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三、解答题
1. [2024·商丘二模]解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}＞-1,①\\2(x+1)≤4.②\end{cases}$
1. [2024·商丘二模]解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2}＞-1,①\\2(x+1)≤4.②\end{cases}$
答案
1. $-1＜x≤1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。求解本题时，先对不等式①去分母、移项求出其解集，再对不等式②化简、移项求出解集，最后结合“大小小大中间找”的口诀确定公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式①$\dfrac{x-1}{2}＞-1$：
不等式两边同时乘2，得$x-1＞-2$，
移项，得$x＞-2+1$，即$x＞-1$。
2. 解不等式②$2(x+1)≤4$：
不等式两边同时除以2，得$x+1≤2$，
移项，得$x≤2-1$，即$x≤1$。
两个不等式的解集的公共部分为$-1＜x≤1$，即该不等式组的解集为$-1＜x≤1$。
【答案】
$-1＜x≤1$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组的解集确定
【点评】
本题是解不等式组的基础题型，重点考查一元一次不等式的基本运算步骤和不等式组解集的判断方法，熟练掌握去分母、移项等运算规则，以及解集的判定口诀是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。求解本题时，先对不等式①去分母、移项求出其解集，再对不等式②化简、移项求出解集，最后结合“大小小大中间找”的口诀确定公共解集即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式①$\dfrac{x-1}{2}＞-1$：
不等式两边同时乘2，得$x-1＞-2$，
移项，得$x＞-2+1$，即$x＞-1$。
2. 解不等式②$2(x+1)≤4$：
不等式两边同时除以2，得$x+1≤2$，
移项，得$x≤2-1$，即$x≤1$。
两个不等式的解集的公共部分为$-1＜x≤1$，即该不等式组的解集为$-1＜x≤1$。
【答案】
$-1＜x≤1$
【知识点】
一元一次不等式的解法；一元一次不等式组的解集确定
【点评】
本题是解不等式组的基础题型，重点考查一元一次不等式的基本运算步骤和不等式组解集的判断方法，熟练掌握去分母、移项等运算规则，以及解集的判定口诀是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 周末,七年级7班在老师的带领下开展了“绿水青山就是金山银山”的大型植树活动. 全班一起种植杨树和柳树. 已知购买1棵杨树和2棵柳树需要42元,购买2棵杨树和1棵柳树需要48元.
(1)你来算一算杨树、柳树每棵各多少钱.
(2)全班种植杨树和柳树共20棵,且杨树的数量不少于柳树的数量,但由于班费资金紧张,老师要求两种树的总成本不得高于312元. 聪明的同学,你知道共有哪几种种植方案吗?
(1)你来算一算杨树、柳树每棵各多少钱.
(2)全班种植杨树和柳树共20棵,且杨树的数量不少于柳树的数量,但由于班费资金紧张,老师要求两种树的总成本不得高于312元. 聪明的同学,你知道共有哪几种种植方案吗?
答案
2. 解:(1)设杨树每棵x元,柳树每棵y元,根据题意,得$\begin{cases}x+2y=42,\\2x+y=48.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=18,\\y=12.\end{cases}$
答:杨树每棵18元,柳树每棵12元.
(2)设种植杨树a棵,则种植柳树为(20-a)棵,根据题意,得$\begin{cases}18a+12(20-a)≤312,\\a≥20-a.\end{cases}$
解得$10≤ a≤12$.
根据题意得a的值为10,11,12.
所以有三种方案:
方案一,种植10棵杨树、10棵柳树;
方案二,种植11棵杨树、9棵柳树;
方案三,种植12棵杨树、8棵柳树.
解得$\begin{cases}x=18,\\y=12.\end{cases}$
答:杨树每棵18元,柳树每棵12元.
(2)设种植杨树a棵,则种植柳树为(20-a)棵,根据题意,得$\begin{cases}18a+12(20-a)≤312,\\a≥20-a.\end{cases}$
解得$10≤ a≤12$.
根据题意得a的值为10,11,12.
所以有三种方案:
方案一,种植10棵杨树、10棵柳树;
方案二,种植11棵杨树、9棵柳树;
方案三,种植12棵杨树、8棵柳树.
解析
【分析】
(1) 第一问需求杨树和柳树的单价，存在两个未知量，题干给出两组购买总价的条件，可通过设两个未知数，结合“1棵杨树费用+2棵柳树费用=42元”、“2棵杨树费用+1棵柳树费用=48元”两个等量关系列二元一次方程组，解方程组即可得到两种树的单价。
(2) 第二问是方案设计问题，已知两种树总种植量为20棵，可设种植杨树a棵，则柳树为(20-a)棵，提取两个限制条件：①杨树数量不少于柳树数量，即杨树棵数≥柳树棵数；②两种树总成本不高于312元，即杨树总费用+柳树总费用≤312元，将两个条件转化为不等式组成不等式组，求解得到a的取值范围，结合a为正整数的实际意义，取范围内的整数解，对应得到所有种植方案。
【解析】
(1) 设杨树每棵x元，柳树每棵y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+2y=42\\2x+y=48\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$x=42-2y$，代入第二个方程得$2(42-2y)+y=48$，展开计算得$84-3y=48$，解得$y=12$，将$y=12$代入$x=42-2y$得$x=18$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=18\\y=12\end{cases}$
(2) 设种植杨树a棵，则种植柳树(20-a)棵，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}18a+12(20-a)≤312\\a≥20-a\end{cases}$
解第一个不等式：$18a+240-12a≤312$，合并计算得$6a≤72$，解得$a≤12$。
解第二个不等式：移项得$2a≥20$，解得$a≥10$。
所以不等式组的解集为$10≤a≤12$，因a为树的棵数，是正整数，故a可取10、11、12，对应三种种植方案：
方案一：种植杨树10棵，柳树10棵；
方案二：种植杨树11棵，柳树9棵；
方案三：种植杨树12棵，柳树8棵。
【答案】
(1) 杨树每棵18元，柳树每棵12元；
(2) 共有3种种植方案：①种植10棵杨树、10棵柳树；②种植11棵杨树、9棵柳树；③种植12棵杨树、8棵柳树。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题结合植树的实际场景考查数学建模能力，需要学生准确提取题干中的等量关系和不等关系，建立对应的方程组和不等式组求解，解题时要注意未知数的实际意义（棵数为正整数），是贴近生活的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需求杨树和柳树的单价，存在两个未知量，题干给出两组购买总价的条件，可通过设两个未知数，结合“1棵杨树费用+2棵柳树费用=42元”、“2棵杨树费用+1棵柳树费用=48元”两个等量关系列二元一次方程组，解方程组即可得到两种树的单价。
(2) 第二问是方案设计问题，已知两种树总种植量为20棵，可设种植杨树a棵，则柳树为(20-a)棵，提取两个限制条件：①杨树数量不少于柳树数量，即杨树棵数≥柳树棵数；②两种树总成本不高于312元，即杨树总费用+柳树总费用≤312元，将两个条件转化为不等式组成不等式组，求解得到a的取值范围，结合a为正整数的实际意义，取范围内的整数解，对应得到所有种植方案。
【解析】
(1) 设杨树每棵x元，柳树每棵y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+2y=42\\2x+y=48\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$x=42-2y$，代入第二个方程得$2(42-2y)+y=48$，展开计算得$84-3y=48$，解得$y=12$，将$y=12$代入$x=42-2y$得$x=18$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=18\\y=12\end{cases}$
(2) 设种植杨树a棵，则种植柳树(20-a)棵，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}18a+12(20-a)≤312\\a≥20-a\end{cases}$
解第一个不等式：$18a+240-12a≤312$，合并计算得$6a≤72$，解得$a≤12$。
解第二个不等式：移项得$2a≥20$，解得$a≥10$。
所以不等式组的解集为$10≤a≤12$，因a为树的棵数，是正整数，故a可取10、11、12，对应三种种植方案：
方案一：种植杨树10棵，柳树10棵；
方案二：种植杨树11棵，柳树9棵；
方案三：种植杨树12棵，柳树8棵。
【答案】
(1) 杨树每棵18元，柳树每棵12元；
(2) 共有3种种植方案：①种植10棵杨树、10棵柳树；②种植11棵杨树、9棵柳树；③种植12棵杨树、8棵柳树。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题结合植树的实际场景考查数学建模能力，需要学生准确提取题干中的等量关系和不等关系，建立对应的方程组和不等式组求解，解题时要注意未知数的实际意义（棵数为正整数），是贴近生活的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
3. 某公司计划生产甲、乙两种产品共20件,其总产值w(万元)满足1 150＜w＜1 200,相关数据如下表.
产品名称 每件产品的产值/万元
甲
45
乙 75
为此,公司应怎样设计这两种产品的生产方案?
产品名称 每件产品的产值/万元
甲
45乙 75
为此,公司应怎样设计这两种产品的生产方案?
答案
3. 解:设生产甲种产品x件,则生产乙种产品(20-x)件.根据题意得
$1\ 150＜45x+75(20-x)＜1\ 200$.
解得$10＜x＜11\dfrac{2}{3}$. 所以$x=11$.
答:生产甲种产品11件,乙种产品9件.
$1\ 150＜45x+75(20-x)＜1\ 200$.
解得$10＜x＜11\dfrac{2}{3}$. 所以$x=11$.
答:生产甲种产品11件,乙种产品9件.
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：甲乙两种产品总数量为20件，总产值w满足1150＜w＜1200，且已知甲乙的单件产值。解题时可先设生产甲产品x件，那么乙产品数量可表示为(20-x)件，再根据“总产值=甲产品总产值+乙产品总产值”的关系，结合总产值的取值范围列出一元一次不等式，解出x的取值范围后，由于产品件数为正整数，需要在取值范围内选取符合要求的整数解，最终就能得到对应的生产方案。
【解析】
解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品(20-x)件。
根据总产值的范围可列不等式：
$1150＜45x+75(20-x)＜1200$
化简不等式：
$1150＜1500-30x＜1200$
不等式三边同时减去1500，得：
$-350＜-30x＜-300$
不等式三边同时除以-30，不等号方向改变，得：
$10＜x＜11\frac{2}{3}$
因为x代表产品生产件数，必须为正整数，因此x只能取11。
则乙产品的生产数量为：$20-11=9$（件）
【答案】
生产甲种产品11件，乙种产品9件。
【知识点】
一元一次不等式应用、实际问题整数解、方案设计
【点评】
本题是结合生产实际的不等式应用题型，解题关键是准确抓住总产值的限制条件列出不等式，同时要注意结合实际意义对不等式的解进行筛选，这类题型考查学生将数学知识应用到实际场景的能力，掌握解题逻辑后难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确题目已知条件：甲乙两种产品总数量为20件，总产值w满足1150＜w＜1200，且已知甲乙的单件产值。解题时可先设生产甲产品x件，那么乙产品数量可表示为(20-x)件，再根据“总产值=甲产品总产值+乙产品总产值”的关系，结合总产值的取值范围列出一元一次不等式，解出x的取值范围后，由于产品件数为正整数，需要在取值范围内选取符合要求的整数解，最终就能得到对应的生产方案。
【解析】
解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品(20-x)件。
根据总产值的范围可列不等式：
$1150＜45x+75(20-x)＜1200$
化简不等式：
$1150＜1500-30x＜1200$
不等式三边同时减去1500，得：
$-350＜-30x＜-300$
不等式三边同时除以-30，不等号方向改变，得：
$10＜x＜11\frac{2}{3}$
因为x代表产品生产件数，必须为正整数，因此x只能取11。
则乙产品的生产数量为：$20-11=9$（件）
【答案】
生产甲种产品11件，乙种产品9件。
【知识点】
一元一次不等式应用、实际问题整数解、方案设计
【点评】
本题是结合生产实际的不等式应用题型，解题关键是准确抓住总产值的限制条件列出不等式，同时要注意结合实际意义对不等式的解进行筛选，这类题型考查学生将数学知识应用到实际场景的能力，掌握解题逻辑后难度较低。
【难度系数】
0.7
