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13. 我们把$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，
例如：$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2×5 -3×4=-2$。
(1)若$\begin{vmatrix} -1 & 2x-1 \\ 0.5 & x \end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ ；若$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3-x & x \end{vmatrix}＞0$，则$x$的取值范围是 ______ ；
(2)若正整数$m,n(m≠n)$满足$1＜\begin{vmatrix} 1 & n \\ m & 4 \end{vmatrix}＜3$，求$m+n$的值；
(3)若对于两个非负数$x,y$，有$\begin{vmatrix} x-1 & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & -y \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=k-1$成立，求实数$k$的取值范围。
例如：$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=2×5 -3×4=-2$。
(1)若$\begin{vmatrix} -1 & 2x-1 \\ 0.5 & x \end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ ；若$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3-x & x \end{vmatrix}＞0$，则$x$的取值范围是 ______ ；
(2)若正整数$m,n(m≠n)$满足$1＜\begin{vmatrix} 1 & n \\ m & 4 \end{vmatrix}＜3$，求$m+n$的值；
(3)若对于两个非负数$x,y$，有$\begin{vmatrix} x-1 & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & -y \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=k-1$成立，求实数$k$的取值范围。
答案
解:(1)$\dfrac{1}{4}\ \ x＞1$
(2)由题意可得,$1＜4-mn＜3$,
$\therefore1＜mn＜3$。
$\because m,n$ 是正整数,
$\therefore m=1,n=2$,或 $m=2,n=1$。
$\therefore m+n=3$。
(3)由题意可得 $3(x-1)-2y=-x+2y=k-1$,
$\therefore\begin{cases}3x-2y=k+2,①\\-x+2y=k-1,②\end{cases}$
①+②得 $2x=2k+1$,解得 $x=\dfrac{2k+1}{2}$,
①+②×3 得 $4y=4k-1$,解得 $y=\dfrac{4k-1}{4}$,
$\because x,y$ 为非负数,$\therefore\begin{cases}\dfrac{2k+1}{2}≥0,\\\dfrac{4k-1}{4}≥0。\end{cases}$
解得 $k≥\dfrac{1}{4}$,则实数 $k$ 的取值范围为 $k≥\dfrac{1}{4}$。
(2)由题意可得,$1＜4-mn＜3$,
$\therefore1＜mn＜3$。
$\because m,n$ 是正整数,
$\therefore m=1,n=2$,或 $m=2,n=1$。
$\therefore m+n=3$。
(3)由题意可得 $3(x-1)-2y=-x+2y=k-1$,
$\therefore\begin{cases}3x-2y=k+2,①\\-x+2y=k-1,②\end{cases}$
①+②得 $2x=2k+1$,解得 $x=\dfrac{2k+1}{2}$,
①+②×3 得 $4y=4k-1$,解得 $y=\dfrac{4k-1}{4}$,
$\because x,y$ 为非负数,$\therefore\begin{cases}\dfrac{2k+1}{2}≥0,\\\dfrac{4k-1}{4}≥0。\end{cases}$
解得 $k≥\dfrac{1}{4}$,则实数 $k$ 的取值范围为 $k≥\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题核心是先准确掌握二阶行列式的运算法则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，再将行列式运算转化为我们已学的方程、不等式、方程组问题求解。
(1) 前两空直接套用运算法则，分别列一元一次方程和一元一次不等式求解即可；
(2) 先套用运算法则得到关于$mn$的不等式，再结合$m、n$是不等正整数的限定条件，找出符合要求的$m、n$的值，即可计算$m+n$；
(3) 先将两个行列式分别按法则展开，联立得到关于$x、y$的二元一次方程组，用含$k$的代数式表示$x、y$，再结合$x、y$是非负数的条件列不等式组，求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) ①根据运算法则列方程：
$\begin{vmatrix} -1 & 2x-1 \\ 0.5 & x \end{vmatrix}=(-1)× x - (2x-1)×0.5 = 0$
化简得：$-x -x + 0.5 = 0$，即$-2x=-0.5$，解得$x=\dfrac{1}{4}$。
②根据运算法则列不等式：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3-x & x \end{vmatrix}=2x - 1×(3-x)＞0$
化简得：$2x -3 +x＞0$，即$3x＞3$，解得$x＞1$。
(2) 先按运算法则展开行列式：
$\begin{vmatrix} 1 & n \\ m & 4 \end{vmatrix}=1×4 - m× n=4-mn$
由题意得$1＜4-mn＜3$，不等式各项减4得：$-3＜-mn＜-1$，不等号两边同乘$-1$（不等号方向改变）得$1＜mn＜3$。
$\because m、n$是互不相等的正整数，$\therefore mn=2$，即$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，因此$m+n=1+2=3$。
(3) 分别展开两个行列式：
第一个行列式：$\begin{vmatrix} x-1 & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=3(x-1)-2y=k-1$，整理得$3x-2y=k+2$ ①；
第二个行列式：$\begin{vmatrix} x & -y \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=x×(-1) - (-y)×2=k-1$，整理得$-x+2y=k-1$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}3x-2y=k+2\\-x+2y=k-1\end{cases}$
①+②消去$y$得：$2x=2k+1$，解得$x=\dfrac{2k+1}{2}$；
①+②×3消去$x$得：$4y=4k-1$，解得$y=\dfrac{4k-1}{4}$。
$\because x、y$是非负数，$\therefore \begin{cases}\dfrac{2k+1}{2}≥0\\\dfrac{4k-1}{4}≥0\end{cases}$
解第一个不等式：$2k+1≥0$，得$k≥-\dfrac{1}{2}$；
解第二个不等式：$4k-1≥0$，得$k≥\dfrac{1}{4}$；
同大取大，得$k≥\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}$，$x＞1$；(2)$3$；(3)$k≥\dfrac{1}{4}$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式（组），二元一次方程组
【点评】
本题以二阶行列式为载体考察知识迁移能力，解题关键是准确理解新运算法则，将陌生运算转化为熟悉的方程、不等式问题求解，解题时要注意题目给出的正整数、非负数等限定条件，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算题型，解题核心是先准确掌握二阶行列式的运算法则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，再将行列式运算转化为我们已学的方程、不等式、方程组问题求解。
(1) 前两空直接套用运算法则，分别列一元一次方程和一元一次不等式求解即可；
(2) 先套用运算法则得到关于$mn$的不等式，再结合$m、n$是不等正整数的限定条件，找出符合要求的$m、n$的值，即可计算$m+n$；
(3) 先将两个行列式分别按法则展开，联立得到关于$x、y$的二元一次方程组，用含$k$的代数式表示$x、y$，再结合$x、y$是非负数的条件列不等式组，求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
(1) ①根据运算法则列方程：
$\begin{vmatrix} -1 & 2x-1 \\ 0.5 & x \end{vmatrix}=(-1)× x - (2x-1)×0.5 = 0$
化简得：$-x -x + 0.5 = 0$，即$-2x=-0.5$，解得$x=\dfrac{1}{4}$。
②根据运算法则列不等式：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3-x & x \end{vmatrix}=2x - 1×(3-x)＞0$
化简得：$2x -3 +x＞0$，即$3x＞3$，解得$x＞1$。
(2) 先按运算法则展开行列式：
$\begin{vmatrix} 1 & n \\ m & 4 \end{vmatrix}=1×4 - m× n=4-mn$
由题意得$1＜4-mn＜3$，不等式各项减4得：$-3＜-mn＜-1$，不等号两边同乘$-1$（不等号方向改变）得$1＜mn＜3$。
$\because m、n$是互不相等的正整数，$\therefore mn=2$，即$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，因此$m+n=1+2=3$。
(3) 分别展开两个行列式：
第一个行列式：$\begin{vmatrix} x-1 & y \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=3(x-1)-2y=k-1$，整理得$3x-2y=k+2$ ①；
第二个行列式：$\begin{vmatrix} x & -y \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=x×(-1) - (-y)×2=k-1$，整理得$-x+2y=k-1$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases}3x-2y=k+2\\-x+2y=k-1\end{cases}$
①+②消去$y$得：$2x=2k+1$，解得$x=\dfrac{2k+1}{2}$；
①+②×3消去$x$得：$4y=4k-1$，解得$y=\dfrac{4k-1}{4}$。
$\because x、y$是非负数，$\therefore \begin{cases}\dfrac{2k+1}{2}≥0\\\dfrac{4k-1}{4}≥0\end{cases}$
解第一个不等式：$2k+1≥0$，得$k≥-\dfrac{1}{2}$；
解第二个不等式：$4k-1≥0$，得$k≥\dfrac{1}{4}$；
同大取大，得$k≥\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{4}$，$x＞1$；(2)$3$；(3)$k≥\dfrac{1}{4}$
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式（组），二元一次方程组
【点评】
本题以二阶行列式为载体考察知识迁移能力，解题关键是准确理解新运算法则，将陌生运算转化为熟悉的方程、不等式问题求解，解题时要注意题目给出的正整数、非负数等限定条件，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.7
