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11. 计算：
(1)$(\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{6} × 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2)$(\sqrt{5} + \sqrt{6})(\sqrt{5} - \sqrt{6}) - (\sqrt{5} - 1)^2$。
(1)$(\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{3} + \sqrt{6} × 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2)$(\sqrt{5} + \sqrt{6})(\sqrt{5} - \sqrt{6}) - (\sqrt{5} - 1)^2$。
答案
(1)$(\sqrt{48}-\sqrt{27})÷\sqrt{3}+\sqrt{6}×2\sqrt{\dfrac{1}{3}}=4-3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}.$
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{5}-\sqrt{6})-(\sqrt{5}-1)^2=5-6-5+2\sqrt{5}-1=-7+2\sqrt{5}.$
(2)$(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{5}-\sqrt{6})-(\sqrt{5}-1)^2=5-6-5+2\sqrt{5}-1=-7+2\sqrt{5}.$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
（1）先分别计算二次根式的除法和乘法：除法运算可利用分配律将两个被开方数分别除以√3，再化简计算结果；乘法运算按照“系数相乘、被开方数相乘”的二次根式乘法法则计算，再化简，最后合并即可得到结果。
（2）观察式子结构，前半部分符合平方差公式的形式，后半部分符合完全平方公式的形式，分别套用对应的乘法公式展开，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 先利用运算律拆分运算：
原式$=\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{27}÷\sqrt{3}+2×\sqrt{6×\frac{1}{3}}$
分别化简各项：
$=\sqrt{48÷3}-\sqrt{27÷3}+2×\sqrt{2}$
$=\sqrt{16}-\sqrt{9}+2\sqrt{2}$
$=4-3+2\sqrt{2}$
$=1+2\sqrt{2}$
(2) 分别套用乘法公式展开：
原式$=[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{6})^2]-[(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×1+1^2]$
计算平方项：
$=(5-6)-(5-2\sqrt{5}+1)$
去括号并合并同类项：
$=-1-5+2\sqrt{5}-1$
$=-7+2\sqrt{5}$
【答案】
(1)$1+2\sqrt{2}$；(2)$-7+2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式运算与整式乘法公式的结合应用，解题的核心是熟记二次根式的运算法则和乘法公式的结构特征，计算时要注意去括号时的符号变化，避免符号失误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
（1）先分别计算二次根式的除法和乘法：除法运算可利用分配律将两个被开方数分别除以√3，再化简计算结果；乘法运算按照“系数相乘、被开方数相乘”的二次根式乘法法则计算，再化简，最后合并即可得到结果。
（2）观察式子结构，前半部分符合平方差公式的形式，后半部分符合完全平方公式的形式，分别套用对应的乘法公式展开，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 先利用运算律拆分运算：
原式$=\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{27}÷\sqrt{3}+2×\sqrt{6×\frac{1}{3}}$
分别化简各项：
$=\sqrt{48÷3}-\sqrt{27÷3}+2×\sqrt{2}$
$=\sqrt{16}-\sqrt{9}+2\sqrt{2}$
$=4-3+2\sqrt{2}$
$=1+2\sqrt{2}$
(2) 分别套用乘法公式展开：
原式$=[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{6})^2]-[(\sqrt{5})^2-2×\sqrt{5}×1+1^2]$
计算平方项：
$=(5-6)-(5-2\sqrt{5}+1)$
去括号并合并同类项：
$=-1-5+2\sqrt{5}-1$
$=-7+2\sqrt{5}$
【答案】
(1)$1+2\sqrt{2}$；(2)$-7+2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式运算与整式乘法公式的结合应用，解题的核心是熟记二次根式的运算法则和乘法公式的结构特征，计算时要注意去括号时的符号变化，避免符号失误。
【难度系数】
0.7
12. 已知 $ a,b,c $ 是$△ ABC$ 的三边长，若$\sqrt{(a - b + c)^2} + \sqrt{(c - a - b)^2} = 6$，求 $ a $ 的值。
答案
解:$\because a,b,c$是三角形的三边长,$\therefore a+c-b＞0,c-a-b＜0.$
$\therefore\sqrt{(a-b+c)^2}+\sqrt{(c-a-b)^2}=a-b+c-(c-a-b)=6,$整理,得$2a=6,$解得$a=3.$
$\therefore\sqrt{(a-b+c)^2}+\sqrt{(c-a-b)^2}=a-b+c-(c-a-b)=6,$整理,得$2a=6,$解得$a=3.$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此原式可转化为两个绝对值相加的形式。接下来利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断两个绝对值内部代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项化简方程即可求出$a$的值。
【解析】
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
$\therefore a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；
$a+b＞c$，即$c-a-b=c-(a+b)＜0$。
$\therefore\sqrt{(a - b + c)^2} + \sqrt{(c - a - b)^2}=|a-b+c|+|c-a-b|$
$=(a-b+c)-(c-a-b)=6$
去括号得：$a-b+c-c+a+b=6$
合并同类项得：$2a=6$
解得：$a=3$
【答案】
$a=3$
【知识点】
二次根式的化简，三角形三边关系，绝对值的性质
【点评】
本题将三角形三边关系与二次根式的化简结合考查，解题的核心是正确判断绝对值内代数式的正负，属于基础常考题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此原式可转化为两个绝对值相加的形式。接下来利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断两个绝对值内部代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项化简方程即可求出$a$的值。
【解析】
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
$\therefore a+c＞b$，即$a-b+c＞0$；
$a+b＞c$，即$c-a-b=c-(a+b)＜0$。
$\therefore\sqrt{(a - b + c)^2} + \sqrt{(c - a - b)^2}=|a-b+c|+|c-a-b|$
$=(a-b+c)-(c-a-b)=6$
去括号得：$a-b+c-c+a+b=6$
合并同类项得：$2a=6$
解得：$a=3$
【答案】
$a=3$
【知识点】
二次根式的化简，三角形三边关系，绝对值的性质
【点评】
本题将三角形三边关系与二次根式的化简结合考查，解题的核心是正确判断绝对值内代数式的正负，属于基础常考题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13. 某居民小区有一块形状为长方形的绿地ABCD，长方形绿地的长BC为$\sqrt{162}\ \mathrm{m}$，宽AB为$\sqrt{128}\ \mathrm{m}$. 现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为$(\sqrt{14}+1)\ \mathrm{m}$，宽为$(\sqrt{14}-1)\ \mathrm{m}$.
(1)长方形ABCD的周长是多少（结果化为最简二次根式）？
(2)除修建花坛的地方外，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为$5\ \mathrm{元/m}^2$的地砖（假设地砖没有损耗）. 要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
(1)长方形ABCD的周长是多少（结果化为最简二次根式）？
(2)除修建花坛的地方外，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为$5\ \mathrm{元/m}^2$的地砖（假设地砖没有损耗）. 要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
答案
(1)长方形ABCD的周长$=2(BC+AB)=2(\sqrt{162}+\sqrt{128})=34\sqrt{2}(\mathrm{m}).$
答:长方形ABCD的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}.$
(2)铺地砖的面积$=\sqrt{162}×\sqrt{128}-(\sqrt{14}+1)(\sqrt{14}-1)=144-13=131(\mathrm{m}^2),$
故购买地砖的花费为$131×5=655$(元).
答:购买地砖需要花费655元.
答:长方形ABCD的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}.$
(2)铺地砖的面积$=\sqrt{162}×\sqrt{128}-(\sqrt{14}+1)(\sqrt{14}-1)=144-13=131(\mathrm{m}^2),$
故购买地砖的花费为$131×5=655$(元).
答:购买地砖需要花费655元.
解析
【分析】
(1) 求解长方形ABCD的周长，首先调用长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，先把题目给出的长、宽对应的二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式后代入公式计算，就能得到结果。
(2) 求地砖总花费首先要计算通道面积：通道面积=大长方形ABCD的面积减去中间花坛的面积。大长方形面积用长乘宽计算，二次根式乘法可先将被开方数相乘再开方简化运算；花坛面积可利用平方差公式快速计算，得到通道面积后乘以每平方米地砖造价，即可求出总花费。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式列式：
$\begin{aligned}\mathrm{长方形ABCD的周长}&=2(BC+AB)\\&=2(\sqrt{162}+\sqrt{128})\\&=2(9\sqrt{2}+8\sqrt{2})\\&=2×17\sqrt{2}\\&=34\sqrt{2}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
答：长方形ABCD的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
(2) 先计算通道面积：
$\begin{aligned}\mathrm{通道面积}&=\mathrm{长方形ABCD面积}-\mathrm{花坛面积}\\&=\sqrt{162}×\sqrt{128}-(\sqrt{14}+1)(\sqrt{14}-1)\\&=\sqrt{162×128}-[(\sqrt{14})^2-1^2]\\&=144-(14-1)\\&=144-13\\&=131(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
购买地砖总花费：$131×5=655$(元)
答：购买地砖需要花费655元。
【答案】
(1) $34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
(2) $655$元
【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次根式相关运算和整式乘法公式的应用，解题核心是牢记公式，计算时注意二次根式的化简规则和乘法公式的适用条件，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解长方形ABCD的周长，首先调用长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，先把题目给出的长、宽对应的二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式后代入公式计算，就能得到结果。
(2) 求地砖总花费首先要计算通道面积：通道面积=大长方形ABCD的面积减去中间花坛的面积。大长方形面积用长乘宽计算，二次根式乘法可先将被开方数相乘再开方简化运算；花坛面积可利用平方差公式快速计算，得到通道面积后乘以每平方米地砖造价，即可求出总花费。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式列式：
$\begin{aligned}\mathrm{长方形ABCD的周长}&=2(BC+AB)\\&=2(\sqrt{162}+\sqrt{128})\\&=2(9\sqrt{2}+8\sqrt{2})\\&=2×17\sqrt{2}\\&=34\sqrt{2}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
答：长方形ABCD的周长是$34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
(2) 先计算通道面积：
$\begin{aligned}\mathrm{通道面积}&=\mathrm{长方形ABCD面积}-\mathrm{花坛面积}\\&=\sqrt{162}×\sqrt{128}-(\sqrt{14}+1)(\sqrt{14}-1)\\&=\sqrt{162×128}-[(\sqrt{14})^2-1^2]\\&=144-(14-1)\\&=144-13\\&=131(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
购买地砖总花费：$131×5=655$(元)
答：购买地砖需要花费655元。
【答案】
(1) $34\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
(2) $655$元
【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次根式相关运算和整式乘法公式的应用，解题核心是牢记公式，计算时注意二次根式的化简规则和乘法公式的适用条件，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
