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一、选择题
1. 下列各式中，分式的个数有 （）
① $3x+\dfrac{1}{2}$；② $\dfrac{1}{2}$；③ $-\dfrac{m+n}{3}$；④ $\dfrac{3}{x+3}$；⑤ $\dfrac{x+1}{π}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 下列各式中，分式的个数有 （）
① $3x+\dfrac{1}{2}$；② $\dfrac{1}{2}$；③ $-\dfrac{m+n}{3}$；④ $\dfrac{3}{x+3}$；⑤ $\dfrac{x+1}{π}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
根据分式定义，分母中含有字母的式子为分式。分析各式子：①②③⑤的分母为常数，属于整式；④的分母含字母x，属于分式，故分式个数为1个。
2. 如果把分式$\dfrac{2x}{x - y}$中的$x$和$y$都扩大5倍，那么分式的值（）
A.扩大5倍
B.缩小5倍
C.不变
D.不能确定
A.扩大5倍
B.缩小5倍
C.不变
D.不能确定
答案
C
解析
将x、y都扩大5倍，新分式为$\frac{2×5x}{5x - 5y}=\frac{10x}{5(x - y)}=\frac{2x}{x - y}$，与原分式相等，故分式的值不变。
3. 如果分式$\frac{x}{x+1}$有意义，那么$x$的取值范围是 （）
A.$x≠0$
B.$x≠1$
C.$x≠-1$
D.$x≠0$或$x≠-1$
A.$x≠0$
B.$x≠1$
C.$x≠-1$
D.$x≠0$或$x≠-1$
答案
C
解析
分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\frac{x}{x+1}$，分母$x+1≠0$，解得$x≠-1$，对应选项C。
4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{3 - ax}{2 - x} = \dfrac{a}{x - 2} - 1 $ 无解，则 $ a $ 的值为（）
A.2
B.3
C.0或2
D.−1或3
A.2
B.3
C.0或2
D.−1或3
答案
D
解析
先将分式方程变形，利用$2-x=-(x-2)$，原方程化为$\frac{ax - 3}{x - 2} = \frac{a}{x - 2} - 1$，去分母（$x≠2$）得整式方程$ax - 3 = a - (x - 2)$，整理为$x(a + 1) = a + 5$。分式方程无解分两种情况：①整式方程无解：当$a + 1 = 0$即$a=-1$时，方程$0=4$不成立，无解；②整式方程的解为增根（$x=2$）：代入$x=2$得$2(a +1)=a +5$，解得$a=3$。故a的值为-1或3。
5. 用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等. 若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为
（）
A.$\dfrac{300}{15+x}=\dfrac{450}{x}$
B.$\dfrac{300}{15-x}=\dfrac{450}{x}$
C.$\dfrac{450}{15+x}=\dfrac{300}{x}$
D.$\dfrac{450}{15-x}=\dfrac{300}{x}$
（）
A.$\dfrac{300}{15+x}=\dfrac{450}{x}$
B.$\dfrac{300}{15-x}=\dfrac{450}{x}$
C.$\dfrac{450}{15+x}=\dfrac{300}{x}$
D.$\dfrac{450}{15-x}=\dfrac{300}{x}$
答案
C
解析
设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输(x+15)吨。根据“时间=运输总量÷每小时运输量”，A运输450吨的时间为$\dfrac{450}{15+x}$，B运输300吨的时间为$\dfrac{300}{x}$，因两者时间相等，故列方程$\dfrac{450}{15+x}=\dfrac{300}{x}$，对应选项C。
6. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}（v≠f）$表示，其中$f$表示照相机镜头的焦距，$u$表示物体到镜头的距离，$v$表示胶片（像）到镜头的距离. 已知$f$，$v$，则$u=$（）
A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$
A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$
答案
C
解析
已知公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，移项得$\frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}$，通分计算右边得$\frac{1}{u}=\frac{v - f}{fv}$，两边取倒数得$u=\frac{fv}{v - f}$，对应选项C。
7. 当$x=\underline{\hspace{5em}}$时，分式$\dfrac{1}{x-2}$无意义。
答案
2
解析
分式无意义的条件是分母为0，令分式$\dfrac{1}{x-2}$的分母$x-2=0$，解得$x=2$。
8. 利用分式的基本性质填空：$\dfrac{a+2}{a^2 - 4} = \dfrac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}$。
答案
$a - 2$
解析
先对分母因式分解，利用平方差公式得 $a^2 - 4 = (a + 2)(a - 2)$；根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的公因式$(a + 2)$，则$\dfrac{a + 2}{a^2 - 4} = \dfrac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)} = \dfrac{1}{a - 2}$。
9. 化简：$\dfrac{3x}{x-y} - \dfrac{5-3x}{y-x} =$ .
答案
$\dfrac{6x - 5}{x - y}$
解析
先将第二个分式的分母变形，利用$y - x = -(x - y)$，可得$\dfrac{5 - 3x}{y - x} = \dfrac{3x - 5}{x - y}$；再将原式转化为同分母分式的加法，即$\dfrac{3x}{x - y} + \dfrac{3x - 5}{x - y}$；最后同分母分式相加，分母不变，分子相加，计算得$\dfrac{3x + 3x - 5}{x - y} = \dfrac{6x - 5}{x - y}$。
10. 若$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 5$，则$\frac{a + b}{2a - ab + 2b}$的值为$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$\frac{5}{9}$
解析
先对已知等式通分，得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=5$，即$a+b=5ab$；再将所求分式的分母整理为$2(a+b)-ab$，把$a+b=5ab$代入，得分母为$2×5ab -ab=9ab$；分子为$a+b=5ab$，则原式$=\frac{5ab}{9ab}=\frac{5}{9}$（因原式中$a、b$为分母，故$ab≠0$，可约去）。
11. 若分式方程$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{m}{x+1}$无解，则$m=$______.
答案
$-1$
解析
先对分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x + 1$，得整式方程$x = m$。分式方程无解的原因是去分母后得到的整式方程的解使原分式方程的分母为0，即$x + 1 = 0$，解得$x = -1$，将$x = -1$代入$x = m$，得$m = -1$。
12.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支撑屋顶材料的木杆）设这批椽有$ x $株，则方程是________.
答案
$ 3(x-1)=\frac{6210}{x} $
解析
设这批椽有$ x $株，少拿一株椽后，剩余椽的数量为$ (x-1) $株，剩余椽的运费为$ 3(x-1) $文；已知总钱数6210文可买$ x $株椽，则一株椽的价钱为$ \frac{6210}{x} $文。根据“剩下的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程。
13. 先化简，再求值：$(x+1-\dfrac{2x+5}{x+1})÷\dfrac{x^2+4(x+1)}{x+1}$，其中$x≠ -1$。
答案
$\dfrac{x-2}{x+2}$
解析
先化简括号内的分式，通分计算：
$\begin{aligned}&\mathrm{原式括号内} = \frac{(x+1)^2 - (2x+5)}{x+1} = \frac{x^2 + 2x +1 -2x -5}{x+1} = \frac{x^2 -4}{x+1},\\&\mathrm{除式化简：}\frac{x^2 +4(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 +4x +4}{x+1} = \frac{(x+2)^2}{x+1},\\&\mathrm{将除法转化为乘法并约分：}\\&\mathrm{原式} = \frac{x^2 -4}{x+1} ÷ \frac{(x+2)^2}{x+1} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+1} × \frac{x+1}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2} \quad (x≠ -1且x≠ -2)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\mathrm{原式括号内} = \frac{(x+1)^2 - (2x+5)}{x+1} = \frac{x^2 + 2x +1 -2x -5}{x+1} = \frac{x^2 -4}{x+1},\\&\mathrm{除式化简：}\frac{x^2 +4(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 +4x +4}{x+1} = \frac{(x+2)^2}{x+1},\\&\mathrm{将除法转化为乘法并约分：}\\&\mathrm{原式} = \frac{x^2 -4}{x+1} ÷ \frac{(x+2)^2}{x+1} = \frac{(x+2)(x-2)}{x+1} × \frac{x+1}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2} \quad (x≠ -1且x≠ -2)\end{aligned}$
