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8.计算$(\dfrac{x^2}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x})^3 ÷ (-\dfrac{y}{x})^4 =$
$-x^5$
.答案
8.$-x^5$
解析
【分析】
这是分式乘方与乘除的混合运算题，解题需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除。①计算乘方时，运用分式乘方法则（分子分母分别乘方），结合负数幂的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，先确定每个乘方项的结果和符号；②将除法运算转化为乘以除数的倒数，统一为乘法运算；③最后通过分子分母约分，结合同底数幂的运算法则化简得到结果。
【解析】
解：先计算各乘方项：
$(\dfrac{x^2}{y})^2=\dfrac{(x^2)^2}{y^2}=\dfrac{x^4}{y^2}$
$(-\dfrac{y^2}{x})^3=(-1)^3·\dfrac{(y^2)^3}{x^3}=-\dfrac{y^6}{x^3}$
$(-\dfrac{y}{x})^4=(-1)^4·\dfrac{y^4}{x^4}=\dfrac{y^4}{x^4}$
将除法转化为乘法，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x^4}{y^2}·(-\dfrac{y^6}{x^3})÷\dfrac{y^4}{x^4}\\&=\dfrac{x^4}{y^2}·(-\dfrac{y^6}{x^3})·\dfrac{x^4}{y^4}\\&=-\dfrac{x^4· y^6· x^4}{y^2· x^3· y^4}\\&=-x^{4+4-3}· y^{6-(2+4)}\\&=-x^5· y^0\\&=-x^5\end{aligned}$
【答案】
$-x^5$
【知识点】
分式的乘方运算，分式的乘除运算，幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是严格遵循运算顺序，注意运算过程中符号的判断，熟练运用幂的相关运算法则进行约分计算，避免因符号看错或幂的次数计算错误失分。
【难度系数】
0.7
这是分式乘方与乘除的混合运算题，解题需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除。①计算乘方时，运用分式乘方法则（分子分母分别乘方），结合负数幂的符号规律：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，先确定每个乘方项的结果和符号；②将除法运算转化为乘以除数的倒数，统一为乘法运算；③最后通过分子分母约分，结合同底数幂的运算法则化简得到结果。
【解析】
解：先计算各乘方项：
$(\dfrac{x^2}{y})^2=\dfrac{(x^2)^2}{y^2}=\dfrac{x^4}{y^2}$
$(-\dfrac{y^2}{x})^3=(-1)^3·\dfrac{(y^2)^3}{x^3}=-\dfrac{y^6}{x^3}$
$(-\dfrac{y}{x})^4=(-1)^4·\dfrac{y^4}{x^4}=\dfrac{y^4}{x^4}$
将除法转化为乘法，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x^4}{y^2}·(-\dfrac{y^6}{x^3})÷\dfrac{y^4}{x^4}\\&=\dfrac{x^4}{y^2}·(-\dfrac{y^6}{x^3})·\dfrac{x^4}{y^4}\\&=-\dfrac{x^4· y^6· x^4}{y^2· x^3· y^4}\\&=-x^{4+4-3}· y^{6-(2+4)}\\&=-x^5· y^0\\&=-x^5\end{aligned}$
【答案】
$-x^5$
【知识点】
分式的乘方运算，分式的乘除运算，幂的运算性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是严格遵循运算顺序，注意运算过程中符号的判断，熟练运用幂的相关运算法则进行约分计算，避免因符号看错或幂的次数计算错误失分。
【难度系数】
0.7
9.若代数式$\dfrac{x+1}{x+2}÷\dfrac{x+3}{x+4}$有意义，则$x$的取值范围是$\underline{\hspace{8cm}}$.
答案
9.$x≠-2,x≠-3,x≠-4$
解析
【分析】
要确定这个分式除法代数式有意义的x取值范围，首先得明确两个核心要求：①所有分式的分母不能为0，否则分式无意义；②除法运算中除数不能为0，否则除法无意义。我们只需要分别找出所有不满足这两个要求的x值，排除这些值就能得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 第一个分式$\dfrac{x+1}{x+2}$的分母不为0：$x+2≠0$，解得$x≠-2$；
2. 除式$\dfrac{x+3}{x+4}$本身是分式，它的分母不为0：$x+4≠0$，解得$x≠-4$；
3. 除法的除数不能为0，即除式的值不为0，因此除式的分子不为0：$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
综上，x的取值范围是$x≠-2,x≠-3,x≠-4$。
【答案】
$x≠-2,x≠-3,x≠-4$
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易遗漏除式的分母不为0、除式本身不为0这两个限制条件，做题时要逐一排查所有的分母和除数对应的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定这个分式除法代数式有意义的x取值范围，首先得明确两个核心要求：①所有分式的分母不能为0，否则分式无意义；②除法运算中除数不能为0，否则除法无意义。我们只需要分别找出所有不满足这两个要求的x值，排除这些值就能得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 第一个分式$\dfrac{x+1}{x+2}$的分母不为0：$x+2≠0$，解得$x≠-2$；
2. 除式$\dfrac{x+3}{x+4}$本身是分式，它的分母不为0：$x+4≠0$，解得$x≠-4$；
3. 除法的除数不能为0，即除式的值不为0，因此除式的分子不为0：$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
综上，x的取值范围是$x≠-2,x≠-3,x≠-4$。
【答案】
$x≠-2,x≠-3,x≠-4$
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易遗漏除式的分母不为0、除式本身不为0这两个限制条件，做题时要逐一排查所有的分母和除数对应的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10. [新定义]在正数范围内定义一种运算“*”，其规律是 $ a * b = \frac{1}{a} · \frac{1}{b} $，那么 $ (x + 1) * \frac{1}{x + 2} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
10.$\frac{x+2}{x+1}$
解析
【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解题目给出的运算规则，本题规则为$a*b$等于$a$的倒数与$b$的倒数的乘积。解题时先将所求式子中的$(x+1)$对应规则里的$a$，$\frac{1}{x+2}$对应规则里的$b$，再代入运算规则，最后按照分式的运算方法化简即可得到结果。
【解析】
根据题中定义的运算规律$a*b=\frac{1}{a}·\frac{1}{b}$，将$a=x+1$，$b=\frac{1}{x+2}$代入得：
$\begin{aligned}(x+1)*\frac{1}{x+2}&=\frac{1}{x+1}·\frac{1}{\frac{1}{x+2}}\\&=\frac{1}{x+1}·(x+2)\\&=\frac{x+2}{x+1}\end{aligned}$
（注：运算在正数范围内进行，分母均不为0，结果有意义）
【答案】
$\frac{x+2}{x+1}$
【知识点】
新定义运算，分式乘法运算
【点评】
本题是新定义类基础题，重点考查对新运算规则的理解能力和分式的基本运算能力，解题时只要准确对应运算对象、正确计算分式乘法即可得分。
【难度系数】
0.8
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解题目给出的运算规则，本题规则为$a*b$等于$a$的倒数与$b$的倒数的乘积。解题时先将所求式子中的$(x+1)$对应规则里的$a$，$\frac{1}{x+2}$对应规则里的$b$，再代入运算规则，最后按照分式的运算方法化简即可得到结果。
【解析】
根据题中定义的运算规律$a*b=\frac{1}{a}·\frac{1}{b}$，将$a=x+1$，$b=\frac{1}{x+2}$代入得：
$\begin{aligned}(x+1)*\frac{1}{x+2}&=\frac{1}{x+1}·\frac{1}{\frac{1}{x+2}}\\&=\frac{1}{x+1}·(x+2)\\&=\frac{x+2}{x+1}\end{aligned}$
（注：运算在正数范围内进行，分母均不为0，结果有意义）
【答案】
$\frac{x+2}{x+1}$
【知识点】
新定义运算，分式乘法运算
【点评】
本题是新定义类基础题，重点考查对新运算规则的理解能力和分式的基本运算能力，解题时只要准确对应运算对象、正确计算分式乘法即可得分。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1)$\dfrac{5x}{y} · \dfrac{y}{15x^2}$；
(2)$x(y - x) · \dfrac{xy}{x - y}$。
(1)$\dfrac{5x}{y} · \dfrac{y}{15x^2}$；
(2)$x(y - x) · \dfrac{xy}{x - y}$。
答案
11.解:(1)$\frac{5x}{y}·\frac{y}{15x^2}=\frac{1}{3x}$.
(2)$x(y-x)·\frac{xy}{x-y}=-x(x-y)·\frac{xy}{x-y}=-x^2y$.
(2)$x(y-x)·\frac{xy}{x-y}=-x(x-y)·\frac{xy}{x-y}=-x^2y$.
解析
【分析】
这两道题属于分式乘法运算题，解题遵循分式乘法的运算规则：分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，计算过程中能约分的先约分简化计算。第(1)题直接找分子分母的公因式约分即可；第(2)题注意到因式$y-x$和分母$x-y$互为相反数，先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再进行约分计算，过程中需注意符号变化。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分：
$\dfrac{5x}{y} · \dfrac{y}{15x^2} = \dfrac{5x·y}{y·15x^2}$，约去分子分母的公因式$5xy$，可得$\dfrac{1}{3x}$。
(2) 先对$y-x$进行符号变形，再约分计算：
将$y-x$改写为$-(x-y)$，代入原式得：
$x(y-x) · \dfrac{xy}{x-y} = -x(x-y) · \dfrac{xy}{x-y}$，约去公因式$x-y$（$x≠ y$），剩余部分计算得：$-x·xy = -x^2y$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{3x}$；(2)$-x^2y$
【知识点】
分式乘法运算，分式约分，整式符号转化
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，核心是掌握约分的方法，尤其要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，计算时细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这两道题属于分式乘法运算题，解题遵循分式乘法的运算规则：分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，计算过程中能约分的先约分简化计算。第(1)题直接找分子分母的公因式约分即可；第(2)题注意到因式$y-x$和分母$x-y$互为相反数，先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再进行约分计算，过程中需注意符号变化。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分：
$\dfrac{5x}{y} · \dfrac{y}{15x^2} = \dfrac{5x·y}{y·15x^2}$，约去分子分母的公因式$5xy$，可得$\dfrac{1}{3x}$。
(2) 先对$y-x$进行符号变形，再约分计算：
将$y-x$改写为$-(x-y)$，代入原式得：
$x(y-x) · \dfrac{xy}{x-y} = -x(x-y) · \dfrac{xy}{x-y}$，约去公因式$x-y$（$x≠ y$），剩余部分计算得：$-x·xy = -x^2y$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{3x}$；(2)$-x^2y$
【知识点】
分式乘法运算，分式约分，整式符号转化
【点评】
本题是分式乘法的基础运算题，核心是掌握约分的方法，尤其要注意互为相反数的因式约分时的符号变化，计算时细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1)$\dfrac{a - b}{a + b} ÷ (b - a)$；
(2)$\dfrac{15x^{4}}{ab} ÷ (-18ax^{3})$.
(1)$\dfrac{a - b}{a + b} ÷ (b - a)$；
(2)$\dfrac{15x^{4}}{ab} ÷ (-18ax^{3})$.
答案
12.解:(1)$\frac{a-b}{a+b}÷(b-a)=\frac{a-b}{a+b}·\frac{1}{b-a}=\frac{a-b}{a+b}·(-\frac{1}{a-b})=-\frac{1}{a+b}$.
(2)$\frac{15x^4}{ab}÷(-18ax^3)=\frac{15x^4}{ab}×\frac{1}{-18ax^3}=-\frac{5x}{6a^2b}$.
(2)$\frac{15x^4}{ab}÷(-18ax^3)=\frac{15x^4}{ab}×\frac{1}{-18ax^3}=-\frac{5x}{6a^2b}$.
解析
【分析】
解决分式除法类题目，核心思路是先将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到最简结果。对于第(1)题，首先把除以$(b-a)$转化为乘$\frac{1}{b-a}$，注意到$(b-a)$与分子$(a-b)$互为相反数，可对其变形后约分；对于第(2)题，先把除以$(-18ax^3)$转化为乘$\frac{1}{-18ax^3}$，再分别对系数、同底数幂进行计算，最后约去公因式即可。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
$\dfrac{a - b}{a + b} ÷ (b - a)=\dfrac{a-b}{a+b}·\dfrac{1}{b-a}$
将$\dfrac{1}{b-a}$变形为$-\dfrac{1}{a-b}$，代入后约去公因式$(a-b)$：
$\dfrac{a-b}{a+b}·(-\dfrac{1}{a-b})=-\dfrac{1}{a+b}$
(2) 根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
$\dfrac{15x^{4}}{ab} ÷ (-18ax^{3})=\dfrac{15x^4}{ab}×\dfrac{1}{-18ax^3}$
分别计算系数、同底数幂的运算：系数15与-18约分为$-\dfrac{5}{6}$，$x^4÷x^3=x$，分母新增1个$a$变为$a^2$，$b$保留在分母，最终化简得：
$-\dfrac{5x}{6a^2b}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{a+b}$；(2)$-\dfrac{5x}{6a^2b}$
【知识点】
分式除法法则、分式约分、同底数幂的除法
【点评】
这两道题是分式运算的基础题型，重点考查分式除法到乘法的转换规则，解题时需注意互为相反数的因式的符号变化，单项式运算时要分别计算系数和同底数幂，避免符号或约分错误。
【难度系数】
0.8
解决分式除法类题目，核心思路是先将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到最简结果。对于第(1)题，首先把除以$(b-a)$转化为乘$\frac{1}{b-a}$，注意到$(b-a)$与分子$(a-b)$互为相反数，可对其变形后约分；对于第(2)题，先把除以$(-18ax^3)$转化为乘$\frac{1}{-18ax^3}$，再分别对系数、同底数幂进行计算，最后约去公因式即可。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
$\dfrac{a - b}{a + b} ÷ (b - a)=\dfrac{a-b}{a+b}·\dfrac{1}{b-a}$
将$\dfrac{1}{b-a}$变形为$-\dfrac{1}{a-b}$，代入后约去公因式$(a-b)$：
$\dfrac{a-b}{a+b}·(-\dfrac{1}{a-b})=-\dfrac{1}{a+b}$
(2) 根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
$\dfrac{15x^{4}}{ab} ÷ (-18ax^{3})=\dfrac{15x^4}{ab}×\dfrac{1}{-18ax^3}$
分别计算系数、同底数幂的运算：系数15与-18约分为$-\dfrac{5}{6}$，$x^4÷x^3=x$，分母新增1个$a$变为$a^2$，$b$保留在分母，最终化简得：
$-\dfrac{5x}{6a^2b}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{a+b}$；(2)$-\dfrac{5x}{6a^2b}$
【知识点】
分式除法法则、分式约分、同底数幂的除法
【点评】
这两道题是分式运算的基础题型，重点考查分式除法到乘法的转换规则，解题时需注意互为相反数的因式的符号变化，单项式运算时要分别计算系数和同底数幂，避免符号或约分错误。
【难度系数】
0.8
13. 在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比.如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是1 kg，甲、乙两种原料的质量配比是$x:y$，那么需要甲种原料多少千克？
答案
13.解:由题意,可知甲原料在饮料成品中所占的比例为$\frac{x}{x+y}$，
∴1 kg饮料成品中,甲原料的质量为$\frac{x}{x+y}×1=\frac{x}{x+y}$(kg).
答:需要甲原料$\frac{x}{x+y}$kg.
∴1 kg饮料成品中,甲原料的质量为$\frac{x}{x+y}×1=\frac{x}{x+y}$(kg).
答:需要甲原料$\frac{x}{x+y}$kg.
解析
【分析】
解决这道题首先要理解质量配比的含义：甲、乙质量比为$x:y$，是指把成品总质量平均分成$(x+y)$份，其中甲原料占$x$份，乙原料占$y$份。解题时先计算甲原料占总质量的比例，再用成品总质量乘这个比例，就能得出需要的甲原料的质量。
【解析】
解：由题意，可知甲原料在饮料成品中所占的比例为$\frac{x}{x+y}$，
∴1 kg饮料成品中，甲原料的质量为$\frac{x}{x+y}×1=\frac{x}{x+y}$(kg)。
【答案】
需要甲种原料$\boxed{\frac{x}{x+y}}$千克
【知识点】
1. 比例的应用 2. 列代数式
【点评】
本题是基础的比例分配类应用题，结合生活中的调配场景，考查对比例意义的理解和用代数式表示数量关系的能力，解题关键是正确求出甲原料占总质量的占比。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要理解质量配比的含义：甲、乙质量比为$x:y$，是指把成品总质量平均分成$(x+y)$份，其中甲原料占$x$份，乙原料占$y$份。解题时先计算甲原料占总质量的比例，再用成品总质量乘这个比例，就能得出需要的甲原料的质量。
【解析】
解：由题意，可知甲原料在饮料成品中所占的比例为$\frac{x}{x+y}$，
∴1 kg饮料成品中，甲原料的质量为$\frac{x}{x+y}×1=\frac{x}{x+y}$(kg)。
【答案】
需要甲种原料$\boxed{\frac{x}{x+y}}$千克
【知识点】
1. 比例的应用 2. 列代数式
【点评】
本题是基础的比例分配类应用题，结合生活中的调配场景，考查对比例意义的理解和用代数式表示数量关系的能力，解题关键是正确求出甲原料占总质量的占比。
【难度系数】
0.85
14.若$\frac{x^2+1}{x-1} ÷ \frac{x^3+x}{□}$的计算结果是整式，则“$□$”中的式子可能是 （
A.$\frac{1}{x^2-1}$
B.$x^2-1$
C.$x^2-x$
D.$x-1$
C
）A.$\frac{1}{x^2-1}$
B.$x^2-1$
C.$x^2-x$
D.$x-1$
答案
14.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。首先我们先对原式中已知的多项式进行因式分解，再将除法转化为乘法约分，最后根据“结果为整式”的要求推导未知式子需要满足的条件，也可以直接代入选项逐一验证。
【解析】
根据分式除法法则，原式可变形为：
$\frac{x^2+1}{x-1} × \frac{□}{x^3+x}$
对$x^3+x$提公因式因式分解得：$x^3+x=x(x^2+1)$，代入上式约分：
$\frac{x^2+1}{x-1} × \frac{□}{x(x^2+1)}=\frac{□}{x(x-1)}$
要使计算结果为整式，则$□$需要同时包含分母的因式$x$和$x-1$，才能将分母全部约去，逐一验证选项：
选项A：$\frac{1}{x^2-1}$，代入得$\frac{1}{x(x-1)(x^2-1)}$，是分式，不符合要求；
选项B：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：$x^2-x=x(x-1)$，代入得$\frac{x(x-1)}{x(x-1)}=1$，是整式，符合要求；
选项D：$x-1$，代入得$\frac{x-1}{x(x-1)}=\frac{1}{x}$，是分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式除法运算，因式分解，整式的定义
【点评】
本题核心考查分式除法的运算规则和整式的判定，解题时可以先化简原式推导未知式子的特征，也可以直接代入选项验证，两种方法都能快速得到答案，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。首先我们先对原式中已知的多项式进行因式分解，再将除法转化为乘法约分，最后根据“结果为整式”的要求推导未知式子需要满足的条件，也可以直接代入选项逐一验证。
【解析】
根据分式除法法则，原式可变形为：
$\frac{x^2+1}{x-1} × \frac{□}{x^3+x}$
对$x^3+x$提公因式因式分解得：$x^3+x=x(x^2+1)$，代入上式约分：
$\frac{x^2+1}{x-1} × \frac{□}{x(x^2+1)}=\frac{□}{x(x-1)}$
要使计算结果为整式，则$□$需要同时包含分母的因式$x$和$x-1$，才能将分母全部约去，逐一验证选项：
选项A：$\frac{1}{x^2-1}$，代入得$\frac{1}{x(x-1)(x^2-1)}$，是分式，不符合要求；
选项B：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：$x^2-x=x(x-1)$，代入得$\frac{x(x-1)}{x(x-1)}=1$，是整式，符合要求；
选项D：$x-1$，代入得$\frac{x-1}{x(x-1)}=\frac{1}{x}$，是分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式除法运算，因式分解，整式的定义
【点评】
本题核心考查分式除法的运算规则和整式的判定，解题时可以先化简原式推导未知式子的特征，也可以直接代入选项验证，两种方法都能快速得到答案，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.7
