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12.如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，且$BD=DE$，连接$AE$。
(1)$AB$与$EC$有什么数量关系？试说明理由。
(2)若$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，求$DC$的长。
(1)$AB$与$EC$有什么数量关系？试说明理由。
(2)若$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，求$DC$的长。
答案
(1)$AB=EC$。理由如下：
因为 $EF$ 垂直平分$AC$,所以 $AE=EC$。
因为 $AD⊥BC,BD=DE$,所以 $AB=AE$,所以 $AB=EC$。
(2)因为$△ABC$ 的周长为 20 cm,$AC=9 cm$,
所以 $AB+BE+EC=11 cm$。
因为 $BD=DE,AB=EC$,
所以 $2DE+2EC=11 cm$,所以 $DC=DE+EC=5.5 cm$。
因为 $EF$ 垂直平分$AC$,所以 $AE=EC$。
因为 $AD⊥BC,BD=DE$,所以 $AB=AE$,所以 $AB=EC$。
(2)因为$△ABC$ 的周长为 20 cm,$AC=9 cm$,
所以 $AB+BE+EC=11 cm$。
因为 $BD=DE,AB=EC$,
所以 $2DE+2EC=11 cm$,所以 $DC=DE+EC=5.5 cm$。
解析
【分析】
(1) 要判断AB和EC的数量关系，可借助线段垂直平分线的性质推导相等线段：首先EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AE=EC；再看AD垂直BC且BD=DE，说明AD是BE的垂直平分线，因此AB=AE，通过等量代换即可得到AB和EC的关系。
(2) 求DC的长时，先根据△ABC的周长和AC的长度算出AB+BC的总长度；再结合第一问的AB=EC、BD=DE的条件，把AB、BC转化为和DE、EC相关的线段，而DC=DE+EC，通过整体代入即可求出DC的长度。
【解析】
(1) $AB=EC$，理由如下：
∵ $EF$垂直平分$AC$，根据线段垂直平分线的性质可得 $AE=EC$。
∵ $AD⊥ BC$，且$BD=DE$，即AD垂直平分线段BE，
∴ $AB=AE$。
通过等量代换可得 $AB=EC$。
(2)
∵ $△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB+BC+AC=20\ \mathrm{cm}$，代入AC的长度得：$AB+BC=20-9=11\ \mathrm{cm}$。
又
∵ $BC=BE+EC$，且$BD=DE$，因此$BE=BD+DE=2DE$，结合(1)的结论$AB=EC$，代入上式得：
$EC+2DE+EC=11\ \mathrm{cm}$，整理得$2(DE+EC)=11\ \mathrm{cm}$。
∵ $DC=DE+EC$，
∴ $DC=\frac{11}{2}=5.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AB=EC$，理由见解析；
(2) $DC$的长为$5.5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
3. 等量代换
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的性质，通过性质得到相等线段后，结合周长条件转化线段关系即可求解，属于基础类几何综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断AB和EC的数量关系，可借助线段垂直平分线的性质推导相等线段：首先EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AE=EC；再看AD垂直BC且BD=DE，说明AD是BE的垂直平分线，因此AB=AE，通过等量代换即可得到AB和EC的关系。
(2) 求DC的长时，先根据△ABC的周长和AC的长度算出AB+BC的总长度；再结合第一问的AB=EC、BD=DE的条件，把AB、BC转化为和DE、EC相关的线段，而DC=DE+EC，通过整体代入即可求出DC的长度。
【解析】
(1) $AB=EC$，理由如下：
∵ $EF$垂直平分$AC$，根据线段垂直平分线的性质可得 $AE=EC$。
∵ $AD⊥ BC$，且$BD=DE$，即AD垂直平分线段BE，
∴ $AB=AE$。
通过等量代换可得 $AB=EC$。
(2)
∵ $△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB+BC+AC=20\ \mathrm{cm}$，代入AC的长度得：$AB+BC=20-9=11\ \mathrm{cm}$。
又
∵ $BC=BE+EC$，且$BD=DE$，因此$BE=BD+DE=2DE$，结合(1)的结论$AB=EC$，代入上式得：
$EC+2DE+EC=11\ \mathrm{cm}$，整理得$2(DE+EC)=11\ \mathrm{cm}$。
∵ $DC=DE+EC$，
∴ $DC=\frac{11}{2}=5.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AB=EC$，理由见解析；
(2) $DC$的长为$5.5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
3. 等量代换
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的性质，通过性质得到相等线段后，结合周长条件转化线段关系即可求解，属于基础类几何综合题。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,$AE=CE=1,DE\bot AC,△ BCD$的周长为6,则$△ ABC$的周长是（
A.6
B.7
C.8
D.10
C
）A.6
B.7
C.8
D.10
答案
13.C
解析
【分析】
首先读题梳理已知条件：DE垂直AC，且AE=CE=1，由此可判断DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=CD。我们可以利用这个等量关系，把△BCD周长中的CD替换成AD，就能得到△BCD的周长等于AB与BC的和，再算出AC的长度，两者相加就是△ABC的周长。
【解析】
1. 由$AE=CE=1$，$DE\bot AC$，可知DE是线段AC的垂直平分线，且$AC=AE+CE=1+1=2$。
2. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$AD=CD$。
3. 已知$△ BCD$的周长为6，即$BC+BD+CD=6$，将$CD$替换为$AD$，可得$BC+BD+AD=BC+AB=6$。
4. $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC$，代入数值计算得：$6+2=8$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知的边长关系转化为已知的周长条件，解题时要注意转化思想的运用，找到线段之间的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先读题梳理已知条件：DE垂直AC，且AE=CE=1，由此可判断DE是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=CD。我们可以利用这个等量关系，把△BCD周长中的CD替换成AD，就能得到△BCD的周长等于AB与BC的和，再算出AC的长度，两者相加就是△ABC的周长。
【解析】
1. 由$AE=CE=1$，$DE\bot AC$，可知DE是线段AC的垂直平分线，且$AC=AE+CE=1+1=2$。
2. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$AD=CD$。
3. 已知$△ BCD$的周长为6，即$BC+BD+CD=6$，将$CD$替换为$AD$，可得$BC+BD+AD=BC+AB=6$。
4. $△ ABC$的周长为$AB+BC+AC$，代入数值计算得：$6+2=8$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知的边长关系转化为已知的周长条件，解题时要注意转化思想的运用，找到线段之间的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心、大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D。若$△ ACD$的面积为6，则$△ ABD$的面积是 （
A.6
B.9
C.12
D.18
C
）A.6
B.9
C.12
D.18
答案
14.C
解析
【分析】
首先识别尺规作图的类型，题目中的作图步骤是作∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC。先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，进而得到两个分角的度数，结合∠B=30°可推出AD=BD；再根据直角三角形30°角的性质得到CD和AD的关系，从而得到BD与CD的数量关系；最后△ACD和△ABD同高，面积比等于底的比，代入已知面积即可求出△ABD的面积。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线，因此$∠ CAD=∠ BAD$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，故$∠ CAD=∠ BAD=30°$。
3. 因为$∠ BAD=∠ B=30°$，根据等角对等边，可得$AD=BD$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AD$，即$AD=2CD$，因此$BD=2CD$。
5. $△ ACD$和$△ ABD$以BC边上的线段为底时，高均为点A到BC的距离（即AC），高相等的两个三角形面积比等于底边长的比，即$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}=2$。
6. 已知$S_{△ ACD}=6$，因此$S_{△ ABD}=2×6=12$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图，直角三角形30°角的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先识别角平分线的作图，再结合角度关系推导边的数量关系，最终利用同高三角形的面积比等于底的比求解，考查了对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的类型，题目中的作图步骤是作∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC。先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，进而得到两个分角的度数，结合∠B=30°可推出AD=BD；再根据直角三角形30°角的性质得到CD和AD的关系，从而得到BD与CD的数量关系；最后△ACD和△ABD同高，面积比等于底的比，代入已知面积即可求出△ABD的面积。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线，因此$∠ CAD=∠ BAD$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，故$∠ CAD=∠ BAD=30°$。
3. 因为$∠ BAD=∠ B=30°$，根据等角对等边，可得$AD=BD$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AD$，即$AD=2CD$，因此$BD=2CD$。
5. $△ ACD$和$△ ABD$以BC边上的线段为底时，高均为点A到BC的距离（即AC），高相等的两个三角形面积比等于底边长的比，即$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}=2$。
6. 已知$S_{△ ACD}=6$，因此$S_{△ ABD}=2×6=12$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图，直角三角形30°角的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先识别角平分线的作图，再结合角度关系推导边的数量关系，最终利用同高三角形的面积比等于底的比求解，考查了对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货。
(1)若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，则货站应建在哪里？
(2)若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，则货站应建在哪里？
(分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明)
(1)若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，则货站应建在哪里？
(2)若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，则货站应建在哪里？
(分别在图上找出点P，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明)
答案
15.解:(1)作线段AB的垂直平分线,交MN于点P,点P即为所求,如图。
(2)作点A关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P',点P'即为所求,如图。
解析
【分析】
(1) 若要货站到A、B两个开发区的距离相等，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的性质，只需作出线段AB的垂直平分线，它与公路MN的交点就是符合要求的货站位置。
(2) 若要货站到A、B两个开发区的距离和最小，属于直线同侧两点的最短路径问题，可利用轴对称的性质将同侧点转化为异侧点，再根据“两点之间，线段最短”，连接对称点与另一个点，连线和MN的交点就是距离和最小的货站位置。
【解析】
(1) ①分别以点A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在线段AB的上下方各交于1个交点；②过两个交点画直线，即为线段AB的垂直平分线，该直线与MN的交点记为P，点P就是到A、B距离相等的货站。
(2) ①过点A作MN的垂线，垂足为点O，在垂线MN下方截取$OA'=OA$，得到点A关于直线MN的对称点$A'$；②连接$A'B$，线段$A'B$与MN的交点记为$P'$，点$P'$就是到A、B距离和最小的货站。
【答案】
(1)作线段AB的垂直平分线,交MN于点P,点P即为所求,如图。
(2)作点A关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P',点P'即为所求,如图。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是几何性质在实际选址问题中的应用，结合了尺规作图的操作要求，需准确对应几何性质确定作图思路，掌握基础的尺规作图规范即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 若要货站到A、B两个开发区的距离相等，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的性质，只需作出线段AB的垂直平分线，它与公路MN的交点就是符合要求的货站位置。
(2) 若要货站到A、B两个开发区的距离和最小，属于直线同侧两点的最短路径问题，可利用轴对称的性质将同侧点转化为异侧点，再根据“两点之间，线段最短”，连接对称点与另一个点，连线和MN的交点就是距离和最小的货站位置。
【解析】
(1) ①分别以点A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在线段AB的上下方各交于1个交点；②过两个交点画直线，即为线段AB的垂直平分线，该直线与MN的交点记为P，点P就是到A、B距离相等的货站。
(2) ①过点A作MN的垂线，垂足为点O，在垂线MN下方截取$OA'=OA$，得到点A关于直线MN的对称点$A'$；②连接$A'B$，线段$A'B$与MN的交点记为$P'$，点$P'$就是到A、B距离和最小的货站。
【答案】
(1)作线段AB的垂直平分线,交MN于点P,点P即为所求,如图。
(2)作点A关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P',点P'即为所求,如图。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是几何性质在实际选址问题中的应用，结合了尺规作图的操作要求，需准确对应几何性质确定作图思路，掌握基础的尺规作图规范即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
