20.(9分)我们知道,一次函数的图象是一条直线,又因为"两
点确定一条直线",所以我们把画一次函数图象的方法简化
成“定两点,画图象”.下面就是用这种简易方法画一次函数
$y=\frac{1}{2}x-2$图象的过程.请回答下列问题:
(1)列表:把表补充完整;

(2)描点并连线(如图);

(3)请写出一个点的坐标,要求这个点在一次函数$y=\frac{1}{2}x-$
2 的图象上且不在坐标轴上,则这个点的坐标可以
是.

解：
(1) 当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×0 -2=-2$；
当$y=0$时，$0=\frac{1}{2}x-2$，解得$x=4$。
补充后的表格：
| $x$ | $···$ | $0$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{1}{2}x-2$ | $···$ | $-2$ | $0$ | $···$ |
(2) 描出点$(0,-2)$和$(4,0)$，连接两点得到直线（画图略）。
(3) $(2,-1)$（答案不唯一）

21.(10分)如图,$AE// BF$,AC平分$∠BAE$,且交 BF 于点 C.
(1)作$∠ABF$的平分线,交 AE 于点 D(尺规作图,保留作
图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)中作的图,连接 CD,求证:四边形 ABCD 是菱形.

(1) 作图如下（保留作图痕迹）：
① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BF于M、N两点；
② 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$∠ ABF$内部交于点P；
③ 作射线BP，交AE于点D，BD即为所求。
(2) 证明：
$\because AE// BF$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ DBC$，$∠ EAC = ∠ BCA$。
$\because BD$平分$∠ ABF$，$AC$平分$∠ BAE$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ DBC$，$∠ BAC = ∠ EAC$。
$\therefore ∠ ADB = ∠ ABD$，$∠ BAC = ∠ BCA$，
$\therefore AB = AD$，$AB = BC$，
$\therefore AD = BC$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore$ 四边形ABCD是平行四边形。
又$\because AB = AD$，
$\therefore$ 平行四边形ABCD是菱形。

22.(12分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节
日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足
人们的需求,计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销
售.经了解,每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多
2元,用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙
种粽子的个数相同.
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有),其中
甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍,甲、乙两
种粽子的售价分别为12元/个、15元/个.设购进甲种
粽子 m 个,两种粽子全部售完时获得的利润为 w 元.
①求 w 与 m 的函数关系式,并求出 m 的取值范围;
②超市应如何进货才能获得最大利润? 最大利润是
多少元?

解：(1)设甲种粽子每个的进价为$x$元，则乙种粽子每个的进价为$(x+2)$元。
根据题意得：$\frac{1000}{x}=\frac{1200}{x+2}$
解得：$x=10$
经检验，$x=10$是原方程的解，且符合题意。
则$x+2=10+2=12$
答：甲种粽子每个的进价为10元，乙种粽子每个的进价为12元。
(2)①购进甲种粽子$m$个，则购进乙种粽子$(200-m)$个。
$w=(12-10)m + (15-12)(200-m)$
$=2m + 3(200-m)$
$=-m + 600$
根据题意得：$\begin{cases}m≥2(200-m) \\ m＞0 \\ 200-m＞0\end{cases}$
解不等式$m≥2(200-m)$得：$m≥\frac{400}{3}\approx133.33$
又因为$m$为正整数，且$200-m＞0$即$m＜200$
所以$m$的取值范围是$134≤ m≤199$，且$m$为整数。
故$w$与$m$的函数关系式为$w=-m+600$（$134≤ m≤199$，$m$为整数）
②因为$w=-m+600$中，$k=-1＜0$，所以$w$随$m$的增大而减小。
所以当$m=134$时，$w$取得最大值，
最大值为$w=-134+600=466$
此时$200-m=200-134=66$
答：超市购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时获得最大利润，最大利润是466元。