1. 分式$\frac{1}{2ab}$与$\frac{b^2}{6a^2}$的最简公分母是 （）

A.$6a^2b$
B.$6ab$
C.$6a^2b^2$
D.$2ab$

1.A

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，首先明确最简公分母的判断规则，且仅需要参考两个分式的分母，不要受分子内容干扰，具体思考步骤如下：第一步先找两个分母系数的最小公倍数；第二步找出两个分母中出现的所有不同字母；第三步对相同字母，选取次数最高的幂次；最后将系数最小公倍数和所有选取的字母幂相乘，就得到最简公分母。
【解析】
两个分式的分母分别为$2ab$和$6a^2$：
1. 确定系数的最小公倍数：2和6的最小公倍数是6；
2. 找出分母中出现的所有字母：两个分母共出现a、b两个字母；
3. 取相同字母的最高次幂：a的最高次是$a^2$，b仅在第一个分母出现，最高次是$b^1=b$；
4. 组合得到最简公分母：$6× a^2× b=6a^2b$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数的计算
【点评】
本题考查最简公分母的找法，是分式通分、分式加减运算的基础，熟练掌握“系数取最小公倍数、所有出现的字母都要包含、相同字母取最高次幂”的规则即可快速解题，解题时注意仅分析分母的结构，不要被分子的字母次数误导。
【难度系数】
0.85

2.若将分式$\frac{3m}{m+n}$与$\frac{2n}{2(m-n)}$通分,则分式$\frac{3m}{m+n}$的分子应变为 （）

A.$6m^2 - 6mn$
B.$6m - 6n$
C.$2(m - n)$
D.$2(m - n)(m + n)$

2.A

【分析】
要解决分式通分后分子变形的问题，需按通分的步骤思考：第一步先确定两个分式的最简公分母，即取各分母所有因式的最高次幂的乘积；第二步根据分式的基本性质，要保持分式的值不变，原分母乘了什么式子得到最简公分母，分子也要乘相同的式子，最后计算得到变形后的分子即可。
【解析】
1. 确定最简公分母：
分式$\frac{3m}{m+n}$的分母为$m+n$，分式$\frac{2n}{2(m-n)}$的分母为$2(m-n)$，两个分母没有公因式，因此最简公分母为$2(m+n)(m-n)$。
2. 对$\frac{3m}{m+n}$变形：
原分母$m+n$要变为最简公分母$2(m+n)(m-n)$，需要给分母乘以$2(m-n)$。根据分式的基本性质，分子也需乘以$2(m-n)$，则变形后的分子为：
$3m × 2(m-n) = 6m(m-n) = 6m^2 - 6mn$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母确定；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题核心是准确找到两个分式的最简公分母，再利用分式基本性质对分子做同步变形，计算时要注意整式乘法的运算规则，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.7

3. 分式$\frac{1}{m+n},\frac{1}{m^2-n^2},\frac{1}{m-n}$的最简公分母是 （）

A.$(m+n)(m^2-n^2)$
B.$(m^2-n^2)^2$
C.$(m+n)^2(m-n)$
D.$m^2-n^2$

3.D

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，解题思路分两步走：第一步先将每个分式的分母进行因式分解，能分解的都分解为最简因式；第二步取各分母中所有出现过的不同因式的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。本题先利用平方差公式分解第二个分母，再找对应因式的最高次幂计算即可。
【解析】
步骤1：对三个分式的分母分别因式分解：
第一个分式的分母为$m+n$，已是最简因式，无需分解；
第二个分式的分母为$m^2-n^2$，由平方差公式可得$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$；
第三个分式的分母为$m-n$，已是最简因式，无需分解。
步骤2：确定最简公分母：
各分母中出现的不同因式为$m+n$和$m-n$，两个因式的最高次幂均为1次，因此最简公分母为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.最简公分母的确定 2.平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对分母因式分解再取最简公因式，切忌直接将所有分母相乘，这样容易得到非最简的公分母，造成后续运算繁琐。
【难度系数】
0.8

4. 计算$\frac{1}{x-1}+\frac{x^2}{1-x}$的结果是 （）

A.$\frac{1}{x+1}$
B.$\frac{1}{x-1}$
C.$x+1$
D.$-x-1$

4.D

【分析】
这是一道异分母分式的加法计算题，解题思路如下：第一步先统一分母，观察到两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，因此可以将第二个分式的分母转化为$x-1$，同时改变分式本身的符号，将原式转化为同分母分式的加减运算；第二步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；第三步对得到的分子进行因式分解，约去分子分母的公因式得到最简结果，最后对比选项选出答案即可。
【解析】
首先对原式变形，将第二个分式的分母化为与第一个分式相同的形式：
$\frac{1}{x-1}+\frac{x^2}{1-x}=\frac{1}{x-1}-\frac{x^2}{x-1}$
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{1 - x^2}{x - 1}$
对分子利用平方差公式因式分解：$1-x^2=(1-x)(1+x)=-(x-1)(x+1)$，代入上式：
$=\frac{-(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$
约去分子分母的公因式$x-1$（$x≠1$，分式有意义）：
$=-(x+1)=-x-1$
【答案】
D
【知识点】
分式加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的关键是掌握互为相反数的分母的变形技巧，运算过程中要格外注意符号的变化，避免因符号处理错误导致失分。
【难度系数】
0.7

5. 已知一个正确的运算过程$\frac{1}{x-3}+$$=\frac{x-2}{x-3}$被盖住了一部分,则被盖住的式子是 （）

A.$\frac{1}{x-3}$
B.$\frac{x+3}{x-3}$
C.$x-3$
D.$1$

5.D

【分析】
本题已知两个分式相加的和与其中一个加数，求被盖住的另一个加数，可根据加减法的互逆关系求解：首先用运算结果减去已知的加数，就能得到被盖住的式子，再按照同分母分式的减法法则计算，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
设被盖住的式子为$A$，根据题意可得：
$\frac{1}{x-3} + A = \frac{x-2}{x-3}$
根据加法各部分的关系，得：
$A = \frac{x-2}{x-3} - \frac{1}{x-3}$
根据同分母分式的减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，得：
$A = \frac{(x-2) - 1}{x-3} = \frac{x-3}{x-3}$
在分式有意义（$x≠3$）的前提下，约分可得：$A=1$
因此被盖住的式子是1，选D。
【答案】
D
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是利用加减法的逆运算关系列出求未知项的算式，再按照分式运算规则化简即可，计算时要注意分式约分的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.8

6. 已知$ M=\dfrac{x}{x-1},N=\dfrac{1}{1-x} $，下列各式正确的是 （）

A.$ M-N=1 $
B.$ M+N=1 $
C.$ M· N=1 $
D.$ \dfrac{M}{N}=1 $

6.B

【分析】
解题时首先观察到两个分式M、N的分母x-1和1-x互为相反数，可先将N的分母转化为与M同分母的形式，再分别对四个选项中的分式加减、乘除运算逐一计算，将计算结果与选项描述对比即可选出正确答案，计算时注意符号不要出错。
【解析】
首先对N进行变形：$N=\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$，隐含条件为$x≠1$。
逐一验证选项：
选项A：$M-N=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}≠1$，计算结果不符合，错误；
选项B：$M+N=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}=1$，计算结果符合，正确；
选项C：$M· N=\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{(x-1)(1-x)}=-\dfrac{x}{(x-1)^2}≠1$，计算结果不符合，错误；
选项D：$\dfrac{M}{N}=\dfrac{\dfrac{x}{x-1}}{\dfrac{1}{1-x}}=\dfrac{x}{x-1}×(1-x)=-x≠1$，计算结果不符合，错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算，分式的乘除运算
【点评】
本题考查分式的基本运算，解题的关键是发现两个分式分母互为相反数的关系，先统一分母再计算，能有效降低出错概率，属于分式运算的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

7.计算：$\dfrac{2}{a-1}+\dfrac{a-3}{a-1}=$.

7.1

【分析】
首先观察待计算的两个分式，发现分母均为$a-1$，属于同分母分式相加。根据同分母分式的加减法运算规则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。先对分子求和，再合并同类项，最后对得到的分式约分，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据同分母分式加法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2+(a-3)}{a-1}\\&=\dfrac{2+a-3}{a-1}\\&=\dfrac{a-1}{a-1}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$a-1≠0$，因此约分可得原式$=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，主要考查同分母分式的加减运算规则，运算时注意先判断分式的分母是否相同，运算后要将结果化为最简形式。
【难度系数】
0.9

8.计算$\frac{2}{x+1}+\frac{4}{x^2-1}$的结果是________.

8.$\frac{2}{x-1}$

【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题思路为：首先对可因式分解的分母用平方差公式分解，确定两个分式的最简公分母；再通过通分将异分母分式转化为同分母分式，按照同分母分式加法法则，分母不变、分子相加；最后对分子合并化简后约分，得到最简分式即可。
【解析】
解：先对分母因式分解，由平方差公式可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
$\begin{aligned}\frac{2}{x+1}+\frac{4}{x^2-1}&=\frac{2}{x+1}+\frac{4}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{4}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2(x-1)+4}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2x-2+4}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2x+2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2}{x-1} \quad (x≠\pm1)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式的加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先因式分解分母确定最简公分母，运算完成后要注意将结果化为最简分式。
【难度系数】
0.8