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18. 先阅读材料，再回答问题：
∵$\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2},1＜\sqrt{2}＜2,\therefore\sqrt{1^2+1}$的整数部分为1；
∵$\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6},2＜\sqrt{6}＜3,\therefore\sqrt{2^2+2}$的整数部分为2；
∵$\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12},3＜\sqrt{12}＜4,\therefore\sqrt{3^2+3}$的整数部分为3；
……
(1)填空：$\sqrt{n^2+n}$的整数部分是________.(n是正整数)
(2)已知a，b分别是$4-\sqrt{6}$的整数部分和小数部分.
①分别写出a，b的值；
②求$5ab-b^2$的值.
∵$\sqrt{1^2+1}=\sqrt{2},1＜\sqrt{2}＜2,\therefore\sqrt{1^2+1}$的整数部分为1；
∵$\sqrt{2^2+2}=\sqrt{6},2＜\sqrt{6}＜3,\therefore\sqrt{2^2+2}$的整数部分为2；
∵$\sqrt{3^2+3}=\sqrt{12},3＜\sqrt{12}＜4,\therefore\sqrt{3^2+3}$的整数部分为3；
……
(1)填空：$\sqrt{n^2+n}$的整数部分是________.(n是正整数)
(2)已知a，b分别是$4-\sqrt{6}$的整数部分和小数部分.
①分别写出a，b的值；
②求$5ab-b^2$的值.
答案
(1)$n$
(2)解:①$\because2＜\sqrt{6}＜3,\therefore-3＜-\sqrt{6}＜-2.$
$\therefore1＜4-\sqrt{6}＜2.\therefore4-\sqrt{6}$的整数部分$a=1,4-\sqrt{6}$的小数部分$b=3-\sqrt{6}.$
②将$a=1,b=3-\sqrt{6}$代入$5ab-b^2,$得
原式$=5×1×(3-\sqrt{6})-(3-\sqrt{6})^2=15-5\sqrt{6}-(9-6\sqrt{6}+6)=15-5\sqrt{6}-9+6\sqrt{6}-6=\sqrt{6}.$
(2)解:①$\because2＜\sqrt{6}＜3,\therefore-3＜-\sqrt{6}＜-2.$
$\therefore1＜4-\sqrt{6}＜2.\therefore4-\sqrt{6}$的整数部分$a=1,4-\sqrt{6}$的小数部分$b=3-\sqrt{6}.$
②将$a=1,b=3-\sqrt{6}$代入$5ab-b^2,$得
原式$=5×1×(3-\sqrt{6})-(3-\sqrt{6})^2=15-5\sqrt{6}-(9-6\sqrt{6}+6)=15-5\sqrt{6}-9+6\sqrt{6}-6=\sqrt{6}.$
解析
【分析】
（1）要确定$\sqrt{n^2+n}$的整数部分，可比较被开方数和相邻两个完全平方数的大小：正整数n满足$n^2 ＜ n^2+n ＜ n^2+2n+1=(n+1)^2$，根据算术平方根的性质可得$n ＜ \sqrt{n^2+n} ＜ n+1$，即可得到整数部分。
（2）①求$4-\sqrt{6}$的整数、小数部分，先估算$\sqrt{6}$的范围：由$2^2＜6＜3^2$得$2＜\sqrt{6}＜3$，通过不等式变形得到$4-\sqrt{6}$的范围，即可确定整数部分a，小数部分b为原数减去整数部分。②将a、b代入代数式，按照先乘方、再乘法、最后加减的顺序计算，注意完全平方公式的正确展开。
【解析】
(1) 对任意正整数n：
$\because n^2 ＜ n^2+n ＜ n^2+2n+1=(n+1)^2$
$\therefore \sqrt{n^2} ＜ \sqrt{n^2+n} ＜ \sqrt{(n+1)^2}$，即$n ＜ \sqrt{n^2+n} ＜ n+1$
$\therefore \sqrt{n^2+n}$的整数部分是$n$。
(2) ①$\because 2^2=4,3^2=9$，$4＜6＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
不等式两边同乘$-1$得：$-3 ＜ -\sqrt{6} ＜ -2$
两边同时加4得：$1 ＜ 4-\sqrt{6} ＜ 2$
$\therefore 4-\sqrt{6}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=4-\sqrt{6}-1=3-\sqrt{6}$。
②将$a=1,b=3-\sqrt{6}$代入$5ab-b^2$：
$\begin{aligned}原式&=5×1×(3-\sqrt{6})-(3-\sqrt{6})^2\\&=15-5\sqrt{6}-(9-6\sqrt{6}+6)\\&=15-5\sqrt{6}-15+6\sqrt{6}\\&=\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $n$
(2) ①$a=1,b=3-\sqrt{6}$；②$\sqrt{6}$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，完全平方公式
【点评】
本题结合规律探究考查无理数范围估算、整式运算的能力，解题核心是掌握用相邻完全平方数估算无理数取值范围的方法，计算时注意运算顺序和符号规则。
【难度系数】
0.7
（1）要确定$\sqrt{n^2+n}$的整数部分，可比较被开方数和相邻两个完全平方数的大小：正整数n满足$n^2 ＜ n^2+n ＜ n^2+2n+1=(n+1)^2$，根据算术平方根的性质可得$n ＜ \sqrt{n^2+n} ＜ n+1$，即可得到整数部分。
（2）①求$4-\sqrt{6}$的整数、小数部分，先估算$\sqrt{6}$的范围：由$2^2＜6＜3^2$得$2＜\sqrt{6}＜3$，通过不等式变形得到$4-\sqrt{6}$的范围，即可确定整数部分a，小数部分b为原数减去整数部分。②将a、b代入代数式，按照先乘方、再乘法、最后加减的顺序计算，注意完全平方公式的正确展开。
【解析】
(1) 对任意正整数n：
$\because n^2 ＜ n^2+n ＜ n^2+2n+1=(n+1)^2$
$\therefore \sqrt{n^2} ＜ \sqrt{n^2+n} ＜ \sqrt{(n+1)^2}$，即$n ＜ \sqrt{n^2+n} ＜ n+1$
$\therefore \sqrt{n^2+n}$的整数部分是$n$。
(2) ①$\because 2^2=4,3^2=9$，$4＜6＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
不等式两边同乘$-1$得：$-3 ＜ -\sqrt{6} ＜ -2$
两边同时加4得：$1 ＜ 4-\sqrt{6} ＜ 2$
$\therefore 4-\sqrt{6}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=4-\sqrt{6}-1=3-\sqrt{6}$。
②将$a=1,b=3-\sqrt{6}$代入$5ab-b^2$：
$\begin{aligned}原式&=5×1×(3-\sqrt{6})-(3-\sqrt{6})^2\\&=15-5\sqrt{6}-(9-6\sqrt{6}+6)\\&=15-5\sqrt{6}-15+6\sqrt{6}\\&=\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $n$
(2) ①$a=1,b=3-\sqrt{6}$；②$\sqrt{6}$
【知识点】
无理数的估算，代数式求值，完全平方公式
【点评】
本题结合规律探究考查无理数范围估算、整式运算的能力，解题核心是掌握用相邻完全平方数估算无理数取值范围的方法，计算时注意运算顺序和符号规则。
【难度系数】
0.7
