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23.(14分)已知在正方形 ABCD 中,E,F 分别在边 CD,BC
上,连接 AE,DF.
(1)设 E 为 CD 的中点,$AE⊥DF$于点 O.
①如图1,求证:$BF=CF;$
②如图2,连接 OC,求$\frac{AO}{CO}$的值;
(2)如图3,若$AB=\sqrt{15},DE=BF$,则$AE+DF$的最小值
为(直接写出结果).
上,连接 AE,DF.
(1)设 E 为 CD 的中点,$AE⊥DF$于点 O.
①如图1,求证:$BF=CF;$
②如图2,连接 OC,求$\frac{AO}{CO}$的值;
(2)如图3,若$AB=\sqrt{15},DE=BF$,则$AE+DF$的最小值
为(直接写出结果).
答案
(1)①证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADE=∠DCF=90°．
∵AE⊥DF，
∴∠AOD=90°，
∴∠DAE+∠ADO=90°，∠CDF+∠ADO=90°，
∴∠DAE=∠CDF．
在△ADE和△DCF中，
$\begin{cases}∠DAE=∠CDF\\AD=DC\\∠ADE=∠DCF\end{cases}$
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF．
∵E为CD中点，∴DE=$\frac{1}{2}$CD，
又CD=BC，∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BF=BC-CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BF=CF．
(1)②解：
设正方形ABCD的边长为2，以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，
则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，E(1,0)．
直线AE的解析式：设为$y=kx+b$，
将A(0,2)，E(1,0)代入得：$\begin{cases}b=2\\k+2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$，
∴直线AE的解析式为$y=-2x+2$．
∵AE⊥DF，∴直线DF的斜率为$\frac{1}{2}$，解析式为$y=\frac{1}{2}x$．
联立$\begin{cases}y=-2x+2\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{4}{5}\\y=\frac{2}{5}\end{cases}$，即$O(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$．
由勾股定理：
$AO=\sqrt{(0-\frac{4}{5})^2+(2-\frac{2}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{64}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$CO=\sqrt{(2-\frac{4}{5})^2+(0-\frac{2}{5})^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{4}{25}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2$．
(2)解：
设$DE=BF=x$，∵$AB=\sqrt{15}$，正方形ABCD中$AD=DC=\sqrt{15}$，
则$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{(\sqrt{15})^2+x^2}=\sqrt{x^2+15}$，
$CF=BC-BF=\sqrt{15}-x$，
$DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{15})^2+(\sqrt{15}-x)^2}=\sqrt{(\sqrt{15}-x)^2+15}$．
作点$(0,\sqrt{15})$关于x轴的对称点$(0,-\sqrt{15})$，
则两点$(\sqrt{15},\sqrt{15})$与$(0,-\sqrt{15})$的距离为：
$\sqrt{(\sqrt{15}-0)^2+(\sqrt{15}-(-\sqrt{15}))^2}=\sqrt{15+(2\sqrt{15})^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，
即$AE+DF$的最小值为$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADE=∠DCF=90°．
∵AE⊥DF，
∴∠AOD=90°，
∴∠DAE+∠ADO=90°，∠CDF+∠ADO=90°，
∴∠DAE=∠CDF．
在△ADE和△DCF中，
$\begin{cases}∠DAE=∠CDF\\AD=DC\\∠ADE=∠DCF\end{cases}$
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF．
∵E为CD中点，∴DE=$\frac{1}{2}$CD，
又CD=BC，∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BF=BC-CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BF=CF．
(1)②解：
设正方形ABCD的边长为2，以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，
则D(0,0)，C(2,0)，A(0,2)，E(1,0)．
直线AE的解析式：设为$y=kx+b$，
将A(0,2)，E(1,0)代入得：$\begin{cases}b=2\\k+2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$，
∴直线AE的解析式为$y=-2x+2$．
∵AE⊥DF，∴直线DF的斜率为$\frac{1}{2}$，解析式为$y=\frac{1}{2}x$．
联立$\begin{cases}y=-2x+2\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{4}{5}\\y=\frac{2}{5}\end{cases}$，即$O(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$．
由勾股定理：
$AO=\sqrt{(0-\frac{4}{5})^2+(2-\frac{2}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{64}{25}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$CO=\sqrt{(2-\frac{4}{5})^2+(0-\frac{2}{5})^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{4}{25}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2$．
(2)解：
设$DE=BF=x$，∵$AB=\sqrt{15}$，正方形ABCD中$AD=DC=\sqrt{15}$，
则$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{(\sqrt{15})^2+x^2}=\sqrt{x^2+15}$，
$CF=BC-BF=\sqrt{15}-x$，
$DF=\sqrt{DC^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{15})^2+(\sqrt{15}-x)^2}=\sqrt{(\sqrt{15}-x)^2+15}$．
作点$(0,\sqrt{15})$关于x轴的对称点$(0,-\sqrt{15})$，
则两点$(\sqrt{15},\sqrt{15})$与$(0,-\sqrt{15})$的距离为：
$\sqrt{(\sqrt{15}-0)^2+(\sqrt{15}-(-\sqrt{15}))^2}=\sqrt{15+(2\sqrt{15})^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，
即$AE+DF$的最小值为$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$．
