登录
5. 如图，为做好健康宣传，共享健康生活，某地方政府计划在A，B，C三个小区中间修建一个健康活动中心。为了同时照顾三个小区的民众，决定将健康活动中心修建在到A，B，C三个小区距离都相等的地方，则该健康活动中心应建在（
A.AB，AC两边上的高所在直线的交点处
B.AB，BC两边上的中线的交点处
C.AC，BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A，∠B两内角的平分线的交点处
C
）A.AB，AC两边上的高所在直线的交点处
B.AB，BC两边上的中线的交点处
C.AC，BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A，∠B两内角的平分线的交点处
答案
5.C
解析
【分析】
首先明确题目核心要求：找到到A、B、C三个点距离相等的点。我们可以回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。要同时满足到三个点距离相等，就需要找到两条不同线段垂直平分线的交点，这个交点同时在两条垂直平分线上，自然满足到三个顶点距离相等。另外我们还要区分三角形不同特殊交点的性质，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们结合相关性质逐一分析选项：
1. 依据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
要同时满足到A、B、C三点距离相等：
到A、C两点距离相等的点在AC边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点在BC边的垂直平分线上；
两条垂直平分线的交点，同时满足到A、B、C三点距离相等，对应选项C的描述正确。
2. 排除其余错误选项：
选项A：AB、AC边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，错误；
选项B：AB、BC边上中线的交点是三角形的重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合到三个顶点等距的要求，错误；
选项D：∠A、∠B内角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质，三角形外心定义，三角形特殊点性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确区分三角形不同特殊交点的性质，注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的不同结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先明确题目核心要求：找到到A、B、C三个点距离相等的点。我们可以回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。要同时满足到三个点距离相等，就需要找到两条不同线段垂直平分线的交点，这个交点同时在两条垂直平分线上，自然满足到三个顶点距离相等。另外我们还要区分三角形不同特殊交点的性质，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们结合相关性质逐一分析选项：
1. 依据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
要同时满足到A、B、C三点距离相等：
到A、C两点距离相等的点在AC边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点在BC边的垂直平分线上；
两条垂直平分线的交点，同时满足到A、B、C三点距离相等，对应选项C的描述正确。
2. 排除其余错误选项：
选项A：AB、AC边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，错误；
选项B：AB、BC边上中线的交点是三角形的重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合到三个顶点等距的要求，错误；
选项D：∠A、∠B内角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质，三角形外心定义，三角形特殊点性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确区分三角形不同特殊交点的性质，注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的不同结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB$的垂直平分线交$AC$于点$G$,$BC=6$,$△ BCG$的周长是13,则$AB$的长是（
A.6
B.7
C.8
D.9
B
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件中的“AB的垂直平分线交AC于点G”，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AG=BG。再观察△BCG的周长组成：BG+GC+BC，将BG替换为AG后，周长可转化为AG+GC+BC，也就是AC+BC。最后结合AB=AC的条件，代入已知的BC长度和△BCG的周长，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交AC于点G
∴根据线段垂直平分线的性质，得AG=BG
∵△BCG的周长为13，BC=6
∴$BG + GC + BC =13$
将$BG=AG$代入上式，得：
$AG + GC + 6 =13$
又
∵$AG + GC = AC$
∴$AC + 6 =13$，解得$AC=7$
∵$AB=AC$
∴$AB=7$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础类考题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知边和待求边的和，进而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件中的“AB的垂直平分线交AC于点G”，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AG=BG。再观察△BCG的周长组成：BG+GC+BC，将BG替换为AG后，周长可转化为AG+GC+BC，也就是AC+BC。最后结合AB=AC的条件，代入已知的BC长度和△BCG的周长，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交AC于点G
∴根据线段垂直平分线的性质，得AG=BG
∵△BCG的周长为13，BC=6
∴$BG + GC + BC =13$
将$BG=AG$代入上式，得：
$AG + GC + 6 =13$
又
∵$AG + GC = AC$
∴$AC + 6 =13$，解得$AC=7$
∵$AB=AC$
∴$AB=7$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础类考题，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知边和待求边的和，进而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.若等腰三角形的两个内角度数之比是1：4，则其顶角的度数为
20°或120°
。答案
7.20°或120°
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形两个底角度数相等，同时三角形内角和为180°。题目仅给出两个内角的度数比为1:4，未明确说明这两个角分别是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角与底角的度数比为1:4；②底角与顶角的度数比为1:4。分别根据两种情况列方程求解后，还要验证所得角度是否满足三角形内角的要求，排除不符合的情况。
【解析】
已知等腰三角形两个内角度数比为1:4，分两种情况讨论：
1. 当顶角和底角的度数比为1:4时，设顶角度数为$x$，则两个底角的度数均为$4x$。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$x + 4x + 4x = 180°$
合并同类项得$9x = 180°$
解得$x = 20°$，即顶角为20°，符合三角形内角要求。
2. 当底角和顶角的度数比为1:4时，设底角度数为$x$，则顶角度数为$4x$。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$x + x + 4x = 180°$
合并同类项得$6x = 180°$
解得$x = 30°$，则顶角为$4×30°=120°$，符合三角形内角要求。
综上，顶角的度数为20°或120°。
【答案】
$20°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种角度比例的情况导致漏解。遇到未明确对应关系的角度比例问题时，要先列举所有可能的情况，求解后验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现错误。
【难度系数】
0.6
首先回忆等腰三角形的基本性质：等腰三角形两个底角度数相等，同时三角形内角和为180°。题目仅给出两个内角的度数比为1:4，未明确说明这两个角分别是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角与底角的度数比为1:4；②底角与顶角的度数比为1:4。分别根据两种情况列方程求解后，还要验证所得角度是否满足三角形内角的要求，排除不符合的情况。
【解析】
已知等腰三角形两个内角度数比为1:4，分两种情况讨论：
1. 当顶角和底角的度数比为1:4时，设顶角度数为$x$，则两个底角的度数均为$4x$。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$x + 4x + 4x = 180°$
合并同类项得$9x = 180°$
解得$x = 20°$，即顶角为20°，符合三角形内角要求。
2. 当底角和顶角的度数比为1:4时，设底角度数为$x$，则顶角度数为$4x$。
根据三角形内角和为180°，列方程：
$x + x + 4x = 180°$
合并同类项得$6x = 180°$
解得$x = 30°$，则顶角为$4×30°=120°$，符合三角形内角要求。
综上，顶角的度数为20°或120°。
【答案】
$20°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种角度比例的情况导致漏解。遇到未明确对应关系的角度比例问题时，要先列举所有可能的情况，求解后验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现错误。
【难度系数】
0.6
8.如图所示的是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中$AB=AC$，$BC$是横梁，$AD$是竖梁。在焊接竖梁$AD$时，只需要找到$BC$的中点$D$，就可以保证竖梁$AD$与横梁$BC$垂直，这样操作的数学依据是
等腰三角形三线合一
。答案
8.等腰三角形三线合一
解析
【分析】
首先根据已知条件$AB=AC$，可判断$△ ABC$为等腰三角形，题目中$D$是$BC$的中点，说明$AD$是等腰三角形底边上的中线，要说明中线$AD$和底边$BC$垂直，即证明底边上的中线同时是底边上的高，对应等腰三角形特有的“三线合一”性质，即可得出对应的数学依据。
【解析】
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，$BC$为等腰三角形的底边。
因为$D$是$BC$的中点，所以$AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线。
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，因此$AD$同时是底边$BC$上的高，即$AD⊥ BC$，所以该操作的数学依据是等腰三角形三线合一。
【答案】
等腰三角形三线合一
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合生活实际场景考查等腰三角形性质的应用，将数学知识和生活实践结合，能让学生体会数学的实用性，只要熟练掌握等腰三角形的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
首先根据已知条件$AB=AC$，可判断$△ ABC$为等腰三角形，题目中$D$是$BC$的中点，说明$AD$是等腰三角形底边上的中线，要说明中线$AD$和底边$BC$垂直，即证明底边上的中线同时是底边上的高，对应等腰三角形特有的“三线合一”性质，即可得出对应的数学依据。
【解析】
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，$BC$为等腰三角形的底边。
因为$D$是$BC$的中点，所以$AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线。
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线互相重合，因此$AD$同时是底边$BC$上的高，即$AD⊥ BC$，所以该操作的数学依据是等腰三角形三线合一。
【答案】
等腰三角形三线合一
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合生活实际场景考查等腰三角形性质的应用，将数学知识和生活实践结合，能让学生体会数学的实用性，只要熟练掌握等腰三角形的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
9.如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心、BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是
65°
。答案
9.65°
解析
【分析】
首先根据题中的作图方法，判断出BD和BE是同圆的半径，长度相等，因此△BDE是等腰三角形，等腰三角形的两个底角∠BDE和∠BED相等；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠ABC=50°，先算出两个底角的和，再除以2即可得到∠BDE的度数。
【解析】
由作图可知，BD、BE都是以点B为圆心的圆弧的半径，因此BD=BE，所以△BDE是等腰三角形，故∠BDE=∠BED。
在△BDE中，根据三角形内角和定理，∠ABC + ∠BDE + ∠BED = 180°，已知∠ABC=50°，代入得：
$50° + 2∠ BDE = 180°$
解得：$∠ BDE=(180°-50°)÷2=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查等腰三角形性质和三角形内角和的应用，解题关键是从作图过程中提取出两边相等的隐含条件，再结合内角和公式计算即可，属于基础题。
【难度系数】
0.8
首先根据题中的作图方法，判断出BD和BE是同圆的半径，长度相等，因此△BDE是等腰三角形，等腰三角形的两个底角∠BDE和∠BED相等；再结合三角形内角和为180°，已知顶角∠ABC=50°，先算出两个底角的和，再除以2即可得到∠BDE的度数。
【解析】
由作图可知，BD、BE都是以点B为圆心的圆弧的半径，因此BD=BE，所以△BDE是等腰三角形，故∠BDE=∠BED。
在△BDE中，根据三角形内角和定理，∠ABC + ∠BDE + ∠BED = 180°，已知∠ABC=50°，代入得：
$50° + 2∠ BDE = 180°$
解得：$∠ BDE=(180°-50°)÷2=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查等腰三角形性质和三角形内角和的应用，解题关键是从作图过程中提取出两边相等的隐含条件，再结合内角和公式计算即可，属于基础题。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,且$BD=3\ \mathrm{cm}$,则点$D$到$AC$边的距离是
3
$\mathrm{cm}$。答案
10.3
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：已知AD是∠BAC的平分线，要求点D到AC边的距离，优先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确点D在∠BAC的角平分线上，点D到AB边的距离就是BD的长度（因为∠B=90°，BD垂直于AB），所以点D到AC边的距离和BD长度相等，即可求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长度就是点D到AC边的距离。
∵ AD是∠BAC的平分线，∠B=90°（即BD⊥AB），DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE=BD，
又
∵ BD=3cm，
∴ DE=3cm，即点D到AC边的距离是3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，熟练掌握角平分线的性质即可快速得出答案，解题时注意先明确角平分线上的点到两边的距离分别对应哪条线段。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题干条件：已知AD是∠BAC的平分线，要求点D到AC边的距离，优先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确点D在∠BAC的角平分线上，点D到AB边的距离就是BD的长度（因为∠B=90°，BD垂直于AB），所以点D到AC边的距离和BD长度相等，即可求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长度就是点D到AC边的距离。
∵ AD是∠BAC的平分线，∠B=90°（即BD⊥AB），DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE=BD，
又
∵ BD=3cm，
∴ DE=3cm，即点D到AC边的距离是3cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，熟练掌握角平分线的性质即可快速得出答案，解题时注意先明确角平分线上的点到两边的距离分别对应哪条线段。
【难度系数】
0.9
11.如图，以图中的直线m为对称轴，画出图形的另一半。
第11题图
第11题图答案
11.解:如图。
解析
【分析】
要画出已知图形关于直线m的另一半，需依据轴对称的性质思考：成轴对称的两个图形中，对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线被对称轴垂直平分。首先确定原图形的各个顶点（关键点），再逐一找到每个顶点关于直线m的对称点，最后按原图形的连接顺序依次连接对称点，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
1. 找出原图形的所有顶点（拐点），将这些点作为作图的关键点；
2. 对每个关键点，数出它到直线m的水平距离，在直线m的另一侧、相同水平距离的位置标记出该点的对称点，保证对称点与原关键点的连线被直线m垂直平分；
3. 按照原图形中各顶点的连接顺序，顺次连接所有对称点，所得图形即为原图形关于直线m对称的另一半。
【答案】
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 作轴对称图形
【点评】
本题是基础的作图类题目，核心考查对轴对称性质的理解与动手作图能力，解题时需注意找准所有关键点的对称点，连线时要和原图形的点序保持一致，避免出现连接错误。
【难度系数】
0.85
要画出已知图形关于直线m的另一半，需依据轴对称的性质思考：成轴对称的两个图形中，对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线被对称轴垂直平分。首先确定原图形的各个顶点（关键点），再逐一找到每个顶点关于直线m的对称点，最后按原图形的连接顺序依次连接对称点，即可得到完整的轴对称图形。
【解析】
1. 找出原图形的所有顶点（拐点），将这些点作为作图的关键点；
2. 对每个关键点，数出它到直线m的水平距离，在直线m的另一侧、相同水平距离的位置标记出该点的对称点，保证对称点与原关键点的连线被直线m垂直平分；
3. 按照原图形中各顶点的连接顺序，顺次连接所有对称点，所得图形即为原图形关于直线m对称的另一半。
【答案】
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 作轴对称图形
【点评】
本题是基础的作图类题目，核心考查对轴对称性质的理解与动手作图能力，解题时需注意找准所有关键点的对称点，连线时要和原图形的点序保持一致，避免出现连接错误。
【难度系数】
0.85
