(1) $-\sqrt{3^2}=-|3|=-3$
(2) $\sqrt{(-0.2)^2}=|-0.2|=0.2$
(3) $-\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=-\left|\dfrac{1}{3}\right|=-\dfrac{1}{3}$
(4) $\sqrt{(-\dfrac{2}{5})^2}=\left|-\dfrac{2}{5}\right|=\dfrac{2}{5}$
(5) $-\sqrt{(-5)^2}=-|-5|=-5$
(6) 先将负指数幂变形：$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}=(\dfrac{1}{5})^2$，因此$\sqrt{5^{-2}}=\sqrt{(\dfrac{1}{5})^2}=\left|\dfrac{1}{5}\right|=\dfrac{1}{5}$
【答案】
(1)$-3$；(2)$0.2$；(3)$-\dfrac{1}{3}$；(4)$\dfrac{2}{5}$；(5)$-5$；(6)$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对$\sqrt{a^2}=|a|$这一核心性质的掌握，易错点是容易忽略根号外的负号，或者对负指数幂的转化出错，熟练掌握相关性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的化简计算，解题核心是运用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，步骤如下：1. 先判断根号内表达式的形式，均为某个数的平方；2. 运用$\sqrt{a^2}=|a|$将开方运算转化为求绝对值的运算；3. 根据绝对值的性质去掉绝对值符号，若根号外有负号，最后再添加负号；4. 第(6)题先将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，再按上述步骤化简即可。
【解析】
我们利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）、绝对值的性质$|a|=\begin{cases}a&(a≥0)\\-a&(a＜0)\end{cases}$，以及负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算：
(1) $-\sqrt{3^2}=-|3|=-3$
(2) $\sqrt{(-0.2)^2}=|-0.2|=0.2$
(3) $-\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=-\left|\dfrac{1}{3}\right|=-\dfrac{1}{3}$
(4) $\sqrt{(-\dfrac{2}{5})^2}=\left|-\dfrac{2}{5}\right|=\dfrac{2}{5}$
(5) $-\sqrt{(-5)^2}=-|-5|=-5$
(6) 先将负指数幂变形：$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}=(\dfrac{1}{5})^2$，因此$\sqrt{5^{-2}}=\sqrt{(\dfrac{1}{5})^2}=\left|\dfrac{1}{5}\right|=\dfrac{1}{5}$
【答案】
(1)$-3$；(2)$0.2$；(3)$-\dfrac{1}{3}$；(4)$\dfrac{2}{5}$；(5)$-5$；(6)$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对$\sqrt{a^2}=|a|$这一核心性质的掌握，易错点是容易忽略根号外的负号，或者对负指数幂的转化出错，熟练掌握相关性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.85
