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11. 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $4x^2 + 6x = 9x^2 - 15x + 4$；
(2) $(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$；
(3) $(2t + 3)^2 - 2(t - 5)^2 = -41$。
(1) $4x^2 + 6x = 9x^2 - 15x + 4$；
(2) $(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$；
(3) $(2t + 3)^2 - 2(t - 5)^2 = -41$。
答案
|题号|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|(1)|$5x^2 - 21x + 4 = 0$|5|-21|4|
|(2)|$4x^2 - 3 = 0$|4|0|-3|
|(3)|$t^2 + 16t = 0$|1|16|0|
|----|----|----|----|----|
|(1)|$5x^2 - 21x + 4 = 0$|5|-21|4|
|(2)|$4x^2 - 3 = 0$|4|0|-3|
|(3)|$t^2 + 16t = 0$|1|16|0|
解析
【分析】
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路如下：第一步对给出的方程依次进行去括号、移项操作，把所有项移到等号左侧，右侧化为0；第二步合并同类项，必要时将各项系数化为最简整数比，整理得到一般形式；第三步对应提取各项系数即可，注意系数要包含本身的正负符号，方程缺少某类项时对应系数为0。
【解析】
(1) 处理方程$4x^2 + 6x = 9x^2 - 15x + 4$：
移项，将右侧所有项移到左侧：$9x^2 - 15x + 4 - 4x^2 - 6x = 0$
合并同类项得一般形式：$5x^2 -21x +4 =0$
可得二次项系数为5，一次项系数为-21，常数项为4。
(2) 处理方程$(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$：
先展开左侧整式乘法：$3x^2 +6x -x -2 = 3x^2 +5x -2$
原方程化为：$3x^2 +5x -2 = -x^2 +5x +1$
移项合并同类项：$3x^2 +5x -2 +x^2 -5x -1 =0$
整理得一般形式：$4x^2 -3 =0$
可得二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-3。
(3) 处理方程$(2t + 3)^2 - 2(t - 5)^2 = -41$：
先展开完全平方项：$(2t+3)^2 =4t^2 +12t +9$，$(t-5)^2 = t^2 -10t +25$
化简左侧：$4t^2 +12t +9 -2(t^2 -10t +25) =2t^2 +32t -41$
原方程变为：$2t^2 +32t -41 = -41$
移项合并同类项得：$2t^2 +32t =0$
两边同除以2化为最简整数系数，得一般形式：$t^2 +16t =0$
可得二次项系数为1，一次项系数为16，常数项为0。
【答案】
|题号|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|(1)|$5x^2 - 21x + 4 = 0$|5|-21|4|
|(2)|$4x^2 - 3 = 0$|4|0|-3|
|(3)|$t^2 + 16t = 0$|1|16|0|
【知识点】
一元二次方程一般形式，整式化简运算，等式基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简规则，解题时需要注意移项要变号，去括号、合并同类项时计算要准确，同时要注意：若方程缺少一次项或常数项，对应系数为0，各项系数要包含自身的正负符号。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路如下：第一步对给出的方程依次进行去括号、移项操作，把所有项移到等号左侧，右侧化为0；第二步合并同类项，必要时将各项系数化为最简整数比，整理得到一般形式；第三步对应提取各项系数即可，注意系数要包含本身的正负符号，方程缺少某类项时对应系数为0。
【解析】
(1) 处理方程$4x^2 + 6x = 9x^2 - 15x + 4$：
移项，将右侧所有项移到左侧：$9x^2 - 15x + 4 - 4x^2 - 6x = 0$
合并同类项得一般形式：$5x^2 -21x +4 =0$
可得二次项系数为5，一次项系数为-21，常数项为4。
(2) 处理方程$(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$：
先展开左侧整式乘法：$3x^2 +6x -x -2 = 3x^2 +5x -2$
原方程化为：$3x^2 +5x -2 = -x^2 +5x +1$
移项合并同类项：$3x^2 +5x -2 +x^2 -5x -1 =0$
整理得一般形式：$4x^2 -3 =0$
可得二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-3。
(3) 处理方程$(2t + 3)^2 - 2(t - 5)^2 = -41$：
先展开完全平方项：$(2t+3)^2 =4t^2 +12t +9$，$(t-5)^2 = t^2 -10t +25$
化简左侧：$4t^2 +12t +9 -2(t^2 -10t +25) =2t^2 +32t -41$
原方程变为：$2t^2 +32t -41 = -41$
移项合并同类项得：$2t^2 +32t =0$
两边同除以2化为最简整数系数，得一般形式：$t^2 +16t =0$
可得二次项系数为1，一次项系数为16，常数项为0。
【答案】
|题号|一般形式|二次项系数|一次项系数|常数项|
|----|----|----|----|----|
|(1)|$5x^2 - 21x + 4 = 0$|5|-21|4|
|(2)|$4x^2 - 3 = 0$|4|0|-3|
|(3)|$t^2 + 16t = 0$|1|16|0|
【知识点】
一元二次方程一般形式，整式化简运算，等式基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简规则，解题时需要注意移项要变号，去括号、合并同类项时计算要准确，同时要注意：若方程缺少一次项或常数项，对应系数为0，各项系数要包含自身的正负符号。
【难度系数】
0.8
12. 用公式法解下列方程：
(1) $ x^2 + 2x - 1 = 0 $；
(2) $ 16x^2 + 8x = 3 $。
(1) $ x^2 + 2x - 1 = 0 $；
(2) $ 16x^2 + 8x = 3 $。
答案
(1) $x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$ (2) $x_1=\dfrac{1}{4}$，$x_2=-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的标准形式，准确确定$a、b、c$的取值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③若有实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。本题第(1)问已经是标准形式，可直接确定$a、b、c$；第(2)问需要先移项化为标准形式再计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，可得$a=1$，$b=2$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$。
(2) 先将方程$16x^2 + 8x = 3$移项化为标准形式：$16x^2 + 8x -3=0$，可得$a=16$，$b=8$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=8^2-4×16×(-3)=64+192=256＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-8\pm\sqrt{256}}{2×16}=\frac{-8\pm16}{32}$
当取加号时，$x_1=\frac{-8+16}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$；
当取减号时，$x_2=\frac{-8-16}{32}=\frac{-24}{32}=-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$ (2) $x_1=\dfrac{1}{4}$，$x_2=-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程判别式
3. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意先把方程化为标准形式再确定参数$a、b、c$，代入公式计算时要注意符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的标准形式，准确确定$a、b、c$的取值；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③若有实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。本题第(1)问已经是标准形式，可直接确定$a、b、c$；第(2)问需要先移项化为标准形式再计算。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，可得$a=1$，$b=2$，$c=-1$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$。
(2) 先将方程$16x^2 + 8x = 3$移项化为标准形式：$16x^2 + 8x -3=0$，可得$a=16$，$b=8$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=8^2-4×16×(-3)=64+192=256＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-8\pm\sqrt{256}}{2×16}=\frac{-8\pm16}{32}$
当取加号时，$x_1=\frac{-8+16}{32}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$；
当取减号时，$x_2=\frac{-8-16}{32}=\frac{-24}{32}=-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$ (2) $x_1=\dfrac{1}{4}$，$x_2=-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 一元二次方程判别式
3. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意先把方程化为标准形式再确定参数$a、b、c$，代入公式计算时要注意符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
13. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(x - 3)^2 = 3 - x$；
(2) $3x(x - 2) + 2(x - 2) = 0$。
(1) $(x - 3)^2 = 3 - x$；
(2) $3x(x - 2) + 2(x - 2) = 0$。
答案
(1) $x_1=3$，$x_2=2$ (2) $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“左边是多项式乘积、右边为0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解。
对于第(1)题，观察到方程右边的$3-x$和左边$(x-3)^2$中的$x-3$互为相反数，可先将右边的项移到左边，再提取公因式$x-3$分解因式；对于第(2)题，方程左边两项有公共因式$x-2$，直接提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 移项，得：
$(x-3)^2 + (x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-3 + 1) = 0$
化简得：$(x-3)(x-2) = 0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=2$
(2) 提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(3x + 2) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x + 2 = 0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=2$ (2) $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
这两道题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程整理为右侧为0的形式，再准确识别并提取公因式，将二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算难度较低，熟练掌握公因式的识别方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“左边是多项式乘积、右边为0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解。
对于第(1)题，观察到方程右边的$3-x$和左边$(x-3)^2$中的$x-3$互为相反数，可先将右边的项移到左边，再提取公因式$x-3$分解因式；对于第(2)题，方程左边两项有公共因式$x-2$，直接提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 移项，得：
$(x-3)^2 + (x - 3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)(x-3 + 1) = 0$
化简得：$(x-3)(x-2) = 0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=2$
(2) 提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(3x + 2) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x + 2 = 0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=2$ (2) $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
这两道题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，解题关键是先将方程整理为右侧为0的形式，再准确识别并提取公因式，将二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算难度较低，熟练掌握公因式的识别方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14. 已知 $ m $ 是方程 $ x^2 - x - 3 = 0 $ 的一个实数根,求代数式 $ (m^2 - m)(m - \frac{3}{m} + 1) $ 的值.
答案
6
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将m代入原方程可得到关于m的等式，变形得到$m^2 - m = 3$和$m^2 - 3 = m$。观察所求代数式的结构，不需要求出m的具体值，先对第二个括号内的式子通分化简，再用整体代入法代入计算即可，能简化运算过程，避免求解方程带来的复杂计算。
【解析】
解：
∵ $m$是方程$x^2 - x - 3 = 0$的实数根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 3 = 0$，
∴ $m^2 - m = 3$，$m^2 - 3 = m$，且$m ≠ 0$（若$m=0$，代入方程左边为$-3≠0$，不成立）。
先化简代数式的第二个因式：
$m - \frac{3}{m} + 1 = \frac{m^2}{m} - \frac{3}{m} + \frac{m}{m} = \frac{m^2 - 3 + m}{m}$，
将$m^2 - 3 = m$代入上式得：
$\frac{m + m}{m} = \frac{2m}{m} = 2$。
再将$m^2 - m = 3$和化简后的结果代入原式：
$(m^2 - m)(m - \frac{3}{m} + 1) = 3 × 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题重点考查整体代入的解题思想，无需计算出参数m的具体取值，利用方程根的性质得到对应代数式的定值，代入化简后的式子即可快速求解，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将m代入原方程可得到关于m的等式，变形得到$m^2 - m = 3$和$m^2 - 3 = m$。观察所求代数式的结构，不需要求出m的具体值，先对第二个括号内的式子通分化简，再用整体代入法代入计算即可，能简化运算过程，避免求解方程带来的复杂计算。
【解析】
解：
∵ $m$是方程$x^2 - x - 3 = 0$的实数根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 3 = 0$，
∴ $m^2 - m = 3$，$m^2 - 3 = m$，且$m ≠ 0$（若$m=0$，代入方程左边为$-3≠0$，不成立）。
先化简代数式的第二个因式：
$m - \frac{3}{m} + 1 = \frac{m^2}{m} - \frac{3}{m} + \frac{m}{m} = \frac{m^2 - 3 + m}{m}$，
将$m^2 - 3 = m$代入上式得：
$\frac{m + m}{m} = \frac{2m}{m} = 2$。
再将$m^2 - m = 3$和化简后的结果代入原式：
$(m^2 - m)(m - \frac{3}{m} + 1) = 3 × 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题重点考查整体代入的解题思想，无需计算出参数m的具体取值，利用方程根的性质得到对应代数式的定值，代入化简后的式子即可快速求解，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0 $。
（1）当 $ m $ 取什么值时，原方程有实数根？
（2）对 $ m $ 选取一个合适的整数，求此时方程两个实数根的平方和。
（1）当 $ m $ 取什么值时，原方程有实数根？
（2）对 $ m $ 选取一个合适的整数，求此时方程两个实数根的平方和。
答案
(1) $m≥ -\dfrac{1}{2}$ (2) 答案不唯一.如：选取$m=0$，此时方程两个实数根的平方和为4
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程是否有实数根，可通过根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$判断：当$\Delta ≥ 0$时，方程有实数根。首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）求两根的平方和无需直接解方程，可利用根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积的表达式，再将平方和变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入表达式后选取一个符合第一问$m$取值范围的整数，代入计算即可。
【解析】
（1）对于方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$，
根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4×1× m^2$
$=4(m^2+2m+1)-4m^2$
$=8m+4$
∵方程有实数根，
∴$\Delta ≥ 0$，即$8m+4≥0$
解不等式得：$m≥ -\dfrac{1}{2}$
（2）设方程的两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2$
两根平方和可变形为：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$=[2(m+1)]^2-2m^2$
$=4(m^2+2m+1)-2m^2$
$=2m^2+8m+4$
选取符合$m≥ -\dfrac{1}{2}$的整数$m=0$，代入上式得：
$x_1^2+x_2^2=2×0+8×0+4=4$
（选取其他符合条件的整数计算结果正确即可）
【答案】
(1) $m≥ -\dfrac{1}{2}$
(2) 答案不唯一，如：选取$m=0$，此时方程两个实数根的平方和为4
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程基础综合题，第一问直接考察根的判别式的应用，第二问为开放题型，需注意选取的$m$要满足第一问的取值范围，结合根与系数的关系和完全平方公式变形计算，侧重对基础知识点的掌握和应用。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程是否有实数根，可通过根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$判断：当$\Delta ≥ 0$时，方程有实数根。首先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）求两根的平方和无需直接解方程，可利用根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积的表达式，再将平方和变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入表达式后选取一个符合第一问$m$取值范围的整数，代入计算即可。
【解析】
（1）对于方程$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$，
根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4×1× m^2$
$=4(m^2+2m+1)-4m^2$
$=8m+4$
∵方程有实数根，
∴$\Delta ≥ 0$，即$8m+4≥0$
解不等式得：$m≥ -\dfrac{1}{2}$
（2）设方程的两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2$
两根平方和可变形为：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$=[2(m+1)]^2-2m^2$
$=4(m^2+2m+1)-2m^2$
$=2m^2+8m+4$
选取符合$m≥ -\dfrac{1}{2}$的整数$m=0$，代入上式得：
$x_1^2+x_2^2=2×0+8×0+4=4$
（选取其他符合条件的整数计算结果正确即可）
【答案】
(1) $m≥ -\dfrac{1}{2}$
(2) 答案不唯一，如：选取$m=0$，此时方程两个实数根的平方和为4
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程基础综合题，第一问直接考察根的判别式的应用，第二问为开放题型，需注意选取的$m$要满足第一问的取值范围，结合根与系数的关系和完全平方公式变形计算，侧重对基础知识点的掌握和应用。
【难度系数】
0.7
