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10. 对于实数$x$，我们规定$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如$[1.1]=1$，$[3]=3$，$[-2.2]=-3$。若$[\dfrac{x+4}{3}]=5$，则$x$的取值范围是
$11≤ x＜14$
。答案
$11≤ x＜14$
解析
【分析】
首先明确题中给出的新定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，也就是向下取整。若$[a]=5$，根据定义可知，$a$的取值必须满足大于等于5，同时小于6（若$a≥6$，则$[a]≥6$；若$a＜5$，则$[a]＜5$，都不符合要求）。本题中$a=\frac{x+4}{3}$，因此我们可以列出关于$x$的不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据$[x]$的定义，由$[\frac{x+4}{3}]=5$可得不等式：
$5≤ \frac{x+4}{3} ＜ 6$
不等式三边同时乘3，不等号方向不变，得：
$15≤ x+4 ＜ 18$
不等式三边同时减4，得：
$11≤ x ＜ 14$
【答案】
$11≤ x＜14$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式的解法
【点评】
本题解题的核心是准确理解新定义的取整规则，根据规则正确列出不等式，同时要注意边界值的取舍，避免因错写等号导致结果错误，考查了学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确题中给出的新定义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，也就是向下取整。若$[a]=5$，根据定义可知，$a$的取值必须满足大于等于5，同时小于6（若$a≥6$，则$[a]≥6$；若$a＜5$，则$[a]＜5$，都不符合要求）。本题中$a=\frac{x+4}{3}$，因此我们可以列出关于$x$的不等式，解不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据$[x]$的定义，由$[\frac{x+4}{3}]=5$可得不等式：
$5≤ \frac{x+4}{3} ＜ 6$
不等式三边同时乘3，不等号方向不变，得：
$15≤ x+4 ＜ 18$
不等式三边同时减4，得：
$11≤ x ＜ 14$
【答案】
$11≤ x＜14$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式的解法
【点评】
本题解题的核心是准确理解新定义的取整规则，根据规则正确列出不等式，同时要注意边界值的取舍，避免因错写等号导致结果错误，考查了学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
11.对于实数$a,b$,定义运算“※”:$a※b=a+3b$,例如$5※2=5+3×2=11$。若关于$x$的不等式$x※m＜2$有且只有一个正整数解,则$m$的取值范围是
$0≤ m＜\dfrac{1}{3}$
。答案
$0≤ m＜\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
首先理解新定义运算“※”的规则，将x※m按照定义转化为整式，把原不等式转化为常规的一元一次不等式，解出x的解集；再结合“有且只有一个正整数解”的条件，判断出唯一的正整数解为1，据此列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围，注意边界值的取舍。
【解析】
根据新定义运算$a※b=a+3b$，可得：
$x※m = x + 3m$
原不等式$x※m＜2$转化为：
$x + 3m ＜ 2$
移项解得：$x ＜ 2 - 3m$
∵不等式有且只有一个正整数解，可知这个正整数解为1
∴可列不等式组：
$\begin{cases}2 - 3m ＞ 1 \\ 2 - 3m ≤ 2\end{cases}$
解第一个不等式：
$2 - 3m ＞ 1$
$-3m ＞ -1$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m ＜ \dfrac{1}{3}$
解第二个不等式：
$2 - 3m ≤ 2$
$-3m ≤ 0$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m ≥ 0$
综上，m的取值范围是$0≤ m ＜\dfrac{1}{3}$
【答案】
$0≤ m＜\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解
【点评】
本题将新定义运算和一元一次不等式的整数解问题结合，解题核心是先把新定义运算转化为常规代数形式，再根据整数解的个数确定解集的边界范围，易错点是边界值的判断，需要代入验证等号是否成立。
【难度系数】
0.65
首先理解新定义运算“※”的规则，将x※m按照定义转化为整式，把原不等式转化为常规的一元一次不等式，解出x的解集；再结合“有且只有一个正整数解”的条件，判断出唯一的正整数解为1，据此列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围，注意边界值的取舍。
【解析】
根据新定义运算$a※b=a+3b$，可得：
$x※m = x + 3m$
原不等式$x※m＜2$转化为：
$x + 3m ＜ 2$
移项解得：$x ＜ 2 - 3m$
∵不等式有且只有一个正整数解，可知这个正整数解为1
∴可列不等式组：
$\begin{cases}2 - 3m ＞ 1 \\ 2 - 3m ≤ 2\end{cases}$
解第一个不等式：
$2 - 3m ＞ 1$
$-3m ＞ -1$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m ＜ \dfrac{1}{3}$
解第二个不等式：
$2 - 3m ≤ 2$
$-3m ≤ 0$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m ≥ 0$
综上，m的取值范围是$0≤ m ＜\dfrac{1}{3}$
【答案】
$0≤ m＜\dfrac{1}{3}$
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解
【点评】
本题将新定义运算和一元一次不等式的整数解问题结合，解题核心是先把新定义运算转化为常规代数形式，再根据整数解的个数确定解集的边界范围，易错点是边界值的判断，需要代入验证等号是否成立。
【难度系数】
0.65
12. 读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气。学校为提高学生的阅读品味，继续推动“书香校园”建设，现决定购买《西游记》和《红楼梦》两种书共50本。现已知以下信息：
①购买2本《西游记》和1本《红楼梦》需100元；
②购买6本《西游记》与购买7本《红楼梦》的价格相同；
③《西游记》的单价比《红楼梦》贵5元。
(1)从以上三个条件中选择两个作为已知条件，分别求这两种书的单价是多少元。
(2)在(1)的条件下，若购买《西游记》的数量不少于所购买《红楼梦》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元，则共有哪几种购买方案？
①购买2本《西游记》和1本《红楼梦》需100元；
②购买6本《西游记》与购买7本《红楼梦》的价格相同；
③《西游记》的单价比《红楼梦》贵5元。
(1)从以上三个条件中选择两个作为已知条件，分别求这两种书的单价是多少元。
(2)在(1)的条件下，若购买《西游记》的数量不少于所购买《红楼梦》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元，则共有哪几种购买方案？
答案
解:(1)设《西游记》的单价是 $x$ 元,《红楼梦》的单价是 $y$ 元。
选择①②作为已知条件，
则 $\begin{cases}2x+y=100,\\6x=7y,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=35,\\y=30。\end{cases}$
选择①③作为已知条件，
则 $\begin{cases}2x+y=100,\\x-y=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=35,\\y=30。\end{cases}$
选择②③作为已知条件，
则 $\begin{cases}6x=7y,\\x-y=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=35,\\y=30。\end{cases}$
答:《西游记》的单价是 35 元,《红楼梦》的单价是 30 元。
(2)设购买 $m$ 本《西游记》,则购买 $(50-m)$ 本《红楼梦》,
根据题意,得
$\begin{cases}m≥\dfrac{1}{2}(50-m),\\35m+30(50-m)≤1\ 600,\end{cases}$
解得 $\dfrac{50}{3}≤ m≤20$。
又$\because m$ 为正整数,$\therefore m$ 可以为 17,18,19,20。
$\therefore$ 共有 4 种购买方案，
方案 1:购买 17 本《西游记》,33 本《红楼梦》;
方案 2:购买 18 本《西游记》,32 本《红楼梦》;
方案 3:购买 19 本《西游记》,31 本《红楼梦》;
方案 4:购买 20 本《西游记》,30 本《红楼梦》。
选择①②作为已知条件，
则 $\begin{cases}2x+y=100,\\6x=7y,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=35,\\y=30。\end{cases}$
选择①③作为已知条件，
则 $\begin{cases}2x+y=100,\\x-y=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=35,\\y=30。\end{cases}$
选择②③作为已知条件，
则 $\begin{cases}6x=7y,\\x-y=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=35,\\y=30。\end{cases}$
答:《西游记》的单价是 35 元,《红楼梦》的单价是 30 元。
(2)设购买 $m$ 本《西游记》,则购买 $(50-m)$ 本《红楼梦》,
根据题意,得
$\begin{cases}m≥\dfrac{1}{2}(50-m),\\35m+30(50-m)≤1\ 600,\end{cases}$
解得 $\dfrac{50}{3}≤ m≤20$。
又$\because m$ 为正整数,$\therefore m$ 可以为 17,18,19,20。
$\therefore$ 共有 4 种购买方案，
方案 1:购买 17 本《西游记》,33 本《红楼梦》;
方案 2:购买 18 本《西游记》,32 本《红楼梦》;
方案 3:购买 19 本《西游记》,31 本《红楼梦》;
方案 4:购买 20 本《西游记》,30 本《红楼梦》。
解析
【分析】
(1) 第一问可任选两个条件求解单价，先设《西游记》单价为$x$元，《红楼梦》单价为$y$元，根据所选条件提取两个等量关系，列二元一次方程组即可求解，三种选法的最终结果一致。
(2) 第二问为方案设计类问题，设购买《西游记》$m$本，则《红楼梦》为$(50-m)$本，根据“《西游记》数量不少于《红楼梦》数量的一半”“购买总费用不超过1600元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出$m$的取值范围，再结合$m$为正整数确定符合要求的$m$值，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1) 设《西游记》的单价是$x$元，《红楼梦》的单价是$y$元。
选择①②作为已知条件，可列方程组：
$\begin{cases}2x+y=100\\6x=7y\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$
选择①③作为已知条件，可列方程组：
$\begin{cases}2x+y=100\\x-y=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$
选择②③作为已知条件，可列方程组：
$\begin{cases}6x=7y\\x-y=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$
(2) 设购买$m$本《西游记》，则购买$(50-m)$本《红楼梦》，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m≥\dfrac{1}{2}(50-m)\\35m+30(50-m)≤1600\end{cases}$
解第一个不等式得：$3m≥50$，即$m≥\dfrac{50}{3}$
解第二个不等式得：$5m≤100$，即$m≤20$
因此不等式组的解集为$\dfrac{50}{3}≤ m≤20$
$\because m$为正整数，$\therefore m$可取17、18、19、20，对应4种购买方案。
【答案】
(1) 《西游记》的单价是35元，《红楼梦》的单价是30元；
(2) 共有4种购买方案：
方案1：购买17本《西游记》，33本《红楼梦》；
方案2：购买18本《西游记》，32本《红楼梦》；
方案3：购买19本《西游记》，31本《红楼梦》；
方案4：购买20本《西游记》，30本《红楼梦》。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、方案设计
【点评】
本题结合实际生活情境出题，重点考查学生提取等量关系、不等关系建立数学模型的能力，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，是对代数知识应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可任选两个条件求解单价，先设《西游记》单价为$x$元，《红楼梦》单价为$y$元，根据所选条件提取两个等量关系，列二元一次方程组即可求解，三种选法的最终结果一致。
(2) 第二问为方案设计类问题，设购买《西游记》$m$本，则《红楼梦》为$(50-m)$本，根据“《西游记》数量不少于《红楼梦》数量的一半”“购买总费用不超过1600元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出$m$的取值范围，再结合$m$为正整数确定符合要求的$m$值，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1) 设《西游记》的单价是$x$元，《红楼梦》的单价是$y$元。
选择①②作为已知条件，可列方程组：
$\begin{cases}2x+y=100\\6x=7y\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$
选择①③作为已知条件，可列方程组：
$\begin{cases}2x+y=100\\x-y=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$
选择②③作为已知条件，可列方程组：
$\begin{cases}6x=7y\\x-y=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$
(2) 设购买$m$本《西游记》，则购买$(50-m)$本《红楼梦》，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}m≥\dfrac{1}{2}(50-m)\\35m+30(50-m)≤1600\end{cases}$
解第一个不等式得：$3m≥50$，即$m≥\dfrac{50}{3}$
解第二个不等式得：$5m≤100$，即$m≤20$
因此不等式组的解集为$\dfrac{50}{3}≤ m≤20$
$\because m$为正整数，$\therefore m$可取17、18、19、20，对应4种购买方案。
【答案】
(1) 《西游记》的单价是35元，《红楼梦》的单价是30元；
(2) 共有4种购买方案：
方案1：购买17本《西游记》，33本《红楼梦》；
方案2：购买18本《西游记》，32本《红楼梦》；
方案3：购买19本《西游记》，31本《红楼梦》；
方案4：购买20本《西游记》，30本《红楼梦》。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、方案设计
【点评】
本题结合实际生活情境出题，重点考查学生提取等量关系、不等关系建立数学模型的能力，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，是对代数知识应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
