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一、选择题
1. [2025·平顶山二模]下列不等式中,与$1-x＞0$组成不等式组的解集为$x＜1$的是（
A.$x＜0$
B.$x＜2$
C.$x＞-1$
D.$x＞3$
1. [2025·平顶山二模]下列不等式中,与$1-x＞0$组成不等式组的解集为$x＜1$的是（
B
）A.$x＜0$
B.$x＜2$
C.$x＞-1$
D.$x＞3$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先先求解已知不等式$1-x＞0$的解集，再回忆一元一次不等式组解集的判定规则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。已知其中一个不等式的解集为$x＜1$，要让两个不等式组成的不等式组解集为$x＜1$，根据“同小取小”的规则，另一个不等式的解集的临界值要大于1，最后逐一分析选项即可得到答案。
【解析】
1. 先解已知不等式$1-x＞0$：
移项得$-x＞-1$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$x＜1$。
2. 逐一分析选项与$x＜1$组成的不等式组的解集：
选项A：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＜0\end{cases}$，根据“同小取小”，解集为$x＜0$，不符合要求；
选项B：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＜2\end{cases}$，根据“同小取小”，解集为$x＜1$，符合要求；
选项C：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＞-1\end{cases}$，解集为$-1＜x＜1$，不符合要求；
选项D：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＞3\end{cases}$，无公共解集，不等式组无解，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组解集的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对一元一次不等式组解集判定规则的运用，熟练记忆解集判定口诀可以快速完成解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先先求解已知不等式$1-x＞0$的解集，再回忆一元一次不等式组解集的判定规则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。已知其中一个不等式的解集为$x＜1$，要让两个不等式组成的不等式组解集为$x＜1$，根据“同小取小”的规则，另一个不等式的解集的临界值要大于1，最后逐一分析选项即可得到答案。
【解析】
1. 先解已知不等式$1-x＞0$：
移项得$-x＞-1$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$x＜1$。
2. 逐一分析选项与$x＜1$组成的不等式组的解集：
选项A：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＜0\end{cases}$，根据“同小取小”，解集为$x＜0$，不符合要求；
选项B：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＜2\end{cases}$，根据“同小取小”，解集为$x＜1$，符合要求；
选项C：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＞-1\end{cases}$，解集为$-1＜x＜1$，不符合要求；
选项D：组成的不等式组为$\begin{cases}x＜1 \\ x＞3\end{cases}$，无公共解集，不等式组无解，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组解集的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对一元一次不等式组解集判定规则的运用，熟练记忆解集判定口诀可以快速完成解题。
【难度系数】
0.8
2. 某种出租车的收费标准:起步价7元(即行驶的距离不超过3千米都需付7元车费),超过3千米,每增加1千米,加收2.4元(不足1千米按1千米计算).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元,那么此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是（
A.11千米
B.8千米
C.7千米
D.5千米
B
）A.11千米
B.8千米
C.7千米
D.5千米
答案
2.B
解析
【分析】
首先判断行驶路程范围：总车费19元大于起步价7元，说明路程超过3千米。解题思路为：第一步先减去起步价，得到超过3千米部分的总费用；第二步用该部分费用除以每千米加收的费用，算出超出3千米的最大路程；第三步加上起步包含的3千米，即可得到总路程的最大值，注意结合“不足1千米按1千米计算”的规则，此时算出的结果就是不额外增加车费的最大路程。
【解析】
1. 计算超出起步价的费用：$19 - 7 = 12$（元）
2. 计算超过3千米的最大路程：已知超过3千米后每千米加收2.4元，所以超出部分路程为$12 ÷ 2.4 = 5$（千米）
3. 计算总路程的最大值：$3 + 5 = 8$（千米）
若路程超过8千米，哪怕不足9千米，也会按9千米计费，车费会超过19元，因此最大路程为8千米。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算，实际最值计算
【点评】
本题结合生活中出租车收费的实际场景出题，解题关键是先区分起步里程和超出起步的里程分段计算，同时要注意计费规则中“不足1千米按1千米计算”的限制，才能准确求出路程的最大值。
【难度系数】
0.7
首先判断行驶路程范围：总车费19元大于起步价7元，说明路程超过3千米。解题思路为：第一步先减去起步价，得到超过3千米部分的总费用；第二步用该部分费用除以每千米加收的费用，算出超出3千米的最大路程；第三步加上起步包含的3千米，即可得到总路程的最大值，注意结合“不足1千米按1千米计算”的规则，此时算出的结果就是不额外增加车费的最大路程。
【解析】
1. 计算超出起步价的费用：$19 - 7 = 12$（元）
2. 计算超过3千米的最大路程：已知超过3千米后每千米加收2.4元，所以超出部分路程为$12 ÷ 2.4 = 5$（千米）
3. 计算总路程的最大值：$3 + 5 = 8$（千米）
若路程超过8千米，哪怕不足9千米，也会按9千米计费，车费会超过19元，因此最大路程为8千米。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算，实际最值计算
【点评】
本题结合生活中出租车收费的实际场景出题，解题关键是先区分起步里程和超出起步的里程分段计算，同时要注意计费规则中“不足1千米按1千米计算”的限制，才能准确求出路程的最大值。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x+y=4, \\ x+2y=-3m+2 \end{cases} $ 的解满足 $ x-y＞-\dfrac{3}{2} $，则 $ m $ 的最小整数解为
（
A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$0$
（
C
）A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$0$
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察方程组中两个方程x、y的系数特点，发现直接将两个方程相减即可得到x-y的代数式，无需单独求解x和y的值，能简化计算。得到x-y关于m的表达式后，代入题目给出的不等式$x-y＞-\dfrac{3}{2}$，解出m的取值范围，最后在取值范围内找出最小的整数解即可。
【解析】
记方程组中两个方程分别为：
$\begin{cases}2x+y=4 \quad \mathrm{①} \\ x+2y=-3m+2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①$-$②，得：
$(2x+y)-(x+2y)=4-(-3m+2)$
化简左边：$2x+y-x-2y=x-y$
化简右边：$4+3m-2=3m+2$
因此可得：$x-y=3m+2$
已知$x-y＞-\dfrac{3}{2}$，将$x-y=3m+2$代入不等式，得：
$3m+2＞-\dfrac{3}{2}$
移项，得：$3m＞-\dfrac{3}{2}-2$
计算右边：$-\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{7}{2}$
不等式两边同时除以3，得：$m＞-\dfrac{7}{6}\approx-1.17$
大于$-1.17$的最小整数为$-1$，即m的最小整数解是$-1$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的变形；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题解题的核心是灵活处理方程组，通过观察系数特点直接作差得到x-y的表达式，避免了分别求解x、y的繁琐计算，同时考查了一元一次不等式的求解及整数解的确定，需要注意移项时的符号变化。
【难度系数】
0.7
首先观察方程组中两个方程x、y的系数特点，发现直接将两个方程相减即可得到x-y的代数式，无需单独求解x和y的值，能简化计算。得到x-y关于m的表达式后，代入题目给出的不等式$x-y＞-\dfrac{3}{2}$，解出m的取值范围，最后在取值范围内找出最小的整数解即可。
【解析】
记方程组中两个方程分别为：
$\begin{cases}2x+y=4 \quad \mathrm{①} \\ x+2y=-3m+2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①$-$②，得：
$(2x+y)-(x+2y)=4-(-3m+2)$
化简左边：$2x+y-x-2y=x-y$
化简右边：$4+3m-2=3m+2$
因此可得：$x-y=3m+2$
已知$x-y＞-\dfrac{3}{2}$，将$x-y=3m+2$代入不等式，得：
$3m+2＞-\dfrac{3}{2}$
移项，得：$3m＞-\dfrac{3}{2}-2$
计算右边：$-\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{7}{2}$
不等式两边同时除以3，得：$m＞-\dfrac{7}{6}\approx-1.17$
大于$-1.17$的最小整数为$-1$，即m的最小整数解是$-1$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的变形；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题解题的核心是灵活处理方程组，通过观察系数特点直接作差得到x-y的表达式，避免了分别求解x、y的繁琐计算，同时考查了一元一次不等式的求解及整数解的确定，需要注意移项时的符号变化。
【难度系数】
0.7
4. [2025·安阳二模]不等式$6x-1≥ 8x-5$的解集在数轴上表示正确的是（
B
）答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要解出给定一元一次不等式的解集，再根据解集的数轴表示规则判断正确选项。解不等式按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，注意系数化为1时若两边同时除以负数，不等号方向要改变；数轴表示解集时，包含对应端点用实心点，不包含用空心圈，小于朝左、大于朝右。
【解析】
解不等式$6x-1≥ 8x-5$：
1. 移项，得：$6x-8x≥-5+1$
2. 合并同类项，得：$-2x≥-4$
3. 系数化为1（两边同时除以$-2$，不等号方向改变），得：$x≤2$
$x≤2$对应数轴上2的位置为实心点，折线向左延伸，只有选项B符合该表示。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式的求解和解集的数轴表示，易错点是系数化为1时忽略不等号方向的变化，以及数轴上实心点和空心圈的使用混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要解出给定一元一次不等式的解集，再根据解集的数轴表示规则判断正确选项。解不等式按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，注意系数化为1时若两边同时除以负数，不等号方向要改变；数轴表示解集时，包含对应端点用实心点，不包含用空心圈，小于朝左、大于朝右。
【解析】
解不等式$6x-1≥ 8x-5$：
1. 移项，得：$6x-8x≥-5+1$
2. 合并同类项，得：$-2x≥-4$
3. 系数化为1（两边同时除以$-2$，不等号方向改变），得：$x≤2$
$x≤2$对应数轴上2的位置为实心点，折线向左延伸，只有选项B符合该表示。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式的求解和解集的数轴表示，易错点是系数化为1时忽略不等号方向的变化，以及数轴上实心点和空心圈的使用混淆。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 不等式 $ x - 2025 ＞ 0 $ 的解集是 ______。
1. 不等式 $ x - 2025 ＞ 0 $ 的解集是 ______。
答案
1. $x＞2\ 025$
解析
【分析】
本题是求解一元一次不等式的解集，解题核心是将未知数x单独放在不等号的一侧。观察不等式形式，左边为x减2025，我们可以利用不等式的基本性质1：不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，在不等式两边同时加2025，消去左边的常数项，即可得到x的取值范围。
【解析】
解：已知不等式为 $x - 2025 ＞ 0$
根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时加上2025，不等号方向不变，可得：
$x - 2025 + 2025 ＞ 0 + 2025$
计算后得：$x ＞ 2025$
【答案】
$x＞2\ 025$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的基本求解方法，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元一次不等式的解集，解题核心是将未知数x单独放在不等号的一侧。观察不等式形式，左边为x减2025，我们可以利用不等式的基本性质1：不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，在不等式两边同时加2025，消去左边的常数项，即可得到x的取值范围。
【解析】
解：已知不等式为 $x - 2025 ＞ 0$
根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时加上2025，不等号方向不变，可得：
$x - 2025 + 2025 ＞ 0 + 2025$
计算后得：$x ＞ 2025$
【答案】
$x＞2\ 025$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次不等式的基本求解方法，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键。
【难度系数】
0.9
2. [2024·焦作二模]不等式组$\begin{cases}2+x＞0,\\2x-4≤0\end{cases}$的最大整数解是________.
答案
2. 2
解析
【分析】要解决这个问题，我们按照三步思路推导：第一步，分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集；第二步，找出两个解集的公共部分，即为整个不等式组的解集；第三步，在不等式组的解集范围内，筛选出最大的整数解即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$2+x＞0$：
移项可得$x＞-2$。
2. 解第二个不等式$2x-4≤0$：
先移项得$2x≤4$，两边同时除以2得$x≤2$。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$-2＜x≤2$。
4. 找最大整数解：
在$-2＜x≤2$范围内的整数有$-1、0、1、2$，其中最大的整数为2。
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组的整数解
【点评】本题属于基础题，核心考查一元一次不等式组的解法和整数解的确定，解题时注意移项要变号，系数化为1时若乘除负数要改变不等号方向，准确得到公共解集后就能快速找到对应整数解。
【难度系数】0.9
【解析】
1. 解第一个不等式$2+x＞0$：
移项可得$x＞-2$。
2. 解第二个不等式$2x-4≤0$：
先移项得$2x≤4$，两边同时除以2得$x≤2$。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$-2＜x≤2$。
4. 找最大整数解：
在$-2＜x≤2$范围内的整数有$-1、0、1、2$，其中最大的整数为2。
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集；不等式组的整数解
【点评】本题属于基础题，核心考查一元一次不等式组的解法和整数解的确定，解题时注意移项要变号，系数化为1时若乘除负数要改变不等号方向，准确得到公共解集后就能快速找到对应整数解。
【难度系数】0.9
3. 不等式组$\begin{cases}\dfrac{x}{2} + a ≥ 2, \\2x - b ＜ 3\end{cases}$的解集是$0 ≤ x ＜ 1$，那么$a+b$的值为________。
答案
3. 1
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先把参数a、b当作常数，分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则写出用a、b表示的总解集，最后将这个解集和题目给出的已知解集$0≤ x＜1$对应相等，得到关于a、b的方程，解出a、b的值后就能计算$a+b$的结果了。
【解析】
第一步：解第一个不等式$\dfrac{x}{2} + a ≥ 2$
移项得：$\dfrac{x}{2} ≥ 2 - a$
两边同时乘2得：$x ≥ 4 - 2a$
第二步：解第二个不等式$2x - b ＜ 3$
移项得：$2x ＜ 3 + b$
两边同时除以2得：$x ＜ \dfrac{3 + b}{2}$
第三步：写出不等式组的解集
结合两个不等式的解，不等式组的解集为$4 - 2a ≤ x ＜ \dfrac{3 + b}{2}$
第四步：对应已知解集求参数
已知不等式组的解集是$0 ≤ x ＜ 1$，因此对应端点值相等：
$\begin{cases}4 - 2a = 0 \\ \dfrac{3 + b}{2} = 1\end{cases}$
解第一个方程：$4-2a=0$，得$2a=4$，$a=2$
解第二个方程：$\dfrac{3+b}{2}=1$，得$3+b=2$，$b=-1$
第五步：计算$a+b$
$a+b=2+(-1)=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是不等式组的基础常考题型，核心考查将参数看作常数求解不等式组解集，再通过解集对应关系建立方程求参数的方法，解题时要注意不等号方向不要出错，端点值的对应要准确。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先把参数a、b当作常数，分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则写出用a、b表示的总解集，最后将这个解集和题目给出的已知解集$0≤ x＜1$对应相等，得到关于a、b的方程，解出a、b的值后就能计算$a+b$的结果了。
【解析】
第一步：解第一个不等式$\dfrac{x}{2} + a ≥ 2$
移项得：$\dfrac{x}{2} ≥ 2 - a$
两边同时乘2得：$x ≥ 4 - 2a$
第二步：解第二个不等式$2x - b ＜ 3$
移项得：$2x ＜ 3 + b$
两边同时除以2得：$x ＜ \dfrac{3 + b}{2}$
第三步：写出不等式组的解集
结合两个不等式的解，不等式组的解集为$4 - 2a ≤ x ＜ \dfrac{3 + b}{2}$
第四步：对应已知解集求参数
已知不等式组的解集是$0 ≤ x ＜ 1$，因此对应端点值相等：
$\begin{cases}4 - 2a = 0 \\ \dfrac{3 + b}{2} = 1\end{cases}$
解第一个方程：$4-2a=0$，得$2a=4$，$a=2$
解第二个方程：$\dfrac{3+b}{2}=1$，得$3+b=2$，$b=-1$
第五步：计算$a+b$
$a+b=2+(-1)=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是不等式组的基础常考题型，核心考查将参数看作常数求解不等式组解集，再通过解集对应关系建立方程求参数的方法，解题时要注意不等号方向不要出错，端点值的对应要准确。
【难度系数】
0.7
4. [2023·洛阳模拟]已知关于x的不等式组$\begin{cases}x-2＜1, \\ x＜m,\end{cases}$其中m在数轴上的对应点如图所示.则这个不等式组的解集为 ______ .
答案
4. $x＜3$
解析
【分析】
解题时按三步思考即可：第一步先求解不等式组中的第一个不等式，得到x的一个取值范围；第二步观察数轴上m和3的位置，判断出m与3的大小关系；第三步根据不等式组解集“同小取小”的判定规则，就能得出最终的解集。
【解析】
1. 解不等式$x-2＜1$：
移项可得$x＜1+2$，计算得$x＜3$。
2. 观察数轴可知，m对应的点在3的右侧，因此$m＞3$。
3. 此时不等式组可化为$\begin{cases}x＜3 \\ x＜m\end{cases}$，根据“同小取小”的解集判定规则：两个解集都为小于号时，取更小的边界值作为解集的边界，因此不等式组的解集为$x＜3$。
【答案】
$x＜3$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集判定，数轴的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组解集的确定方法，解题的关键是准确求解单个不等式，同时结合数轴正确判断参数m和3的大小关系，熟练掌握不等式组解集的判定口诀可以快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时按三步思考即可：第一步先求解不等式组中的第一个不等式，得到x的一个取值范围；第二步观察数轴上m和3的位置，判断出m与3的大小关系；第三步根据不等式组解集“同小取小”的判定规则，就能得出最终的解集。
【解析】
1. 解不等式$x-2＜1$：
移项可得$x＜1+2$，计算得$x＜3$。
2. 观察数轴可知，m对应的点在3的右侧，因此$m＞3$。
3. 此时不等式组可化为$\begin{cases}x＜3 \\ x＜m\end{cases}$，根据“同小取小”的解集判定规则：两个解集都为小于号时，取更小的边界值作为解集的边界，因此不等式组的解集为$x＜3$。
【答案】
$x＜3$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集判定，数轴的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组解集的确定方法，解题的关键是准确求解单个不等式，同时结合数轴正确判断参数m和3的大小关系，熟练掌握不等式组解集的判定口诀可以快速解题。
【难度系数】
0.9
