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15.如图,老师设计了一个接力游戏,甲、乙、丙、丁四名同学用合作的方式完成分式化简,开始出现错误的同学是
(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
(
B
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
15.B
解析
【分析】
要判断哪名同学最先出错，需按照分式运算的规则，依次检查每一步的变形是否正确：首先回忆分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘以它的倒数；其次要注意互为相反数的整式变形时需要添加负号，比如$3-x=-(x-3)$，逐次核对甲、乙、丙、丁的步骤即可找到错误来源。
【解析】
我们逐步核对每一步的变形：
1. 原式为 $\frac{x^2-6x}{x-3} ÷ \frac{x^2}{3-x}$，根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，甲将原式变形为 $\frac{x^2-6x}{x-3} · \frac{3-x}{x^2}$，该步骤正确，甲无错误。
2. 接下来看乙的变形：乙将分子的$3-x$改写为$x-3$，但忽略了$3-x = -(x-3)$，变形时没有添加负号，正确的变形应为 $\frac{x^2-6x}{x-3} · \frac{-(x-3)}{x^2}$，因此乙的步骤错误，是第一个出错的同学。
后续丙、丁的变形是基于乙的错误结果进行的，因此最先出现错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算；分式符号处理；因式分解
【点评】
本题是分式化简的常见易错题型，重点考查分式运算中的符号处理，同学们在做分式化简时，遇到互为相反数的因式变形时，切记不要遗漏负号，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪名同学最先出错，需按照分式运算的规则，依次检查每一步的变形是否正确：首先回忆分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘以它的倒数；其次要注意互为相反数的整式变形时需要添加负号，比如$3-x=-(x-3)$，逐次核对甲、乙、丙、丁的步骤即可找到错误来源。
【解析】
我们逐步核对每一步的变形：
1. 原式为 $\frac{x^2-6x}{x-3} ÷ \frac{x^2}{3-x}$，根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，甲将原式变形为 $\frac{x^2-6x}{x-3} · \frac{3-x}{x^2}$，该步骤正确，甲无错误。
2. 接下来看乙的变形：乙将分子的$3-x$改写为$x-3$，但忽略了$3-x = -(x-3)$，变形时没有添加负号，正确的变形应为 $\frac{x^2-6x}{x-3} · \frac{-(x-3)}{x^2}$，因此乙的步骤错误，是第一个出错的同学。
后续丙、丁的变形是基于乙的错误结果进行的，因此最先出现错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算；分式符号处理；因式分解
【点评】
本题是分式化简的常见易错题型，重点考查分式运算中的符号处理，同学们在做分式化简时，遇到互为相反数的因式变形时，切记不要遗漏负号，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.7
16. 给定一列分式：$\frac{x^3}{y}, -\frac{x^5}{y^2}, \frac{x^7}{y^3}, -\frac{x^9}{y^4}, \dots$（其中 $x ≠ 0$），用任意一个分式去除它后面的一个分式，得到的结果是________；根据你发现的规律，试写出第9个分式：______。
答案
16.$-\frac{x^2}{y}$ $\frac{x^{19}}{y^9}$
解析
【分析】
这道题分为两个小问，解题思路如下：1. 第一问要明确“用一个分式去除它后面的分式”的含义，即后面的分式作为被除数、前面的分式作为除数，运算遵循分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，任选相邻两个分式计算后验证结果是否为定值即可。2. 第二问找第9个分式，需要分别观察已知分式的符号、分子x的次数、分母y的次数的变化规律，总结出第n个分式的通用表达式，再代入n=9计算即可。
【解析】
（1）计算相邻两个分式的商：取第1个分式$\frac{x^3}{y}$和第2个分式$-\frac{x^5}{y^2}$，根据题意用第1个去除第2个，列式为：
$(-\frac{x^5}{y^2}) ÷ \frac{x^3}{y} = -\frac{x^5}{y^2} × \frac{y}{x^3} = -\frac{x^2}{y}$
再验证第2个和第3个分式的商：
$\frac{x^7}{y^3} ÷ (-\frac{x^5}{y^2}) = \frac{x^7}{y^3} × (-\frac{y^2}{x^5}) = -\frac{x^2}{y}$
可知任意相邻两个分式按要求计算的结果为定值$-\frac{x^2}{y}$。
（2）观察已知分式的规律：
①符号：第奇数个分式为正，第偶数个分式为负，符号规律为$(-1)^{n+1}$（n为正整数，代表第n个分式）；
②分子x的次数：第1个为$3=2×1+1$，第2个为$5=2×2+1$，第3个为$7=2×3+1$，规律为$2n+1$；
③分母y的次数：第1个为1，第2个为2，第3个为3，规律为$n$。
因此第n个分式的通式为$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$。
代入n=9计算得：$(-1)^{9+1}·\frac{x^{2×9+1}}{y^9} = \frac{x^{19}}{y^9}$。
【答案】
$-\frac{x^2}{y}$；$\frac{x^{19}}{y^9}$
【知识点】
分式除法运算；数字规律探究
【点评】
本题综合考查分式运算和规律探究能力，解题的关键是准确理解“去除”对应的运算顺序，从符号、分子、分母三个维度分别归纳变化规律，计算时需注意符号处理和约分的正确性。
【难度系数】
0.7
这道题分为两个小问，解题思路如下：1. 第一问要明确“用一个分式去除它后面的分式”的含义，即后面的分式作为被除数、前面的分式作为除数，运算遵循分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，任选相邻两个分式计算后验证结果是否为定值即可。2. 第二问找第9个分式，需要分别观察已知分式的符号、分子x的次数、分母y的次数的变化规律，总结出第n个分式的通用表达式，再代入n=9计算即可。
【解析】
（1）计算相邻两个分式的商：取第1个分式$\frac{x^3}{y}$和第2个分式$-\frac{x^5}{y^2}$，根据题意用第1个去除第2个，列式为：
$(-\frac{x^5}{y^2}) ÷ \frac{x^3}{y} = -\frac{x^5}{y^2} × \frac{y}{x^3} = -\frac{x^2}{y}$
再验证第2个和第3个分式的商：
$\frac{x^7}{y^3} ÷ (-\frac{x^5}{y^2}) = \frac{x^7}{y^3} × (-\frac{y^2}{x^5}) = -\frac{x^2}{y}$
可知任意相邻两个分式按要求计算的结果为定值$-\frac{x^2}{y}$。
（2）观察已知分式的规律：
①符号：第奇数个分式为正，第偶数个分式为负，符号规律为$(-1)^{n+1}$（n为正整数，代表第n个分式）；
②分子x的次数：第1个为$3=2×1+1$，第2个为$5=2×2+1$，第3个为$7=2×3+1$，规律为$2n+1$；
③分母y的次数：第1个为1，第2个为2，第3个为3，规律为$n$。
因此第n个分式的通式为$(-1)^{n+1}·\frac{x^{2n+1}}{y^n}$。
代入n=9计算得：$(-1)^{9+1}·\frac{x^{2×9+1}}{y^9} = \frac{x^{19}}{y^9}$。
【答案】
$-\frac{x^2}{y}$；$\frac{x^{19}}{y^9}$
【知识点】
分式除法运算；数字规律探究
【点评】
本题综合考查分式运算和规律探究能力，解题的关键是准确理解“去除”对应的运算顺序，从符号、分子、分母三个维度分别归纳变化规律，计算时需注意符号处理和约分的正确性。
【难度系数】
0.7
17.计算:
(1)$\dfrac{x^2}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x}{x - 1}$;
(2)$\dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1}$.
(1)$\dfrac{x^2}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x}{x - 1}$;
(2)$\dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1}$.
答案
17.解:(1)$\frac{x^2}{x^2-1}÷\frac{x}{x-1}=\frac{x^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x-1}{x}=\frac{x}{x+1}$.
(2)$\frac{a-1}{a+2}·\frac{a^2-4}{a^2-2a+1}÷\frac{a-3}{a^2-1}=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·\frac{(a-1)(a+1)}{a-3}=\frac{(a-2)(a+1)}{a-3}=\frac{a^2-a-2}{a-3}$.
(2)$\frac{a-1}{a+2}·\frac{a^2-4}{a^2-2a+1}÷\frac{a-3}{a^2-1}=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·\frac{(a-1)(a+1)}{a-3}=\frac{(a-2)(a+1)}{a-3}=\frac{a^2-a-2}{a-3}$.
解析
【分析】
分式乘除运算的核心思路是先将除法转化为乘法，再对分子、分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式，最终得到最简结果。对于第(1)题，先利用分式除法法则把除法转为乘法，再对分母$x^2-1$用平方差公式分解，之后约分即可；第(2)题同样先把除法转为乘法，再分别对$a^2-4$、$a^2-2a+1$、$a^2-1$用公式法因式分解，再找全公因式约分，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，再对多项式因式分解后约分：
$\dfrac{x^2}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x}{x - 1}=\dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}·\dfrac{x-1}{x}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x-1)$，可得结果为$\dfrac{x}{x+1}$。
(2) 先将除法转化为乘法，再对各个多项式因式分解后约分：
$\dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1}=\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-3}$
约去分子分母的公因式$(a+2)$、$(a-1)^2$，化简得$\dfrac{(a-2)(a+1)}{a-3}$，展开分子后为$\dfrac{a^2 -a -2}{a-3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x}{x+1}$
(2) $\dfrac{a^2 - a - 2}{a - 3}$（或$\dfrac{(a-2)(a+1)}{a-3}$）
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是牢记分式除法的转化规则，熟练掌握常见多项式的因式分解方法，约分时要注意找全所有公因式，避免因漏约分或因式分解错误导致失分。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的核心思路是先将除法转化为乘法，再对分子、分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式，最终得到最简结果。对于第(1)题，先利用分式除法法则把除法转为乘法，再对分母$x^2-1$用平方差公式分解，之后约分即可；第(2)题同样先把除法转为乘法，再分别对$a^2-4$、$a^2-2a+1$、$a^2-1$用公式法因式分解，再找全公因式约分，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，再对多项式因式分解后约分：
$\dfrac{x^2}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x}{x - 1}=\dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}·\dfrac{x-1}{x}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x-1)$，可得结果为$\dfrac{x}{x+1}$。
(2) 先将除法转化为乘法，再对各个多项式因式分解后约分：
$\dfrac{a - 1}{a + 2} · \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 - 1}=\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-3}$
约去分子分母的公因式$(a+2)$、$(a-1)^2$，化简得$\dfrac{(a-2)(a+1)}{a-3}$，展开分子后为$\dfrac{a^2 -a -2}{a-3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{x}{x+1}$
(2) $\dfrac{a^2 - a - 2}{a - 3}$（或$\dfrac{(a-2)(a+1)}{a-3}$）
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是牢记分式除法的转化规则，熟练掌握常见多项式的因式分解方法，约分时要注意找全所有公因式，避免因漏约分或因式分解错误导致失分。
【难度系数】
0.8
18. 先化简,再求值:$\dfrac{(a-5)(a+1)}{a^2-5a}÷(a^2+a)$,其中$a=-\dfrac{1}{3}$.
答案
18.解:$\frac{(a-5)(a+1)}{a^2-5a}÷(a^2+a)=\frac{(a-5)(a+1)}{a(a-5)}·\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a^2}$.
当$a=-\frac{1}{3}$时,原式=9.
当$a=-\frac{1}{3}$时,原式=9.
解析
【分析】
遇到分式化简求值类题目，可按以下步骤思考：第一步，处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个整式等于乘这个整式的倒数，先将原式转化为乘法运算；第二步，对分子、分母中可以因式分解的多项式进行因式分解，本题中$a^2-5a$和$a^2+a$都可以用提公因式法分解；第三步，约去分子和分母中的公因式，得到最简结果；第四步，把给定的a的数值代入最简结果计算，注意要先确认a的取值使原分式有意义再代入。
【解析】
解：先对原式因式分解，同时将除法转化为乘法：
$\dfrac{(a-5)(a+1)}{a^2-5a}÷(a^2+a)$
$=\dfrac{(a-5)(a+1)}{a(a-5)}·\dfrac{1}{a(a+1)}$
约去分子分母的公因式$a-5$和$a+1$（其中$a≠0,a≠5,a≠-1$，给定$a=-\dfrac{1}{3}$满足取值要求），可得：
$=\dfrac{1}{a^2}$
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入$\dfrac{1}{a^2}$得：
原式$=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}}=9$
【答案】
9
【知识点】
分式的乘除运算，提公因式法因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，重点考查分式乘除运算法则和提公因式法分解因式的应用，解题时注意要先化简再代入求值，约分过程中要找准公因式，代入负数计算乘方时要注意符号，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
遇到分式化简求值类题目，可按以下步骤思考：第一步，处理除法运算，根据分式除法法则，除以一个整式等于乘这个整式的倒数，先将原式转化为乘法运算；第二步，对分子、分母中可以因式分解的多项式进行因式分解，本题中$a^2-5a$和$a^2+a$都可以用提公因式法分解；第三步，约去分子和分母中的公因式，得到最简结果；第四步，把给定的a的数值代入最简结果计算，注意要先确认a的取值使原分式有意义再代入。
【解析】
解：先对原式因式分解，同时将除法转化为乘法：
$\dfrac{(a-5)(a+1)}{a^2-5a}÷(a^2+a)$
$=\dfrac{(a-5)(a+1)}{a(a-5)}·\dfrac{1}{a(a+1)}$
约去分子分母的公因式$a-5$和$a+1$（其中$a≠0,a≠5,a≠-1$，给定$a=-\dfrac{1}{3}$满足取值要求），可得：
$=\dfrac{1}{a^2}$
将$a=-\dfrac{1}{3}$代入$\dfrac{1}{a^2}$得：
原式$=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}}=9$
【答案】
9
【知识点】
分式的乘除运算，提公因式法因式分解，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规基础题型，重点考查分式乘除运算法则和提公因式法分解因式的应用，解题时注意要先化简再代入求值，约分过程中要找准公因式，代入负数计算乘方时要注意符号，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
19.如图,有甲、乙两个花坛(阴影部分),分别在这两个花坛中均匀播种$m$粒花种,哪一个花坛的撒播密度大$(\mathrm{撒播密度}=\dfrac{\mathrm{花种数量}}{\mathrm{撒播面积}})$？
答案
19.解:$\because S_{甲阴影}=a^2-b^2,S_{乙阴影}=π(\frac{a}{2})^2-π(\frac{b}{2})^2=\frac{π}{4}(a^2-b^2)$，
∴甲花坛的撒播密度为$\frac{m}{S_{甲阴影}}=\frac{m}{a^2-b^2}$，
乙花坛的撒播密度为$\frac{m}{S_{乙阴影}}=\frac{m}{\frac{π}{4}(a^2-b^2)}=\frac{4m}{π(a^2-b^2)}$.
$\because \frac{m}{a^2-b^2}÷\frac{4m}{π(a^2-b^2)}=\frac{m}{a^2-b^2}·\frac{π(a^2-b^2)}{4m}=\frac{π}{4}＜1$，
∴乙花坛的撒播密度大.
∴甲花坛的撒播密度为$\frac{m}{S_{甲阴影}}=\frac{m}{a^2-b^2}$，
乙花坛的撒播密度为$\frac{m}{S_{乙阴影}}=\frac{m}{\frac{π}{4}(a^2-b^2)}=\frac{4m}{π(a^2-b^2)}$.
$\because \frac{m}{a^2-b^2}÷\frac{4m}{π(a^2-b^2)}=\frac{m}{a^2-b^2}·\frac{π(a^2-b^2)}{4m}=\frac{π}{4}＜1$，
∴乙花坛的撒播密度大.
解析
【分析】要比较两个花坛的撒播密度，需结合撒播密度公式：撒播密度=花种数量÷撒播面积分析。已知两个花坛花种数量均为m，因此只需先求出两个阴影花坛的面积，再分别代入公式得到两个密度的代数式，最后比较代数式的大小即可。第一步用面积差法求阴影面积：甲花坛阴影是大正方形减小正方形的面积，乙花坛阴影是外圆减内圆的圆环面积；第二步代入密度公式写出两个密度的表达式；第三步用作商法比较两个分式的大小，最终判断哪个密度更大。
【解析】
解：首先计算两个花坛的阴影面积：
$S_{甲阴影}=S_{大正方形}-S_{小正方形}=a^2-b^2$
$S_{乙阴影}=S_{外圆}-S_{内圆}=π(\frac{a}{2})^2-π(\frac{b}{2})^2=\frac{π}{4}(a^2-b^2)$
根据撒播密度公式，计算两个花坛的撒播密度：
甲花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{甲阴影}}=\frac{m}{a^2-b^2}$
乙花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{乙阴影}}=\frac{m}{\frac{π}{4}(a^2-b^2)}=\frac{4m}{π(a^2-b^2)}$
比较两个密度的大小，用作商法：
$\frac{m}{a^2-b^2}÷\frac{4m}{π(a^2-b^2)}=\frac{m}{a^2-b^2}·\frac{π(a^2-b^2)}{4m}=\frac{π}{4}＜1$
因为两个密度均为正数，商小于1说明被除数小于除数，即$\frac{m}{a^2-b^2}＜\frac{4m}{π(a^2-b^2)}$，因此乙花坛撒播密度更大。
【答案】乙花坛的撒播密度大
【知识点】面积差法求阴影面积；分式运算；作商法比较大小
【点评】本题结合生活实际场景，考查了规则图形面积公式、分式运算及代数式大小比较的应用，解题关键是正确求出阴影部分面积，再结合题干给出的密度公式列式比较，注重对基础知识实际应用能力的考查。
【难度系数】0.7
【解析】
解：首先计算两个花坛的阴影面积：
$S_{甲阴影}=S_{大正方形}-S_{小正方形}=a^2-b^2$
$S_{乙阴影}=S_{外圆}-S_{内圆}=π(\frac{a}{2})^2-π(\frac{b}{2})^2=\frac{π}{4}(a^2-b^2)$
根据撒播密度公式，计算两个花坛的撒播密度：
甲花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{甲阴影}}=\frac{m}{a^2-b^2}$
乙花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{乙阴影}}=\frac{m}{\frac{π}{4}(a^2-b^2)}=\frac{4m}{π(a^2-b^2)}$
比较两个密度的大小，用作商法：
$\frac{m}{a^2-b^2}÷\frac{4m}{π(a^2-b^2)}=\frac{m}{a^2-b^2}·\frac{π(a^2-b^2)}{4m}=\frac{π}{4}＜1$
因为两个密度均为正数，商小于1说明被除数小于除数，即$\frac{m}{a^2-b^2}＜\frac{4m}{π(a^2-b^2)}$，因此乙花坛撒播密度更大。
【答案】乙花坛的撒播密度大
【知识点】面积差法求阴影面积；分式运算；作商法比较大小
【点评】本题结合生活实际场景，考查了规则图形面积公式、分式运算及代数式大小比较的应用，解题关键是正确求出阴影部分面积，再结合题干给出的密度公式列式比较，注重对基础知识实际应用能力的考查。
【难度系数】0.7
