3. 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动.
【探索发现】
（1）如图4，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥BE于点F，将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连接DG.
证明：△ABF≌△ADG，并写出证明过程.
【深入思考】
（2）在（1）的条件下，如图5，若分别延长BE，GD交于点H，试猜想线段BF，FH，DH之间的数量关系，并证明你的猜想.
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图6，连接CH，将线段DH绕点H逆时针旋转90°得到线段HP，点P在BH上，试猜想BP，CH的数量关系，并证明你的猜想.

3.（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BAD=90°$，$AB=AD$.
∵线段AF绕点A逆时针旋转$90°$得到线段AG，
∴$∠ GAF=90°$，$AG=AF$，
∴$∠ GAF=∠ BAD$，
∴$∠ GAD=∠ FAB$，
∴$△ ABF≌△ ADG$（SAS）
（2）$BF+DH=FH$. 理由如下：由（1）得$△ ABF≌△ ADG$，
∴$∠ G=∠ AFB=90°$，$BF=DG$.
∵$∠ GAF=∠ AFH=90°$，
∴四边形AFHG是矩形.
∵$AG=AF$，
∴矩形AFHG是正方形，
∴$FH=GH=DG+DH=BF+DH$
（3）$BP=\sqrt{2}CH$. 理由如下：如，在BH上截取$BX=DH$，
∵$∠ GHF=∠ BCD=90°$，$∠ DEH=∠ BEC$，
∴$∠ CDH=∠ CBX$. 又
∵$CD=CB$，
∴$△ CDH≌△ CBX$（SAS）.
∴$CX=CH$，$∠ BCX=∠ DCH$，
∴$∠ BCX+∠ DCX=∠ DCH+∠ DCX$，
∴$∠ HCX=∠ BCD=90°$，
∴$HX=\sqrt{2}CH$. 已知$DH=PH=BX$，
∵$BP=BX+XP$，$HX=HP+PX$，
∴$BP=HX$，
∴$BP=\sqrt{2}CH$

【分析】
（1）要证△ABF≌△ADG，首先结合正方形性质得到AB=AD、∠BAD=90°，再根据旋转的性质得到AG=AF、∠GAF=90°，通过角的和差推导得到夹角∠GAD=∠FAB，即可用SAS判定两个三角形全等。
（2）探究线段数量关系时，先利用（1）的全等结论得到BF=DG、∠G=90°，结合已知的直角条件先判定四边形AFHG是矩形，再由邻边AG=AF证明其为正方形，得到FH=GH，最后通过线段和差关系即可推导三者的数量关系。
（3）探究BP与CH的关系时，采用截长补短法，在BH上截取BX=DH，先证△CDH≌△CBX，得到CX=CH且∠HCX=90°，推出△HCX是等腰直角三角形，得到HX=√2 CH，再结合旋转的性质得DH=PH=BX，通过线段和差代换得到BP=HX，即可推出最终关系。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD。
∵线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，
∴∠GAF=90°，AG=AF，
∴∠GAF=∠BAD，
∴∠GAF - ∠DAF = ∠BAD - ∠DAF，即∠GAD=∠FAB，
在△ABF和△ADG中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠FAB=∠GAD \\AF=AG\end{array} $
∴△ABF≌△ADG（SAS）。
（2）猜想：$BF+DH=FH$，证明如下：
由（1）得△ABF≌△ADG，
∴∠G=∠AFB=90°，BF=DG。
∵∠GAF=∠AFH=90°，
∴∠G=∠AFH=∠GAF=90°，四边形AFHG是矩形，
又
∵AG=AF，
∴矩形AFHG是正方形，
∴FH=GH，
∵GH=DG+DH，DG=BF，
∴$FH=BF+DH$。
（3）猜想：$BP=\sqrt{2}CH$，证明如下：
如，在BH上截取$BX=DH$，
∵∠GHF=∠BCD=90°，∠DEH=∠BEC，
∴180°-∠GHF-∠DEH=180°-∠BCD-∠BEC，即∠CDH=∠CBX，
在△CDH和△CBX中：
$\{\begin{array}{l}CD=CB \\∠CDH=∠CBX \\DH=BX\end{array} $
∴△CDH≌△CBX（SAS），
∴CX=CH，∠BCX=∠DCH，
∴∠BCX+∠DCX=∠DCH+∠DCX，即∠HCX=∠BCD=90°，
∴△HCX是等腰直角三角形，$HX=\sqrt{2}CH$。
∵线段DH绕点H逆时针旋转90°得到线段HP，
∴DH=PH，
又
∵BX=DH，
∴BX=PH，
∵BP=BX+XP，HX=HP+XP，
∴BP=HX，
∴$BP=\sqrt{2}CH$。
【答案】
3.（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ BAD=90°$，$AB=AD$.
∵线段AF绕点A逆时针旋转$90°$得到线段AG，
∴$∠ GAF=90°$，$AG=AF$，
∴$∠ GAF=∠ BAD$，
∴$∠ GAD=∠ FAB$，
∴$△ ABF≌△ ADG$（SAS）
（2）$BF+DH=FH$. 理由如下：由（1）得$△ ABF≌△ ADG$，
∴$∠ G=∠ AFB=90°$，$BF=DG$.
∵$∠ GAF=∠ AFH=90°$，
∴四边形AFHG是矩形.
∵$AG=AF$，
∴矩形AFHG是正方形，
∴$FH=GH=DG+DH=BF+DH$
（3）$BP=\sqrt{2}CH$. 理由如下：如，在BH上截取$BX=DH$，
∵$∠ GHF=∠ BCD=90°$，$∠ DEH=∠ BEC$，
∴$∠ CDH=∠ CBX$. 又
∵$CD=CB$，
∴$△ CDH≌△ CBX$（SAS）.
∴$CX=CH$，$∠ BCX=∠ DCH$，
∴$∠ BCX+∠ DCX=∠ DCH+∠ DCX$，
∴$∠ HCX=∠ BCD=90°$，
∴$HX=\sqrt{2}CH$. 已知$DH=PH=BX$，
∵$BP=BX+XP$，$HX=HP+PX$，
∴$BP=HX$，
∴$BP=\sqrt{2}CH$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【点评】
本题以正方形与旋转为背景设置递进式探究问题，既考查基础的几何性质应用，又需要灵活运用转化思想推导线段关系，能够有效锻炼逻辑推理能力和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6