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7. 不等式组$\begin{cases}3x + 6 ≥ 0, \\2 - \dfrac{4}{3}x ＞ 0\end{cases}$的所有整数解的和是 ______ 。
答案
-2
解析
【分析】
要解决这个问题，需先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，接着从解集中找出所有整数解，最后将这些整数解相加即可得到结果。解题时要注意：不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变，找整数解时不要漏解、多解。
【解析】
1. 解第一个不等式$3x + 6 ≥ 0$：
移项得$3x ≥ -6$，
两边同时除以3，得$x ≥ -2$。
2. 解第二个不等式$2 - \dfrac{4}{3}x ＞ 0$：
移项得$-\dfrac{4}{3}x ＞ -2$，
两边同时乘$-\dfrac{3}{4}$（不等号方向改变），得$x ＜ \dfrac{3}{2}$（即$x＜1.5$）。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$\boldsymbol{-2 ≤ x ＜ 1.5}$。
4. 找整数解并求和：
该范围内的整数解为$-2、-1、0、1$，
求和得：$-2 + (-1) + 0 + 1 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解能力，解题的易错点是解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及找整数解时漏算端点处的整数，平时练习要养成规范解题、细心检查的习惯。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，接着从解集中找出所有整数解，最后将这些整数解相加即可得到结果。解题时要注意：不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变，找整数解时不要漏解、多解。
【解析】
1. 解第一个不等式$3x + 6 ≥ 0$：
移项得$3x ≥ -6$，
两边同时除以3，得$x ≥ -2$。
2. 解第二个不等式$2 - \dfrac{4}{3}x ＞ 0$：
移项得$-\dfrac{4}{3}x ＞ -2$，
两边同时乘$-\dfrac{3}{4}$（不等号方向改变），得$x ＜ \dfrac{3}{2}$（即$x＜1.5$）。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$\boldsymbol{-2 ≤ x ＜ 1.5}$。
4. 找整数解并求和：
该范围内的整数解为$-2、-1、0、1$，
求和得：$-2 + (-1) + 0 + 1 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解能力，解题的易错点是解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向，以及找整数解时漏算端点处的整数，平时练习要养成规范解题、细心检查的习惯。
【难度系数】
0.8
8. 解不等式组：
(1) $\begin{cases}x - 3(x - 2) ≥ 4, \\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x - 2(x - 1) ≥ 1, \\\dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2}。\end{cases}$
(1) $\begin{cases}x - 3(x - 2) ≥ 4, \\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x - 2(x - 1) ≥ 1, \\\dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2}。\end{cases}$
答案
(1)$x≤1$。(2)$-7＜x≤1$。
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是分两步走：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步结合“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集判定口诀，或者借助数轴找两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集。解单个不等式时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
(1) 求解第一个不等式组
将不等式组标记为：
$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≥ 4 \quad ①\\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$x-3x+6≥4$
移项、合并同类项得：$-2x≥-2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤1$
解不等式②：
两边同乘3去分母得：$1+2x＞3(x-1)$
去括号得：$1+2x＞3x-3$
移项、合并同类项得：$-x＞-4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＜4$
取两个解集的公共部分，根据“同小取小”原则，得不等式组解集为$x≤1$。
---
(2) 求解第二个不等式组
将不等式组标记为：
$\begin{cases}x - 2(x - 1) ≥ 1 \quad ①\\\dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2} \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$x-2x+2≥1$
移项、合并同类项得：$-x≥-1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤1$
解不等式②：
两边同乘10去分母得：$2(2x-1)＜5(x+1)$
去括号得：$4x-2＜5x+5$
移项、合并同类项得：$-x＜7$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞-7$
取两个解集的公共部分，根据“大小小大中间找”原则，得不等式组解集为$-7＜x≤1$。
【答案】
(1)$x≤1$；(2)$-7＜x≤1$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；不等式的性质
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，重点考查解不等式的基础操作和解集公共部分的判定，易错点是不等式两边除以负数时忘记改变不等号方向，解题时可结合数轴验证解集的公共部分，减少错误。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是分两步走：第一步分别求解组内每个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步结合“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的解集判定口诀，或者借助数轴找两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集。解单个不等式时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
(1) 求解第一个不等式组
将不等式组标记为：
$\begin{cases}x - 3(x - 2) ≥ 4 \quad ①\\\dfrac{1 + 2x}{3} ＞ x - 1 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$x-3x+6≥4$
移项、合并同类项得：$-2x≥-2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤1$
解不等式②：
两边同乘3去分母得：$1+2x＞3(x-1)$
去括号得：$1+2x＞3x-3$
移项、合并同类项得：$-x＞-4$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＜4$
取两个解集的公共部分，根据“同小取小”原则，得不等式组解集为$x≤1$。
---
(2) 求解第二个不等式组
将不等式组标记为：
$\begin{cases}x - 2(x - 1) ≥ 1 \quad ①\\\dfrac{2x - 1}{5} ＜ \dfrac{x + 1}{2} \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$x-2x+2≥1$
移项、合并同类项得：$-x≥-1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤1$
解不等式②：
两边同乘10去分母得：$2(2x-1)＜5(x+1)$
去括号得：$4x-2＜5x+5$
移项、合并同类项得：$-x＜7$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞-7$
取两个解集的公共部分，根据“大小小大中间找”原则，得不等式组解集为$-7＜x≤1$。
【答案】
(1)$x≤1$；(2)$-7＜x≤1$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；不等式的性质
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，重点考查解不等式的基础操作和解集公共部分的判定，易错点是不等式两边除以负数时忘记改变不等号方向，解题时可结合数轴验证解集的公共部分，减少错误。
【难度系数】
0.8
9. 已知点 $ P $ 的坐标为 $ ( \dfrac{x-1}{3}, 2x - 9 ) $，其中 $ x $ 满足不等式组
$\begin{cases}5x - 10 ≥ 2(x + 1), \\\dfrac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{3}{2}x,\end{cases}$
求点 $ P $ 所在的象限。
$\begin{cases}5x - 10 ≥ 2(x + 1), \\\dfrac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{3}{2}x,\end{cases}$
求点 $ P $ 所在的象限。
答案
解：$\begin{cases}5x-10≥2(x+1),①\\\dfrac{1}{2}x-1≤7-\dfrac{3}{2}x,②\end{cases}$
解①得 $x≥4$，解②得 $x≤4$，则不等式组的解是 $x=4$。
$\therefore\dfrac{x-1}{3}=1,2x-9=-1$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(1,-1)$。
$\therefore$ 点 $P$ 在第四象限。
解①得 $x≥4$，解②得 $x≤4$，则不等式组的解是 $x=4$。
$\therefore\dfrac{x-1}{3}=1,2x-9=-1$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(1,-1)$。
$\therefore$ 点 $P$ 在第四象限。
解析
【分析】
要确定点P所在的象限，首先需要得到点P横、纵坐标的具体值或正负性。已知点P的坐标由含x的代数式表示，且x满足给定的一元一次不等式组，因此解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个不等式，找到解集的公共部分得到x的取值；第二步将x代入横、纵坐标的表达式，计算出点P的具体坐标；第三步根据各象限内点的坐标符号特征，判断点P所在的象限。
【解析】
解：解不等式组$\begin{cases}5x - 10 ≥ 2(x + 1) \quad ①\\\dfrac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{3}{2}x \quad ②\end{cases}$
解不等式①：去括号得$5x - 10 ≥ 2x + 2$，移项合并同类项得$3x ≥ 12$，系数化为1得$x ≥ 4$。
解不等式②：移项合并同类项得$2x ≤ 8$，系数化为1得$x ≤ 4$。
因此不等式组的解集为$x = 4$。
将$x=4$代入点P的坐标表达式：
横坐标：$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{4-1}{3}=1$，纵坐标：$2x - 9 = 2×4 - 9 = -1$，即点P的坐标为$(1,-1)$。
根据象限坐标特征：第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，可知点P在第四象限。
【答案】
点P在第四象限
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 象限内点的坐标特征
3. 代数式求值
【点评】
本题是不等式组与平面直角坐标系的基础综合题，解题核心是先准确求解不等式组得到x的取值，再代入计算坐标后判断象限，侧重对基础知识点的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.8
要确定点P所在的象限，首先需要得到点P横、纵坐标的具体值或正负性。已知点P的坐标由含x的代数式表示，且x满足给定的一元一次不等式组，因此解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个不等式，找到解集的公共部分得到x的取值；第二步将x代入横、纵坐标的表达式，计算出点P的具体坐标；第三步根据各象限内点的坐标符号特征，判断点P所在的象限。
【解析】
解：解不等式组$\begin{cases}5x - 10 ≥ 2(x + 1) \quad ①\\\dfrac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \dfrac{3}{2}x \quad ②\end{cases}$
解不等式①：去括号得$5x - 10 ≥ 2x + 2$，移项合并同类项得$3x ≥ 12$，系数化为1得$x ≥ 4$。
解不等式②：移项合并同类项得$2x ≤ 8$，系数化为1得$x ≤ 4$。
因此不等式组的解集为$x = 4$。
将$x=4$代入点P的坐标表达式：
横坐标：$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{4-1}{3}=1$，纵坐标：$2x - 9 = 2×4 - 9 = -1$，即点P的坐标为$(1,-1)$。
根据象限坐标特征：第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，可知点P在第四象限。
【答案】
点P在第四象限
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 象限内点的坐标特征
3. 代数式求值
【点评】
本题是不等式组与平面直角坐标系的基础综合题，解题核心是先准确求解不等式组得到x的取值，再代入计算坐标后判断象限，侧重对基础知识点的综合应用能力考查。
【难度系数】
0.8
