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6. 在某次射击训练中,甲、乙两人的成绩如图24-7①所示,嘉琪根据图24-7①绘制成如图24-7②所示箱线图.
图24-7
(1)在图24-7②中,A反映
(2)图24-7①中甲的众数为
(3)图24-7②中,直接写出A的第一四分位数和B的第三四分位数,并判断甲和乙谁的成绩比较好.
图24-7
(1)在图24-7②中,A反映
乙
的成绩,B反映甲
的成绩;(填“甲”或“乙”)(2)图24-7①中甲的众数为
7
环,乙的平均数为7
环;(3)图24-7②中,直接写出A的第一四分位数和B的第三四分位数,并判断甲和乙谁的成绩比较好.
答案
6. (1)乙 甲 (2)7 7 (3)A 的第一四分位数$Q_1=\frac{7+7}{2}=7$; B 的第三四分位数$Q_3=\frac{8+8}{2}=8$. 因为甲的平均数为$\frac{1}{12}×(3×6+5×7+2×8+9+10)=\frac{22}{3}$,所以甲的平均数小于乙的平均数. 所以乙的成绩比较好. (合理即可)
解析
【分析】
(1) 要判断A、B分别对应谁的成绩，先分别统计甲、乙的成绩，计算两者的中位数：箱线图的中间横线代表中位数，中位数更高的对应A，更低的对应B。
(2) 众数是一组数据中出现次数最多的数，找出甲成绩中出现次数最多的环数即可；平均数等于所有成绩总和除以射击总次数，代入乙的成绩计算即可。
(3) 12个数据的第一四分位数是排序后第3、4个数的平均数，第三四分位数是排序后第9、10个数的平均数，分别计算A、B对应的四分位数，再通过平均数或中位数比较两人成绩好坏即可。
【解析】
(1) 甲的射击成绩共12次，从小到大排列为：6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,9,10，中位数为第6、7个数的平均数，即$\frac{7+7}{2}=7$；
乙的射击成绩共12次，从小到大排列为：6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10，中位数为第6、7个数的平均数，即$\frac{8+8}{2}=8$。
箱线图A的中位数更高，所以A反映乙的成绩，B反映甲的成绩。
(2) 甲的成绩中7环出现了5次，出现次数最多，所以甲的众数为7环；
乙的平均数为：$\frac{6×1 + 7×3 + 8×4 + 9×3 + 10×1}{1+3+4+3+1}=\frac{96}{12}=8$环。
(3) A对应乙的成绩，排序后第3、4个数均为7，所以第一四分位数$Q_1=\frac{7+7}{2}=7$；
B对应甲的成绩，排序后第9、10个数均为8，所以第三四分位数$Q_3=\frac{8+8}{2}=8$。
甲的平均数为$\frac{6×3 + 7×5 + 8×2 + 9×1 +10×1}{12}=\frac{88}{12}=\frac{22}{3}\approx7.33$，小于乙的平均数8，且乙的中位数更高，所以乙的成绩比较好。
【答案】
(1)乙；甲
(2)7；8
(3)A的第一四分位数为7，B的第三四分位数为8，乙的成绩比较好。
【知识点】
众数的计算；平均数的计算；箱线图的认识
【点评】
本题综合考查了统计图表的识别与数据的分析，需要熟练掌握众数、平均数、四分位数的计算方法，能够从条形统计图和箱线图中提取有效信息进行比较判断。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断A、B分别对应谁的成绩，先分别统计甲、乙的成绩，计算两者的中位数：箱线图的中间横线代表中位数，中位数更高的对应A，更低的对应B。
(2) 众数是一组数据中出现次数最多的数，找出甲成绩中出现次数最多的环数即可；平均数等于所有成绩总和除以射击总次数，代入乙的成绩计算即可。
(3) 12个数据的第一四分位数是排序后第3、4个数的平均数，第三四分位数是排序后第9、10个数的平均数，分别计算A、B对应的四分位数，再通过平均数或中位数比较两人成绩好坏即可。
【解析】
(1) 甲的射击成绩共12次，从小到大排列为：6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,9,10，中位数为第6、7个数的平均数，即$\frac{7+7}{2}=7$；
乙的射击成绩共12次，从小到大排列为：6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10，中位数为第6、7个数的平均数，即$\frac{8+8}{2}=8$。
箱线图A的中位数更高，所以A反映乙的成绩，B反映甲的成绩。
(2) 甲的成绩中7环出现了5次，出现次数最多，所以甲的众数为7环；
乙的平均数为：$\frac{6×1 + 7×3 + 8×4 + 9×3 + 10×1}{1+3+4+3+1}=\frac{96}{12}=8$环。
(3) A对应乙的成绩，排序后第3、4个数均为7，所以第一四分位数$Q_1=\frac{7+7}{2}=7$；
B对应甲的成绩，排序后第9、10个数均为8，所以第三四分位数$Q_3=\frac{8+8}{2}=8$。
甲的平均数为$\frac{6×3 + 7×5 + 8×2 + 9×1 +10×1}{12}=\frac{88}{12}=\frac{22}{3}\approx7.33$，小于乙的平均数8，且乙的中位数更高，所以乙的成绩比较好。
【答案】
(1)乙；甲
(2)7；8
(3)A的第一四分位数为7，B的第三四分位数为8，乙的成绩比较好。
【知识点】
众数的计算；平均数的计算；箱线图的认识
【点评】
本题综合考查了统计图表的识别与数据的分析，需要熟练掌握众数、平均数、四分位数的计算方法，能够从条形统计图和箱线图中提取有效信息进行比较判断。
【难度系数】
0.7
四、数据的分组
1. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况,分别是:3,4,5,7,6,5(单位:
$\mathrm{m}^3$). 关于这组数据,下列说法正确的是
(
A.众数是2
B.中位数是6
C.平均数是6
D.离差平方和是10
1. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况,分别是:3,4,5,7,6,5(单位:
$\mathrm{m}^3$). 关于这组数据,下列说法正确的是
(
D
)A.众数是2
B.中位数是6
C.平均数是6
D.离差平方和是10
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，需逐一验证每个选项对应的统计量是否正确，步骤如下：①先将数据从小到大排序，方便计算中位数和众数；②根据众数、中位数、平均数的定义分别计算对应数值，排除错误选项；③最后计算离差平方和验证剩余选项即可得到答案。
【解析】
首先将原数据从小到大排序：3，4，5，5，6，7。
验证A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中5出现2次，其余数各出现1次，所以众数是5，A错误。
验证B选项：中位数是排序后中间位置的数，数据共6个（偶数个），取第3、4个数的平均值，即$(5+5)÷2=5$，中位数是5，B错误。
验证C选项：平均数=总数量÷总份数，总和为$3+4+5+5+6+7=30$，平均数为$30÷6=5$，C错误。
验证D选项：离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，平均数为5，计算得：
$(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2=4+1+0+0+1+4=10$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
众数与中位数，平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是统计基础题型，核心考察常见统计量的定义与计算方法，只要熟练掌握各统计量的计算规则，结合排除法即可快速得出正确答案，计算时注意中位数需要先排序，离差平方和要避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需逐一验证每个选项对应的统计量是否正确，步骤如下：①先将数据从小到大排序，方便计算中位数和众数；②根据众数、中位数、平均数的定义分别计算对应数值，排除错误选项；③最后计算离差平方和验证剩余选项即可得到答案。
【解析】
首先将原数据从小到大排序：3，4，5，5，6，7。
验证A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中5出现2次，其余数各出现1次，所以众数是5，A错误。
验证B选项：中位数是排序后中间位置的数，数据共6个（偶数个），取第3、4个数的平均值，即$(5+5)÷2=5$，中位数是5，B错误。
验证C选项：平均数=总数量÷总份数，总和为$3+4+5+5+6+7=30$，平均数为$30÷6=5$，C错误。
验证D选项：离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，平均数为5，计算得：
$(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2=4+1+0+0+1+4=10$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
众数与中位数，平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是统计基础题型，核心考察常见统计量的定义与计算方法，只要熟练掌握各统计量的计算规则，结合排除法即可快速得出正确答案，计算时注意中位数需要先排序，离差平方和要避免计算失误。
【难度系数】
0.7
2. 把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 (
A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$
B
)A.$\{2\},\{4,8,10,12\}$
B.$\{2,4\},\{8,10,12\}$
C.$\{2,4,8\},\{10,12\}$
D.$\{2,4,8,10\},\{12\}$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先我们先将原数据按从小到大排序，题目要求按大小顺序分组，因此分组的切割位置只能在相邻两个数之间。组内离差平方和指的是组内每个数据与组内平均数的差的平方之和，总离差平方和为两组离差平方和的和，我们只需分别计算四个选项的总离差平方和，找到数值最小的选项即可。
【解析】
首先将原数据从小到大排序：2，4，8，10，12，分别计算各选项的总离差平方和：
1. 选项A：
第一组{2}只有1个数据，离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5$，离差平方和=$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$；
总离差平方和=$0+35=35$。
2. 选项B：
第一组平均数：$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和=$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
第二组平均数：$\frac{8+10+12}{3}=10$，离差平方和=$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$；
总离差平方和=$2+8=10$。
3. 选项C：
第一组平均数：$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3}$，离差平方和=$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{168}{9}\approx18.67$；
第二组平均数：$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和=$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$；
总离差平方和≈$18.67+2=20.67$。
4. 选项D：
第二组{12}只有1个数据，离差平方和为0；
第一组平均数：$\frac{2+4+8+10}{4}=6$，离差平方和=$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+4+16=40$；
总离差平方和=$40+0=40$。
对比四个总离差平方和：$10＜20.67＜35＜40$，因此选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，数据分组
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，离差平方和越小说明组内数据的集中程度越高，通过依次计算各选项的总离差平方和比较大小即可得出结果，计算过程中要注意平均数计算和平方运算的准确性。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先我们先将原数据按从小到大排序，题目要求按大小顺序分组，因此分组的切割位置只能在相邻两个数之间。组内离差平方和指的是组内每个数据与组内平均数的差的平方之和，总离差平方和为两组离差平方和的和，我们只需分别计算四个选项的总离差平方和，找到数值最小的选项即可。
【解析】
首先将原数据从小到大排序：2，4，8，10，12，分别计算各选项的总离差平方和：
1. 选项A：
第一组{2}只有1个数据，离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{4+8+10+12}{4}=8.5$，离差平方和=$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=20.25+0.25+2.25+12.25=35$；
总离差平方和=$0+35=35$。
2. 选项B：
第一组平均数：$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和=$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
第二组平均数：$\frac{8+10+12}{3}=10$，离差平方和=$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$；
总离差平方和=$2+8=10$。
3. 选项C：
第一组平均数：$\frac{2+4+8}{3}=\frac{14}{3}$，离差平方和=$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{168}{9}\approx18.67$；
第二组平均数：$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和=$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$；
总离差平方和≈$18.67+2=20.67$。
4. 选项D：
第二组{12}只有1个数据，离差平方和为0；
第一组平均数：$\frac{2+4+8+10}{4}=6$，离差平方和=$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=16+4+4+16=40$；
总离差平方和=$40+0=40$。
对比四个总离差平方和：$10＜20.67＜35＜40$，因此选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和计算，平均数计算，数据分组
【点评】
本题核心是理解离差平方和的含义，离差平方和越小说明组内数据的集中程度越高，通过依次计算各选项的总离差平方和比较大小即可得出结果，计算过程中要注意平均数计算和平方运算的准确性。
【难度系数】
0.7
