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三、解答题
1. [2023·福建]解不等式组$\begin{cases}2x+1＜3, & \mathrm{①} \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{1-3x}{4}≤ 1. & \mathrm{②}\end{cases}$
1. [2023·福建]解不等式组$\begin{cases}2x+1＜3, & \mathrm{①} \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{1-3x}{4}≤ 1. & \mathrm{②}\end{cases}$
答案
1. $-3≤x＜1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。求解每个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，含分母的不等式先去分母，同时要注意不等式两边乘（或除以）负数时，不等号方向要改变，最后根据解集取值规则确定公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式①$2x+1＜3$：
移项得：$2x ＜ 3 - 1$
合并同类项得：$2x ＜ 2$
系数化为1得：$x ＜ 1$
2. 解不等式②$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1-3x}{4}≤ 1$：
两边同乘4去分母得：$2x + (1-3x) ≤ 4$
去括号得：$2x + 1 - 3x ≤ 4$
移项、合并同类项得：$-x ≤ 3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-3 ≤ x ＜ 1$。
【答案】
$-3≤x＜1$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查解一元一次不等式组的能力，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若乘除负数要及时改变不等号方向，准确判断两个解集的公共部分即可得分。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。求解每个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，含分母的不等式先去分母，同时要注意不等式两边乘（或除以）负数时，不等号方向要改变，最后根据解集取值规则确定公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式①$2x+1＜3$：
移项得：$2x ＜ 3 - 1$
合并同类项得：$2x ＜ 2$
系数化为1得：$x ＜ 1$
2. 解不等式②$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1-3x}{4}≤ 1$：
两边同乘4去分母得：$2x + (1-3x) ≤ 4$
去括号得：$2x + 1 - 3x ≤ 4$
移项、合并同类项得：$-x ≤ 3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-3 ≤ x ＜ 1$。
【答案】
$-3≤x＜1$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查解一元一次不等式组的能力，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若乘除负数要及时改变不等号方向，准确判断两个解集的公共部分即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖,准备为困难村民购买一些米、面.已知购买1袋大米、4袋面粉,共需240元;购买2袋大米、1袋面粉,共需165元.
(1)求大米和面粉每袋各多少元.
(2)如果爱心小分队计划购买这些米、面共40袋,总费用不超过2 140元,那么至少购买多少袋面粉?
(1)求大米和面粉每袋各多少元.
(2)如果爱心小分队计划购买这些米、面共40袋,总费用不超过2 140元,那么至少购买多少袋面粉?
答案
2. 解:(1)设每袋大米x元,每袋面粉y元.
根据题意,得$\begin{cases} x+4y=240, \\ 2x+y=165. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=60, \\ y=45. \end{cases}$
答:每袋大米60元,每袋面粉45元.
(2)设购买面粉a袋,则购买大米(40-a)袋,
根据题意,得$60(40-a)+45a≤2\ 140$.
解得$a≥17\dfrac{1}{3}$.
∵a为整数,
∴至少购买18袋面粉.
根据题意,得$\begin{cases} x+4y=240, \\ 2x+y=165. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=60, \\ y=45. \end{cases}$
答:每袋大米60元,每袋面粉45元.
(2)设购买面粉a袋,则购买大米(40-a)袋,
根据题意,得$60(40-a)+45a≤2\ 140$.
解得$a≥17\dfrac{1}{3}$.
∵a为整数,
∴至少购买18袋面粉.
解析
【分析】
(1) 本题包含大米单价、面粉单价两个未知量，题干给出了两种购买方案的总费用，对应两个等量关系，因此可以设二元一次方程组求解。先分别设大米、面粉每袋价格为x元、y元，根据“1袋大米费用+4袋面粉费用=240元”“2袋大米费用+1袋面粉费用=165元”列方程组，解方程组即可得到两种商品的单价。
(2) 已知米面总袋数为40，总费用不超过2140元，属于带约束的最值问题。设购买面粉a袋，则大米袋数为(40-a)袋，根据“大米总费用+面粉总费用≤2140元”列一元一次不等式，解不等式后注意袋数为正整数，取满足条件的最小整数即为最少购买的面粉袋数。
【解析】
(1) 设每袋大米x元，每袋面粉y元。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} x+4y=240 \\ 2x+y=165 \end{cases}$
将第一个方程乘2得$2x+8y=480$，减去第二个方程得$7y=315$，解得$y=45$，把$y=45$代入$2x+y=165$，解得$x=60$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=60 \\ y=45 \end{cases}$
答：每袋大米60元，每袋面粉45元。
(2) 设购买面粉a袋，则购买大米$(40-a)$袋。
根据总费用不超过2140元，列不等式得：
$60(40-a)+45a ≤ 2140$
展开计算得$2400 - 60a + 45a ≤ 2140$
合并同类项得$2400 -15a ≤ 2140$
移项整理得$15a ≥ 260$，解得$a ≥ 17\dfrac{1}{3}$
因为a为面粉袋数，必须是正整数，所以a的最小取值为18。
答：至少购买18袋面粉。
【答案】
(1) 大米每袋60元，面粉每袋45元；
(2) 至少购买18袋面粉。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、实际问题整数解
【点评】
本题是贴近生活的方程与不等式综合应用题，核心考查从题干中提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，不能直接照搬纯数学计算结果作答。
【难度系数】
0.7
(1) 本题包含大米单价、面粉单价两个未知量，题干给出了两种购买方案的总费用，对应两个等量关系，因此可以设二元一次方程组求解。先分别设大米、面粉每袋价格为x元、y元，根据“1袋大米费用+4袋面粉费用=240元”“2袋大米费用+1袋面粉费用=165元”列方程组，解方程组即可得到两种商品的单价。
(2) 已知米面总袋数为40，总费用不超过2140元，属于带约束的最值问题。设购买面粉a袋，则大米袋数为(40-a)袋，根据“大米总费用+面粉总费用≤2140元”列一元一次不等式，解不等式后注意袋数为正整数，取满足条件的最小整数即为最少购买的面粉袋数。
【解析】
(1) 设每袋大米x元，每袋面粉y元。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases} x+4y=240 \\ 2x+y=165 \end{cases}$
将第一个方程乘2得$2x+8y=480$，减去第二个方程得$7y=315$，解得$y=45$，把$y=45$代入$2x+y=165$，解得$x=60$。
即方程组的解为$\begin{cases} x=60 \\ y=45 \end{cases}$
答：每袋大米60元，每袋面粉45元。
(2) 设购买面粉a袋，则购买大米$(40-a)$袋。
根据总费用不超过2140元，列不等式得：
$60(40-a)+45a ≤ 2140$
展开计算得$2400 - 60a + 45a ≤ 2140$
合并同类项得$2400 -15a ≤ 2140$
移项整理得$15a ≥ 260$，解得$a ≥ 17\dfrac{1}{3}$
因为a为面粉袋数，必须是正整数，所以a的最小取值为18。
答：至少购买18袋面粉。
【答案】
(1) 大米每袋60元，面粉每袋45元；
(2) 至少购买18袋面粉。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、实际问题整数解
【点评】
本题是贴近生活的方程与不等式综合应用题，核心考查从题干中提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，不能直接照搬纯数学计算结果作答。
【难度系数】
0.7
3. 大人、小孩共100个,大人每人植树4棵,每4个小孩植树1棵,大人、小孩共植100棵树.有多少个大人?多少个小孩?
答案
3. 有20个大人,80个小孩.
解析
【分析】
这是典型的鸡兔同笼类应用题，解题时先明确两个等量关系：①大人人数+小孩人数=100；②大人植树总棵数+小孩植树总棵数=100。我们可以设其中一个未知量为x，用含x的式子表示另一个未知量，再根据植树总棵数的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设大人有$ x $个，则小孩有$ (100 - x) $个。
根据题意，大人每人植4棵树，小孩每4个植1棵树，总植树量为100棵，可列方程：
$ 4x + \frac{100 - x}{4} = 100 $
方程两边同时乘4消去分母，得：
$ 16x + 100 - x = 400 $
合并同类项，得：
$ 15x = 300 $
解得：$ x = 20 $
则小孩的人数为：$ 100 - 20 = 80 $（个）
检验：20个大人植树$ 20×4=80 $棵，80个小孩植树$ 80÷4=20 $棵，合计$ 80+20=100 $棵，符合题意。
【答案】
有20个大人,80个小孩.
【知识点】
一元一次方程应用；鸡兔同笼问题
【点评】
本题是经典的鸡兔同笼变形问题，解题核心是找准人数和总植树量的两个等量关系，通过设未知数列一元一次方程即可求解，计算时注意消去分母时不要漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
这是典型的鸡兔同笼类应用题，解题时先明确两个等量关系：①大人人数+小孩人数=100；②大人植树总棵数+小孩植树总棵数=100。我们可以设其中一个未知量为x，用含x的式子表示另一个未知量，再根据植树总棵数的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设大人有$ x $个，则小孩有$ (100 - x) $个。
根据题意，大人每人植4棵树，小孩每4个植1棵树，总植树量为100棵，可列方程：
$ 4x + \frac{100 - x}{4} = 100 $
方程两边同时乘4消去分母，得：
$ 16x + 100 - x = 400 $
合并同类项，得：
$ 15x = 300 $
解得：$ x = 20 $
则小孩的人数为：$ 100 - 20 = 80 $（个）
检验：20个大人植树$ 20×4=80 $棵，80个小孩植树$ 80÷4=20 $棵，合计$ 80+20=100 $棵，符合题意。
【答案】
有20个大人,80个小孩.
【知识点】
一元一次方程应用；鸡兔同笼问题
【点评】
本题是经典的鸡兔同笼变形问题，解题核心是找准人数和总植树量的两个等量关系，通过设未知数列一元一次方程即可求解，计算时注意消去分母时不要漏乘常数项。
【难度系数】
0.7
四、趣味题
下面是从不同位置看到的某个骰子的图片,仔细观察它们,看看能不能猜出问号处的点数.
下面是从不同位置看到的某个骰子的图片,仔细观察它们,看看能不能猜出问号处的点数.
答案
点数为6.
解析
【分析】
解题的核心是利用正方体“相对面不相邻”的特征推导各点数的对应关系：
1. 首先明确骰子的点数为1~6，每个点数对应唯一的面，和某个点数相邻的所有点数确定后，剩下的就是它的相对面点数。
2. 先找点数1的相邻面：从第一个骰子可知1和3、2相邻，从第三个骰子可知1和4、5相邻，因此1的相邻面有2、3、4、5，可推出1的相对面是6。
3. 再找点数3的相邻面：从第一个骰子可知3和1、2相邻，从第二个骰子可知3和5相邻，从第四个骰子可知3和6、5相邻，因此3的相邻面有1、2、5、6，可推出3的相对面是4。
4. 剩下的2和5自然是相对面。
5. 最后分析第二个骰子：已知正面是5、右面是3，结合相对面关系排除不可能的点数，再参考其他骰子的相邻特征就能得出问号处的点数。
【解析】
步骤1：推导相对面
点数1的相邻面为2、3、4、5，因此1的对面是6；
点数3的相邻面为1、2、5、6，因此3的对面是4；
剩余点数2和5互为对面。
步骤2：分析第二个骰子的可选点数
第二个骰子正面是5（对面是2）、右面是3（对面是4），因此排除2、3、4、5，顶面只能是1或6。
步骤3：确定最终点数
观察第四个骰子：点数3在上面、5在右面、6在正面，说明3、5、6三个面两两相邻，第二个骰子中3和5已经相邻，因此顶面只能是6。
【答案】
点数为6.
【知识点】
正方体相对面特征，逻辑推理
【点评】
本题需要结合空间想象能力和逻辑推理能力解题，通过“相邻面推导相对面”的方法可以快速缩小答案范围，熟悉骰子的面的分布特征能进一步提高解题效率。
【难度系数】
0.6
解题的核心是利用正方体“相对面不相邻”的特征推导各点数的对应关系：
1. 首先明确骰子的点数为1~6，每个点数对应唯一的面，和某个点数相邻的所有点数确定后，剩下的就是它的相对面点数。
2. 先找点数1的相邻面：从第一个骰子可知1和3、2相邻，从第三个骰子可知1和4、5相邻，因此1的相邻面有2、3、4、5，可推出1的相对面是6。
3. 再找点数3的相邻面：从第一个骰子可知3和1、2相邻，从第二个骰子可知3和5相邻，从第四个骰子可知3和6、5相邻，因此3的相邻面有1、2、5、6，可推出3的相对面是4。
4. 剩下的2和5自然是相对面。
5. 最后分析第二个骰子：已知正面是5、右面是3，结合相对面关系排除不可能的点数，再参考其他骰子的相邻特征就能得出问号处的点数。
【解析】
步骤1：推导相对面
点数1的相邻面为2、3、4、5，因此1的对面是6；
点数3的相邻面为1、2、5、6，因此3的对面是4；
剩余点数2和5互为对面。
步骤2：分析第二个骰子的可选点数
第二个骰子正面是5（对面是2）、右面是3（对面是4），因此排除2、3、4、5，顶面只能是1或6。
步骤3：确定最终点数
观察第四个骰子：点数3在上面、5在右面、6在正面，说明3、5、6三个面两两相邻，第二个骰子中3和5已经相邻，因此顶面只能是6。
【答案】
点数为6.
【知识点】
正方体相对面特征，逻辑推理
【点评】
本题需要结合空间想象能力和逻辑推理能力解题，通过“相邻面推导相对面”的方法可以快速缩小答案范围，熟悉骰子的面的分布特征能进一步提高解题效率。
【难度系数】
0.6
