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12. 某校为了解学生阅读课外读物的情况，用简单随机抽样的方法抽取了 300 名学生，对这些学生上个月每周的课外读物平均阅读时间(单位:h)进行调查，结果如下表所示.
(1)求这 300 名学生课外读物周平均阅读时间的中位数；
(2)求这 300 名学生课外读物周平均阅读时间的第 25 百分位数.
(1)求这 300 名学生课外读物周平均阅读时间的中位数；
(2)求这 300 名学生课外读物周平均阅读时间的第 25 百分位数.
答案
12.解:(1)由题意知中位数为第150和第151位数的平均数,所以中位数为$\frac{6+6}{2}=6$(h).
(2)因为$300×25\%=75$,所以第25百分位数为第75和第76位数的平均数,所以这300名学生课外读物周均阅读时间的第25百分位数为$\frac{5+5}{2}=5$(h).
(2)因为$300×25\%=75$,所以第25百分位数为第75和第76位数的平均数,所以这300名学生课外读物周均阅读时间的第25百分位数为$\frac{5+5}{2}=5$(h).
解析
【分析】
(1)求中位数的思路：300个数据按从小到大排序后，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，也就是第150个和第151个数据的平均数。我们先把各组人数从阅读时间短到长依次累加，找到第150、151个数据对应的阅读时间，就能算出中位数。
(2)求第25百分位数的思路：先计算位置i=总人数×25%，若i是整数，那么第25百分位数是第i个和第i+1个数据的平均数。我们同样通过累计人数找到第75、76个数据对应的阅读时间，就能算出第25百分位数。
【解析】
先按周平均阅读时间从小到大累计人数：
阅读时间1h：累计1人；
阅读时间2h：累计$1+4=5$人；
阅读时间3h：累计$5+20=25$人；
阅读时间4h：累计$25+35=60$人；
阅读时间5h：累计$60+56=116$人；
阅读时间6h：累计$116+66=182$人。
(1) 总共有300个数据，中位数为排序后第$\frac{300}{2}=150$个和第151个数据的平均数。
观察累计人数可知：累计到5h共116人，累计到6h共182人，说明第117~182个数据都是6h，因此第150、151个数据都是6h。
故中位数为$\frac{6+6}{2}=6$（h）。
(2) 计算第25百分位数的位置：$300×25\%=75$，结果为整数，因此第25百分位数为第75个和第76个数据的平均数。
观察累计人数可知：累计到4h共60人，累计到5h共116人，说明第61~116个数据都是5h，因此第75、76个数据都是5h。
故第25百分位数为$\frac{5+5}{2}=5$（h）。
【答案】
(1) 6h；(2) 5h
【知识点】
中位数，百分位数，频数统计
【点评】
本题属于统计基础题，核心是掌握中位数和百分位数的定义，通过累计频数快速定位目标数据所在组别即可求解，计算量小，侧重对概念的理解。
【难度系数】
0.7
(1)求中位数的思路：300个数据按从小到大排序后，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，也就是第150个和第151个数据的平均数。我们先把各组人数从阅读时间短到长依次累加，找到第150、151个数据对应的阅读时间，就能算出中位数。
(2)求第25百分位数的思路：先计算位置i=总人数×25%，若i是整数，那么第25百分位数是第i个和第i+1个数据的平均数。我们同样通过累计人数找到第75、76个数据对应的阅读时间，就能算出第25百分位数。
【解析】
先按周平均阅读时间从小到大累计人数：
阅读时间1h：累计1人；
阅读时间2h：累计$1+4=5$人；
阅读时间3h：累计$5+20=25$人；
阅读时间4h：累计$25+35=60$人；
阅读时间5h：累计$60+56=116$人；
阅读时间6h：累计$116+66=182$人。
(1) 总共有300个数据，中位数为排序后第$\frac{300}{2}=150$个和第151个数据的平均数。
观察累计人数可知：累计到5h共116人，累计到6h共182人，说明第117~182个数据都是6h，因此第150、151个数据都是6h。
故中位数为$\frac{6+6}{2}=6$（h）。
(2) 计算第25百分位数的位置：$300×25\%=75$，结果为整数，因此第25百分位数为第75个和第76个数据的平均数。
观察累计人数可知：累计到4h共60人，累计到5h共116人，说明第61~116个数据都是5h，因此第75、76个数据都是5h。
故第25百分位数为$\frac{5+5}{2}=5$（h）。
【答案】
(1) 6h；(2) 5h
【知识点】
中位数，百分位数，频数统计
【点评】
本题属于统计基础题，核心是掌握中位数和百分位数的定义，通过累计频数快速定位目标数据所在组别即可求解，计算量小，侧重对概念的理解。
【难度系数】
0.7
13. 某学校生物社团需将10株不同高度(单位:cm)的同种植物分为A,B两组,要求组内植株高度尽量接近,两组之间高度差异明显.测量数据如下:
30,34,36,38,40,62,68,72,75,78.
(已知分组效果可通过“组内离差平方和”评估,其值越小表示组内数据越集中)
(1)计算全部植株的平均高度.
(2)若以50 cm为分界,将小于(包括等于)50 cm的植株分为A组,大于50 cm的分为B组.
①求A,B两组的离差平方和;
②计算两组的平均高度之差.
(3)尝试将分界改为65 cm,计算组内离差平方和,并与以50 cm为分界进行比较,判断哪种分界更优.
30,34,36,38,40,62,68,72,75,78.
(已知分组效果可通过“组内离差平方和”评估,其值越小表示组内数据越集中)
(1)计算全部植株的平均高度.
(2)若以50 cm为分界,将小于(包括等于)50 cm的植株分为A组,大于50 cm的分为B组.
①求A,B两组的离差平方和;
②计算两组的平均高度之差.
(3)尝试将分界改为65 cm,计算组内离差平方和,并与以50 cm为分界进行比较,判断哪种分界更优.
答案
13.解:(1)全部植株的平均高度为53.3 cm.
(2)①A组的离差平方和为59.2,B组的离差平方和为156.
②两组的平均高度差为71-35.6=35.4(cm).
(3)当以50 cm为分界时,组内离差平方和为215.2;当以65 cm为分界时,组内离差平方和为694.75.
694.75＞215.2,所以以50 cm为分界更优.
(2)①A组的离差平方和为59.2,B组的离差平方和为156.
②两组的平均高度差为71-35.6=35.4(cm).
(3)当以50 cm为分界时,组内离差平方和为215.2;当以65 cm为分界时,组内离差平方和为694.75.
694.75＞215.2,所以以50 cm为分界更优.
解析
【分析】
本题是统计相关的实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问求全部植株平均高度，直接用所有植株高度总和除以植株总数即可。
2. 第(2)问先按分界50cm分出A、B两组：
①求组内离差平方和，先分别计算两组的组内平均高度，再将组内每个数据与本组平均数的差的平方相加，就是该组的离差平方和；
②两组平均高度之差直接用高的组平均数减去低的组平均数即可。
3. 第(3)问先按65cm的分界重新分组，重复计算两组的离差平方和，求和得到总分组离差平方和，和50cm分界的总离差平方和比较，总离差平方和越小说明组内数据越集中，分组更优。
【解析】
(1) 全部植株高度总和为：
$30+34+36+38+40+62+68+72+75+78=533(\mathrm{cm})$
平均高度为 $533÷10=53.3(\mathrm{cm})$
(2) 按50cm分界分组：
A组（≤50cm）数据：30,34,36,38,40；B组（＞50cm）数据：62,68,72,75,78
① 先算A组平均高度：$\overline{x}_A=(30+34+36+38+40)÷5=35.6(\mathrm{cm})$
A组离差平方和：
$\begin{aligned}S_A^2&=(30-35.6)^2+(34-35.6)^2+(36-35.6)^2+(38-35.6)^2+(40-35.6)^2\\&=31.36+2.56+0.16+5.76+19.36\\&=59.2\end{aligned}$
再算B组平均高度：$\overline{x}_B=(62+68+72+75+78)÷5=71(\mathrm{cm})$
B组离差平方和：
$\begin{aligned}S_B^2&=(62-71)^2+(68-71)^2+(72-71)^2+(75-71)^2+(78-71)^2\\&=81+9+1+16+49\\&=156\end{aligned}$
② 两组平均高度差为：$71-35.6=35.4(\mathrm{cm})$
(3) 按65cm分界分组：
A组（≤65cm）数据：30,34,36,38,40,62；B组（＞65cm）数据：68,72,75,78
A组平均高度：$\overline{x}_A'=(30+34+36+38+40+62)÷6=40(\mathrm{cm})$
A组离差平方和：
$\begin{aligned}S_A'^2&=(30-40)^2+(34-40)^2+(36-40)^2+(38-40)^2+(40-40)^2+(62-40)^2\\&=100+36+16+4+0+484\\&=640\end{aligned}$
B组平均高度：$\overline{x}_B'=(68+72+75+78)÷4=73.25(\mathrm{cm})$
B组离差平方和：
$\begin{aligned}S_B'^2&=(68-73.25)^2+(72-73.25)^2+(75-73.25)^2+(78-73.25)^2\\&=27.5625+1.5625+3.0625+22.5625\\&=54.75\end{aligned}$
总离差平方和为 $640+54.75=694.75$
50cm分界的总离差平方和为 $59.2+156=215.2$
因为 $694.75＞215.2$，离差平方和越小组内越集中，所以以50cm为分界更优。
【答案】
(1) $\boldsymbol{53.3\ \mathrm{cm}}$
(2) ①A组离差平方和为$\boldsymbol{59.2}$，B组离差平方和为$\boldsymbol{156}$；②$\boldsymbol{35.4\ \mathrm{cm}}$
(3) 以65cm为分界的组内离差平方和为$\boldsymbol{694.75}$，大于50cm分界的$\boldsymbol{215.2}$，故以50cm为分界更优。
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，统计决策应用
【点评】
本题结合生物分组的实际场景，考察了基础统计量的计算方法，以及利用统计指标判断方案优劣的应用能力，解题时需注意准确计算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题是统计相关的实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问求全部植株平均高度，直接用所有植株高度总和除以植株总数即可。
2. 第(2)问先按分界50cm分出A、B两组：
①求组内离差平方和，先分别计算两组的组内平均高度，再将组内每个数据与本组平均数的差的平方相加，就是该组的离差平方和；
②两组平均高度之差直接用高的组平均数减去低的组平均数即可。
3. 第(3)问先按65cm的分界重新分组，重复计算两组的离差平方和，求和得到总分组离差平方和，和50cm分界的总离差平方和比较，总离差平方和越小说明组内数据越集中，分组更优。
【解析】
(1) 全部植株高度总和为：
$30+34+36+38+40+62+68+72+75+78=533(\mathrm{cm})$
平均高度为 $533÷10=53.3(\mathrm{cm})$
(2) 按50cm分界分组：
A组（≤50cm）数据：30,34,36,38,40；B组（＞50cm）数据：62,68,72,75,78
① 先算A组平均高度：$\overline{x}_A=(30+34+36+38+40)÷5=35.6(\mathrm{cm})$
A组离差平方和：
$\begin{aligned}S_A^2&=(30-35.6)^2+(34-35.6)^2+(36-35.6)^2+(38-35.6)^2+(40-35.6)^2\\&=31.36+2.56+0.16+5.76+19.36\\&=59.2\end{aligned}$
再算B组平均高度：$\overline{x}_B=(62+68+72+75+78)÷5=71(\mathrm{cm})$
B组离差平方和：
$\begin{aligned}S_B^2&=(62-71)^2+(68-71)^2+(72-71)^2+(75-71)^2+(78-71)^2\\&=81+9+1+16+49\\&=156\end{aligned}$
② 两组平均高度差为：$71-35.6=35.4(\mathrm{cm})$
(3) 按65cm分界分组：
A组（≤65cm）数据：30,34,36,38,40,62；B组（＞65cm）数据：68,72,75,78
A组平均高度：$\overline{x}_A'=(30+34+36+38+40+62)÷6=40(\mathrm{cm})$
A组离差平方和：
$\begin{aligned}S_A'^2&=(30-40)^2+(34-40)^2+(36-40)^2+(38-40)^2+(40-40)^2+(62-40)^2\\&=100+36+16+4+0+484\\&=640\end{aligned}$
B组平均高度：$\overline{x}_B'=(68+72+75+78)÷4=73.25(\mathrm{cm})$
B组离差平方和：
$\begin{aligned}S_B'^2&=(68-73.25)^2+(72-73.25)^2+(75-73.25)^2+(78-73.25)^2\\&=27.5625+1.5625+3.0625+22.5625\\&=54.75\end{aligned}$
总离差平方和为 $640+54.75=694.75$
50cm分界的总离差平方和为 $59.2+156=215.2$
因为 $694.75＞215.2$，离差平方和越小组内越集中，所以以50cm为分界更优。
【答案】
(1) $\boldsymbol{53.3\ \mathrm{cm}}$
(2) ①A组离差平方和为$\boldsymbol{59.2}$，B组离差平方和为$\boldsymbol{156}$；②$\boldsymbol{35.4\ \mathrm{cm}}$
(3) 以65cm为分界的组内离差平方和为$\boldsymbol{694.75}$，大于50cm分界的$\boldsymbol{215.2}$，故以50cm为分界更优。
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，统计决策应用
【点评】
本题结合生物分组的实际场景，考察了基础统计量的计算方法，以及利用统计指标判断方案优劣的应用能力，解题时需注意准确计算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
