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14. 已知$y=3-x+\sqrt{(2-x)^2}$，当$x$分别取$1,2,3,···,2026$时，所对应的$y$的值的总和是（
A.2 022
B.2 024
C.2 026
D.2 028
D
）A.2 022
B.2 024
C.2 026
D.2 028
答案
14.D
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式中的根号部分转化为绝对值形式，再根据绝对值的化简规则，分$x≤2$和$x＞2$两种情况讨论$y$的表达式，最后分别计算不同取值范围内对应的$y$值之和，相加得到总结果即可。
【解析】
首先根据二次根式的性质化简原式：
$\sqrt{(2-x)^2}=|2-x|$，因此$y=3-x+|2-x|$。
分两种情况讨论：
1. 当$x≤2$时，$|2-x|=2-x$，代入得$y=3-x+2-x=5-2x$：
$x=1$时，$y=5-2×1=3$；
$x=2$时，$y=5-2×2=1$；
这部分$y$值的和为$3+1=4$。
2. 当$x＞2$时，$|2-x|=x-2$，代入得$y=3-x+x-2=1$，即此时$y$恒等于1：
$x$的取值为3、4、…、2026，共有$2026-3+1=2024$个取值，对应$y$值的和为$2024×1=2024$。
将两部分的和相加，总总和为$4+2024=2028$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，有理数求和
【点评】
本题考查分类讨论思想在代数式化简求值中的应用，解题核心是正确对绝对值进行分段化简，发现$x＞2$时$y$为定值可以大幅简化计算，避免逐个代入计算的冗余。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式中的根号部分转化为绝对值形式，再根据绝对值的化简规则，分$x≤2$和$x＞2$两种情况讨论$y$的表达式，最后分别计算不同取值范围内对应的$y$值之和，相加得到总结果即可。
【解析】
首先根据二次根式的性质化简原式：
$\sqrt{(2-x)^2}=|2-x|$，因此$y=3-x+|2-x|$。
分两种情况讨论：
1. 当$x≤2$时，$|2-x|=2-x$，代入得$y=3-x+2-x=5-2x$：
$x=1$时，$y=5-2×1=3$；
$x=2$时，$y=5-2×2=1$；
这部分$y$值的和为$3+1=4$。
2. 当$x＞2$时，$|2-x|=x-2$，代入得$y=3-x+x-2=1$，即此时$y$恒等于1：
$x$的取值为3、4、…、2026，共有$2026-3+1=2024$个取值，对应$y$值的和为$2024×1=2024$。
将两部分的和相加，总总和为$4+2024=2028$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，有理数求和
【点评】
本题考查分类讨论思想在代数式化简求值中的应用，解题核心是正确对绝对值进行分段化简，发现$x＞2$时$y$为定值可以大幅简化计算，避免逐个代入计算的冗余。
【难度系数】
0.7
15. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算. 如图所示，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算. 规则是每人只能看到前一人传过来的式子. 游戏中，自己负责的式子出现错误的是 （
A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮
B
）A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮
答案
15.B
解析
【分析】
解题思路：首先明确判断规则：每人仅需基于前一人给出的式子，判断自身运算步骤是否符合二次根式运算法则，依次核查四位同学的步骤即可。用到的核心依据是：二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}$（$a≥0,b＞0$）、多项式除以单项式的分配律，以及根式化简规则。
【解析】
我们逐个判断每人的步骤正误：
1. 检查小明的步骤：
原式$(\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据多项式除以单项式的分配律，可展开为$\sqrt{12}÷\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{18}}÷\sqrt{3}$，结合二次根式除法法则，可改写为$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，小明步骤正确。
2. 检查小丽的步骤：
承接小明的式子$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，计算被开方数：$12÷3=4$正确，$\frac{1}{18}÷3=\frac{1}{18×3}=\frac{1}{54}$，因此正确结果应为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{54}}$，但小丽写为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，运算错误。
3. 检查小红的步骤：
承接小丽的式子$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，其中$\sqrt{4}=2$正确，但$\sqrt{\frac{1}{6}}$没有运算依据可直接变为$\sqrt{\frac{1}{36}}$，小红步骤错误。
4. 检查小亮的步骤：
承接小红的式子$2+\sqrt{\frac{1}{36}}$，其中$\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$，因此结果为$2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}$，小亮步骤正确。
综上，出现错误的是小丽和小红。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算；二次根式的除法；根式化简
【点评】
本题结合趣味情境考查二次根式的运算，解题时要注意每一步运算都要有对应的法则作为依据，同时要准确审题，明确每人只需判断自己承接前一步的运算是否正确，无需追溯前面步骤的正误。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确判断规则：每人仅需基于前一人给出的式子，判断自身运算步骤是否符合二次根式运算法则，依次核查四位同学的步骤即可。用到的核心依据是：二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}$（$a≥0,b＞0$）、多项式除以单项式的分配律，以及根式化简规则。
【解析】
我们逐个判断每人的步骤正误：
1. 检查小明的步骤：
原式$(\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据多项式除以单项式的分配律，可展开为$\sqrt{12}÷\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{18}}÷\sqrt{3}$，结合二次根式除法法则，可改写为$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，小明步骤正确。
2. 检查小丽的步骤：
承接小明的式子$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\frac{1}{18}÷3}$，计算被开方数：$12÷3=4$正确，$\frac{1}{18}÷3=\frac{1}{18×3}=\frac{1}{54}$，因此正确结果应为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{54}}$，但小丽写为$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，运算错误。
3. 检查小红的步骤：
承接小丽的式子$\sqrt{4}+\sqrt{\frac{1}{6}}$，其中$\sqrt{4}=2$正确，但$\sqrt{\frac{1}{6}}$没有运算依据可直接变为$\sqrt{\frac{1}{36}}$，小红步骤错误。
4. 检查小亮的步骤：
承接小红的式子$2+\sqrt{\frac{1}{36}}$，其中$\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}$，因此结果为$2+\frac{1}{6}=2\frac{1}{6}$，小亮步骤正确。
综上，出现错误的是小丽和小红。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算；二次根式的除法；根式化简
【点评】
本题结合趣味情境考查二次根式的运算，解题时要注意每一步运算都要有对应的法则作为依据，同时要准确审题，明确每人只需判断自己承接前一步的运算是否正确，无需追溯前面步骤的正误。
【难度系数】
0.7
16. 若$\sqrt{3m - 4}$是最简二次根式，且$m$为整数，则$m$的最小值是________。
答案
16.2
解析
【分析】
解题需结合二次根式有意义的条件和最简二次根式的定义两步分析：首先，二次根式的被开方数必须是非负数，据此先求出m的取值范围，得到m的最小可能整数值；再根据最简二次根式“被开方数不含能开得尽方的因数”的要求，验证该整数值是否符合条件，若符合即为所求，不符合则依次验证更大的整数值即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$3m - 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{4}{3} \approx 1.33$
因为m为整数，所以m的可能取值从最小的整数2开始依次为2、3、4……
第二步：验证最简二次根式的条件：
当m=2时，$3m-4=3×2 - 4=2$，2不含能开得尽方的正因数，因此$\sqrt{2}$是最简二次根式，符合要求。
所以m的最小值是2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题考查二次根式相关概念的应用，解题时需先保证二次根式有意义，再结合最简二次根式的要求验证取值，易错点是容易忽略被开方数非负的前提，或对最简二次根式的判断标准掌握不牢。
【难度系数】
0.7
解题需结合二次根式有意义的条件和最简二次根式的定义两步分析：首先，二次根式的被开方数必须是非负数，据此先求出m的取值范围，得到m的最小可能整数值；再根据最简二次根式“被开方数不含能开得尽方的因数”的要求，验证该整数值是否符合条件，若符合即为所求，不符合则依次验证更大的整数值即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$3m - 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{4}{3} \approx 1.33$
因为m为整数，所以m的可能取值从最小的整数2开始依次为2、3、4……
第二步：验证最简二次根式的条件：
当m=2时，$3m-4=3×2 - 4=2$，2不含能开得尽方的正因数，因此$\sqrt{2}$是最简二次根式，符合要求。
所以m的最小值是2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题考查二次根式相关概念的应用，解题时需先保证二次根式有意义，再结合最简二次根式的要求验证取值，易错点是容易忽略被开方数非负的前提，或对最简二次根式的判断标准掌握不牢。
【难度系数】
0.7
17.生活中,我们常用到不同型号的长方形打印纸,基于满足影印(放大或缩小后,需保持形状不变)及制作各型号纸张时既方便又省料等方面的需要,对于纸张规格,存有一些通用的国际标准,其中,把 A0 纸定义为面积为 $1 \mathrm{~m}^2$,长与宽的比为 $\sqrt{2}: 1$ 的纸张;沿 A0纸两条长边中点的连线裁切,就得到两张 A1 纸;再沿 A1 纸两条长边中点的连线裁切,得 A2 纸……以此类推,得 A3,A4,A5 等纸张(
).若设 A4 纸的宽度为 $x \mathrm{~m}$,你能求出 $x^2$ 的值吗(写明求解过程)?
).若设 A4 纸的宽度为 $x \mathrm{~m}$,你能求出 $x^2$ 的值吗(写明求解过程)?答案
解:能.若A4纸的宽为$x\ \mathrm{m},$由题图,得A0纸的宽为$4x\ \mathrm{m}.$
$\because$纸张长与宽的比为$\sqrt{2}:1,\therefore$A0纸的长为$4\sqrt{2}x\ \mathrm{m}.$
$\because$A0纸的面积为$1\ \mathrm{m}^2,\therefore4\sqrt{2}x·4x=1.\therefore x^2=\dfrac{\sqrt{2}}{32}.$
$\because$纸张长与宽的比为$\sqrt{2}:1,\therefore$A0纸的长为$4\sqrt{2}x\ \mathrm{m}.$
$\because$A0纸的面积为$1\ \mathrm{m}^2,\therefore4\sqrt{2}x·4x=1.\therefore x^2=\dfrac{\sqrt{2}}{32}.$
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目给出的两个核心条件：一是所有A系列纸张的长与宽的比均为$\sqrt{2}:1$，二是A0纸面积为$1\ \mathrm{m}^2$，且每沿长边中点裁切一次，得到的下一级纸张的宽度是上一级纸张宽度的$\frac{1}{2}$。首先我们可以根据裁切次数推导A0纸的宽度和A4纸宽度$x$的关系：从A0裁切到A4共经过4次裁切，因此A0纸的宽是A4纸宽的4倍，即A0宽为$4x$；再根据长宽比求出A0纸的长，最后利用长方形面积公式列方程，求解即可得到$x^2$的值，注意最后要对二次根式进行分母有理化。
【解析】
解：能求出$x^2$的值，求解过程如下：
设A4纸的宽为$x\ \mathrm{m}$，根据A系列纸张的裁切规律，A0纸的宽度为$4x\ \mathrm{m}$。
$\because$ 所有A系列纸张长与宽的比为$\sqrt{2}:1$，
$\therefore$ A0纸的长为$4\sqrt{2}x\ \mathrm{m}$。
又$\because$ A0纸的面积为$1\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$4\sqrt{2}x · 4x = 1$
整理得：$16\sqrt{2}x^2 = 1$
对式子变形并分母有理化：
$x^2 = \frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16×2} = \frac{\sqrt{2}}{32}$
【答案】
$x^2$的值为$\dfrac{\sqrt{2}}{32}$
【知识点】
长方形面积计算，比例的应用，二次根式化简
【点评】
本题结合生活中常见的打印纸规格设计问题，考查了代数与几何的综合应用能力，解题的突破口是找准不同型号纸张的尺寸对应关系，再结合已知条件列方程求解，需要熟练掌握二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.6
解题时首先要抓住题目给出的两个核心条件：一是所有A系列纸张的长与宽的比均为$\sqrt{2}:1$，二是A0纸面积为$1\ \mathrm{m}^2$，且每沿长边中点裁切一次，得到的下一级纸张的宽度是上一级纸张宽度的$\frac{1}{2}$。首先我们可以根据裁切次数推导A0纸的宽度和A4纸宽度$x$的关系：从A0裁切到A4共经过4次裁切，因此A0纸的宽是A4纸宽的4倍，即A0宽为$4x$；再根据长宽比求出A0纸的长，最后利用长方形面积公式列方程，求解即可得到$x^2$的值，注意最后要对二次根式进行分母有理化。
【解析】
解：能求出$x^2$的值，求解过程如下：
设A4纸的宽为$x\ \mathrm{m}$，根据A系列纸张的裁切规律，A0纸的宽度为$4x\ \mathrm{m}$。
$\because$ 所有A系列纸张长与宽的比为$\sqrt{2}:1$，
$\therefore$ A0纸的长为$4\sqrt{2}x\ \mathrm{m}$。
又$\because$ A0纸的面积为$1\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$4\sqrt{2}x · 4x = 1$
整理得：$16\sqrt{2}x^2 = 1$
对式子变形并分母有理化：
$x^2 = \frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16×2} = \frac{\sqrt{2}}{32}$
【答案】
$x^2$的值为$\dfrac{\sqrt{2}}{32}$
【知识点】
长方形面积计算，比例的应用，二次根式化简
【点评】
本题结合生活中常见的打印纸规格设计问题，考查了代数与几何的综合应用能力，解题的突破口是找准不同型号纸张的尺寸对应关系，再结合已知条件列方程求解，需要熟练掌握二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.6
