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若一个两位数的十位和个位上的数字分别为$x,y$，我们可将这个两位数记为$\overline{xy}$，易知$\overline{xy}=10x+y$，同理，一个三位数也可以用此记法，如$\overline{xyz}=100x+10y+z$。
[基础尝试]
(1)如果要用数字3,6,9组成一个三位数(各数位上的数字不同)，那么组成的数中最大的三位数和最小的三位数分别是多少？
[问题探究]
(2)如果一个三位数各数位上的数字由$a,b,c$三个数字组成，且$a＞b＞c＞0$，那么请说明：所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
[拓展运用]
(3)黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚。数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同(计算中0可放在百位)，把这个三位数的三个数位上的数字按大小重新排列，得到一个最大的数和一个最小的数，用得到的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如：若选的数为729，则$972-279=693$)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”。求出该“卡普雷卡尔黑洞数”。
假期作业13
年月日 星期
[基础尝试]
(1)如果要用数字3,6,9组成一个三位数(各数位上的数字不同)，那么组成的数中最大的三位数和最小的三位数分别是多少？
[问题探究]
(2)如果一个三位数各数位上的数字由$a,b,c$三个数字组成，且$a＞b＞c＞0$，那么请说明：所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
[拓展运用]
(3)黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚。数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同(计算中0可放在百位)，把这个三位数的三个数位上的数字按大小重新排列，得到一个最大的数和一个最小的数，用得到的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如：若选的数为729，则$972-279=693$)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减……这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”。求出该“卡普雷卡尔黑洞数”。
假期作业13
年月日 星期
答案
解:(1)因为9＞6＞3，
所以用数字3,6,9组成一个三位数，最大的三位数是963，最小的三位数是369。
(2)因为a＞b＞c＞0，
所以最大的三位数是100a+10b+c，最小的三位数是100c+10b+a，
所以100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)，
所以所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
(3)任选一个三位数972，由题意，可得
972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495，…，
所以“卡普雷卡尔黑洞数”是495。
所以用数字3,6,9组成一个三位数，最大的三位数是963，最小的三位数是369。
(2)因为a＞b＞c＞0，
所以最大的三位数是100a+10b+c，最小的三位数是100c+10b+a，
所以100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)，
所以所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除。
(3)任选一个三位数972，由题意，可得
972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495，…，
所以“卡普雷卡尔黑洞数”是495。
解析
【分析】
（1）要组成各数位数字不同的最大三位数，需将3个数字从大到小排列，依次放在百位、十位、个位；组成最小三位数则将数字从小到大排列，依次放在百位、十位、个位，结合给出的3、6、9即可求解。
（2）先根据$a＞b＞c＞0$写出最大三位数和最小三位数的位值表达式，再计算两者的差，对差因式分解后判断是否含因数99，即可证明整除性。
（3）按照题目给出的运算规则，任选一个符合要求的三位数，反复进行“重排得到最大数、最小数，再求差”的操作，直到出现重复的固定数值，该数值就是卡普雷卡尔黑洞数。
【解析】
(1) 已知三个数字为3、6、9，大小关系为$9＞6＞3$，组成无重复数字的三位数时：
最大的三位数将最大数字放百位，次大数字放十位，最小数字放个位，即963；
最小的三位数将最小数字放百位，次小数字放十位，最大数字放个位，即369。
(2) 已知$a＞b＞c＞0$，因此组成的最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$。
计算两者的差：
$100a+10b+c-(100c+10b+a)$
$=100a+10b+c-100c-10b-a$
$=99a-99c$
$=99(a-c)$
因为$a-c$为正整数，所以差是99的倍数，即可被99整除。
(3) 任选符合要求的三位数，例如729，按规则运算：
第一次：$972-279=693$；
第二次：将693重排，最大数为963，最小数为369，$963-369=594$；
第三次：将594重排，最大数为954，最小数为459，$954-459=495$；
第四次：将495重排，最大数为954，最小数为459，$954-459=495$，结果重复出现。
因此该黑洞数为495。
【答案】
(1) 最大三位数是963，最小三位数是369；
(2) 所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除，证明如上；
(3) “卡普雷卡尔黑洞数”是495。
【知识点】
位值原理，整式的加减，数字规律探究
【点评】
本题以新定义的数位记法为载体，设置了基础应用、证明、规律探究三个层次的问题，既考查了数的组成、整式运算等基础知识点，又通过有趣的数字黑洞现象激发探究兴趣，能够很好地锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要组成各数位数字不同的最大三位数，需将3个数字从大到小排列，依次放在百位、十位、个位；组成最小三位数则将数字从小到大排列，依次放在百位、十位、个位，结合给出的3、6、9即可求解。
（2）先根据$a＞b＞c＞0$写出最大三位数和最小三位数的位值表达式，再计算两者的差，对差因式分解后判断是否含因数99，即可证明整除性。
（3）按照题目给出的运算规则，任选一个符合要求的三位数，反复进行“重排得到最大数、最小数，再求差”的操作，直到出现重复的固定数值，该数值就是卡普雷卡尔黑洞数。
【解析】
(1) 已知三个数字为3、6、9，大小关系为$9＞6＞3$，组成无重复数字的三位数时：
最大的三位数将最大数字放百位，次大数字放十位，最小数字放个位，即963；
最小的三位数将最小数字放百位，次小数字放十位，最大数字放个位，即369。
(2) 已知$a＞b＞c＞0$，因此组成的最大三位数为$\overline{abc}=100a+10b+c$，最小三位数为$\overline{cba}=100c+10b+a$。
计算两者的差：
$100a+10b+c-(100c+10b+a)$
$=100a+10b+c-100c-10b-a$
$=99a-99c$
$=99(a-c)$
因为$a-c$为正整数，所以差是99的倍数，即可被99整除。
(3) 任选符合要求的三位数，例如729，按规则运算：
第一次：$972-279=693$；
第二次：将693重排，最大数为963，最小数为369，$963-369=594$；
第三次：将594重排，最大数为954，最小数为459，$954-459=495$；
第四次：将495重排，最大数为954，最小数为459，$954-459=495$，结果重复出现。
因此该黑洞数为495。
【答案】
(1) 最大三位数是963，最小三位数是369；
(2) 所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除，证明如上；
(3) “卡普雷卡尔黑洞数”是495。
【知识点】
位值原理，整式的加减，数字规律探究
【点评】
本题以新定义的数位记法为载体，设置了基础应用、证明、规律探究三个层次的问题，既考查了数的组成、整式运算等基础知识点，又通过有趣的数字黑洞现象激发探究兴趣，能够很好地锻炼逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
