登录
10.某中学规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2:3:5的比例计算学期成绩.小明同学本学期三项成绩依次为90分、90分、80分，则小明同学本学期的体育成绩是
85
分.答案
10.85
解析
【分析】
本题考查加权平均数的计算，解题思路如下：首先明确题目中课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的权重比例为2:3:5，即三个成绩的权重分别为2、3、5；加权平均数的计算方法是各数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，按照这个方法代入数据计算即可得到学期体育成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，首先计算权重总和：$2+3+5=10$
再计算加权总分：$90×2 + 90×3 + 80×5 = 180 + 270 + 400 = 850$
最后计算学期体育成绩：$850÷10=85$（分）
【答案】
85
【知识点】
加权平均数计算、比例的应用
【点评】
本题是统计知识在实际生活中的应用，难度较低，核心是理解加权平均数中“权重”的含义，代入数据计算时注意准确性即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查加权平均数的计算，解题思路如下：首先明确题目中课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的权重比例为2:3:5，即三个成绩的权重分别为2、3、5；加权平均数的计算方法是各数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，按照这个方法代入数据计算即可得到学期体育成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，首先计算权重总和：$2+3+5=10$
再计算加权总分：$90×2 + 90×3 + 80×5 = 180 + 270 + 400 = 850$
最后计算学期体育成绩：$850÷10=85$（分）
【答案】
85
【知识点】
加权平均数计算、比例的应用
【点评】
本题是统计知识在实际生活中的应用，难度较低，核心是理解加权平均数中“权重”的含义，代入数据计算时注意准确性即可得分。
【难度系数】
0.9
11.如图是一个圆柱，底面圆的周长是12 cm，高是5 cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要
第11题图
13
cm. 第11题图答案
11.13
解析
【分析】
要求圆柱表面上A到B的最短彩带长度，属于立体图形表面最短路径问题，解题思路如下：首先将圆柱的侧面展开为平面图形（长方形），根据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开图中A、B两点之间的线段长度，再利用勾股定理计算该线段的长度即可。展开后长方形的长对应圆柱底面的周长，宽对应圆柱的高，确定两点位置后即可构造直角三角形计算。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的高剪开，展开得到一个长方形：
1. 该长方形的长等于圆柱底面的周长，为12 cm，长方形的宽等于圆柱的高，为5 cm；
2. 此时展开图中点A和点B的连线即为彩带的最短长度，这条线段是直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为12 cm和5 cm；
3. 根据勾股定理，最短长度为：$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$（cm）。
【答案】
13
【知识点】
圆柱侧面展开，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题的核心是将立体图形转化为平面图形，明确展开后对应点的位置，再结合勾股定理计算即可，注意不要直接用立体图形上的线段长度直接计算。
【难度系数】
0.7
要求圆柱表面上A到B的最短彩带长度，属于立体图形表面最短路径问题，解题思路如下：首先将圆柱的侧面展开为平面图形（长方形），根据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开图中A、B两点之间的线段长度，再利用勾股定理计算该线段的长度即可。展开后长方形的长对应圆柱底面的周长，宽对应圆柱的高，确定两点位置后即可构造直角三角形计算。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的高剪开，展开得到一个长方形：
1. 该长方形的长等于圆柱底面的周长，为12 cm，长方形的宽等于圆柱的高，为5 cm；
2. 此时展开图中点A和点B的连线即为彩带的最短长度，这条线段是直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别为12 cm和5 cm；
3. 根据勾股定理，最短长度为：$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$（cm）。
【答案】
13
【知识点】
圆柱侧面展开，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，解题的核心是将立体图形转化为平面图形，明确展开后对应点的位置，再结合勾股定理计算即可，注意不要直接用立体图形上的线段长度直接计算。
【难度系数】
0.7
12.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x + 1 ＜ 3,\\6(x - m) ≥ 3 + 4x\end{cases}$只有3个整数解，则$m$的取值范围是 ______ 。
答案
12.$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，思路分三步：第一步，分别求解不等式组中的两个不等式，用含参数m的式子表示出不等式组的解集；第二步，根据“只有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；第三步，结合解集的边界范围，列出关于m的不等式（注意判断边界处等号是否可取），求解即可得到m的取值范围。
【解析】
首先分别解两个不等式：
1. 解不等式$2x + 1 ＜ 3$：
移项得$2x ＜ 3 - 1$，即$2x ＜ 2$，
两边同时除以2，得$x ＜ 1$。
2. 解不等式$6(x - m) ≥ 3 + 4x$：
去括号得$6x - 6m ≥ 3 + 4x$，
移项得$6x - 4x ≥ 3 + 6m$，即$2x ≥ 3 + 6m$，
两边同时除以2，得$x ≥ \frac{3 + 6m}{2} = 3m + \frac{3}{2}$。
所以不等式组的解集为$3m + \frac{3}{2} ≤ x ＜ 1$。
已知不等式组只有3个整数解，小于1的整数从大到小依次为0、-1、-2，可知这3个整数解就是0、-1、-2，因此解集的左边界需满足：
$-3 ＜ 3m + \frac{3}{2} ≤ -2$
解这个不等式：
先给三部分同时减去$\frac{3}{2}$，得$-3 - \frac{3}{2} ＜ 3m ≤ -2 - \frac{3}{2}$，即$-\frac{9}{2} ＜ 3m ≤ -\frac{7}{2}$，
再给三部分同时除以3，得$-\frac{3}{2} ＜ m ≤ -\frac{7}{6}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组的整数解，含参不等式组求解
【点评】
本题是不等式组整数解的典型考法，解题核心是先确定不等式组的解集，再结合整数解的个数锁定参数的范围，需要特别注意边界处等号的取舍，避免因多取或者漏取等号导致结果错误。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的一元一次不等式组整数解问题，思路分三步：第一步，分别求解不等式组中的两个不等式，用含参数m的式子表示出不等式组的解集；第二步，根据“只有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；第三步，结合解集的边界范围，列出关于m的不等式（注意判断边界处等号是否可取），求解即可得到m的取值范围。
【解析】
首先分别解两个不等式：
1. 解不等式$2x + 1 ＜ 3$：
移项得$2x ＜ 3 - 1$，即$2x ＜ 2$，
两边同时除以2，得$x ＜ 1$。
2. 解不等式$6(x - m) ≥ 3 + 4x$：
去括号得$6x - 6m ≥ 3 + 4x$，
移项得$6x - 4x ≥ 3 + 6m$，即$2x ≥ 3 + 6m$，
两边同时除以2，得$x ≥ \frac{3 + 6m}{2} = 3m + \frac{3}{2}$。
所以不等式组的解集为$3m + \frac{3}{2} ≤ x ＜ 1$。
已知不等式组只有3个整数解，小于1的整数从大到小依次为0、-1、-2，可知这3个整数解就是0、-1、-2，因此解集的左边界需满足：
$-3 ＜ 3m + \frac{3}{2} ≤ -2$
解这个不等式：
先给三部分同时减去$\frac{3}{2}$，得$-3 - \frac{3}{2} ＜ 3m ≤ -2 - \frac{3}{2}$，即$-\frac{9}{2} ＜ 3m ≤ -\frac{7}{2}$，
再给三部分同时除以3，得$-\frac{3}{2} ＜ m ≤ -\frac{7}{6}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组的整数解，含参不等式组求解
【点评】
本题是不等式组整数解的典型考法，解题核心是先确定不等式组的解集，再结合整数解的个数锁定参数的范围，需要特别注意边界处等号的取舍，避免因多取或者漏取等号导致结果错误。
【难度系数】
0.6
13. 先化简,再求值:$\dfrac{x^2}{x^2 -4x +4} ÷ (1 + \dfrac{2}{x-2})$,其中$x=3$.
答案
13.解:原式$=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}$
$=\frac{x}{x-2}.$
当$x=3$时，
原式$=\frac{3}{3-2}=3.$
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}$
$=\frac{x}{x-2}.$
当$x=3$时，
原式$=\frac{3}{3-2}=3.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题时遵循先化简再求值的思路：第一步先计算括号内的分式加法，将整数1通分转化为分母为x-2的分式，再和$\frac{2}{x-2}$合并；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时对能因式分解的分子、分母先因式分解；第三步对分式约分得到最简结果；最后将x=3代入最简式计算即可得到最终数值。
【解析】
解：先对原式化简：
首先将分母因式分解，同时计算括号内的加法：
原式$=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ (\frac{x-2}{x-2} + \frac{2}{x-2})$
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x}{x-2}$
将除法转化为乘法：
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}$
约分化简得：
$=\frac{x}{x-2}$
将$x=3$代入最简式：
原式$=\frac{3}{3-2}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础常规题型，重点考查分式运算的顺序和通分、约分的运算规则，计算时需注意先处理括号内的运算，除法要转化为乘法再约分，代入数值计算时要细心，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题时遵循先化简再求值的思路：第一步先计算括号内的分式加法，将整数1通分转化为分母为x-2的分式，再和$\frac{2}{x-2}$合并；第二步将分式除法转化为乘法运算，同时对能因式分解的分子、分母先因式分解；第三步对分式约分得到最简结果；最后将x=3代入最简式计算即可得到最终数值。
【解析】
解：先对原式化简：
首先将分母因式分解，同时计算括号内的加法：
原式$=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ (\frac{x-2}{x-2} + \frac{2}{x-2})$
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x}{x-2}$
将除法转化为乘法：
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}$
约分化简得：
$=\frac{x}{x-2}$
将$x=3$代入最简式：
原式$=\frac{3}{3-2}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础常规题型，重点考查分式运算的顺序和通分、约分的运算规则，计算时需注意先处理括号内的运算，除法要转化为乘法再约分，代入数值计算时要细心，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
14.【本土文化】两河桃片是叙永的地方名小吃，入选四川省非物质文化遗产，迄今已有百余年历史，有香甜味和椒盐味两种类型.
(1)“五一”节前，小张花费4 300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元.
(2)由于市场供不应求，“五一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小张分别花费了2 500元、3 000元购买相同数量的香甜味桃片和椒盐味桃片.求每袋香甜味桃片的售价.
(1)“五一”节前，小张花费4 300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元.
(2)由于市场供不应求，“五一”节后，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋椒盐味桃片的售价比每袋香甜味桃片售价多10元，小张分别花费了2 500元、3 000元购买相同数量的香甜味桃片和椒盐味桃片.求每袋香甜味桃片的售价.
答案
14.解:(1)设每袋香甜味桃片的售价是$x$元,每袋椒盐味桃片的售价是$y$元.
根据题意,得$\begin{cases}40x +50y=4\ 300,\\10x=9y,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=45,\\y=50.\end{cases}$
答:每袋香甜味桃片的售价是45元,每袋椒盐味桃片的售价是50元.
(2)设每袋香甜味桃片的售价是$m$元,则每袋椒盐味桃片的售价是$(m+10)$元.
根据题意,得$\frac{2\ 500}{m}=\frac{3\ 000}{m+10},$
解得$m=50.$
经检验,$m=50$是所列方程的解,且符合题意.
答:每袋香甜味桃片的售价是50元.
根据题意,得$\begin{cases}40x +50y=4\ 300,\\10x=9y,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=45,\\y=50.\end{cases}$
答:每袋香甜味桃片的售价是45元,每袋椒盐味桃片的售价是50元.
(2)设每袋香甜味桃片的售价是$m$元,则每袋椒盐味桃片的售价是$(m+10)$元.
根据题意,得$\frac{2\ 500}{m}=\frac{3\ 000}{m+10},$
解得$m=50.$
经检验,$m=50$是所列方程的解,且符合题意.
答:每袋香甜味桃片的售价是50元.
解析
【分析】
(1) 本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题需先找准两个等量关系：①40袋香甜味桃片的总费用+50袋椒盐味桃片的总费用=4300元；②10袋香甜味桃片的售价=9袋椒盐味桃片的售价。设两个未知数后代入等量关系列方程组，求解即可得到两种桃片的售价。
(2) 本题是分式方程的实际应用问题，核心等量关系为：花费2500元购买香甜味桃片的数量=花费3000元购买椒盐味桃片的数量，结合“数量=总价÷单价”的关系，设香甜味桃片的售价为未知数，即可表示出椒盐味桃片的售价，代入等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程求解后需要检验结果是否符合题意。
【解析】
(1) 设每袋香甜味桃片的售价是$x$元，每袋椒盐味桃片的售价是$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}40x +50y=4300\\10x=9y\end{cases}$，
由$10x=9y$得$x=\frac{9}{10}y$，代入第一个方程得$36y+50y=4300$，解得$y=50$，
将$y=50$代入$10x=9y$，得$x=45$，
即方程组的解为$\begin{cases}x=45\\y=50\end{cases}$。
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，每袋椒盐味桃片的售价是50元。
(2) 设每袋香甜味桃片的售价是$m$元，则每袋椒盐味桃片的售价是$(m+10)$元。
根据题意，得$\frac{2500}{m}=\frac{3000}{m+10}$，
交叉相乘得$2500(m+10)=3000m$，
化简得$500m=25000$，解得$m=50$。
经检验，当$m=50$时，$m(m+10)≠0$，所以$m=50$是所列方程的解，且符合实际意义。
答：每袋香甜味桃片的售价是50元。
【答案】
(1) 每袋香甜味桃片售价45元，每袋椒盐味桃片售价50元；
(2) 每袋香甜味桃片售价50元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分式方程的应用
【点评】
本题结合地方特色文化背景考查方程的实际应用，解题关键是准确梳理题目中的等量关系，对应列出方程求解，注意分式方程解完后需要检验结果是否为方程的解、是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题需先找准两个等量关系：①40袋香甜味桃片的总费用+50袋椒盐味桃片的总费用=4300元；②10袋香甜味桃片的售价=9袋椒盐味桃片的售价。设两个未知数后代入等量关系列方程组，求解即可得到两种桃片的售价。
(2) 本题是分式方程的实际应用问题，核心等量关系为：花费2500元购买香甜味桃片的数量=花费3000元购买椒盐味桃片的数量，结合“数量=总价÷单价”的关系，设香甜味桃片的售价为未知数，即可表示出椒盐味桃片的售价，代入等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程求解后需要检验结果是否符合题意。
【解析】
(1) 设每袋香甜味桃片的售价是$x$元，每袋椒盐味桃片的售价是$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}40x +50y=4300\\10x=9y\end{cases}$，
由$10x=9y$得$x=\frac{9}{10}y$，代入第一个方程得$36y+50y=4300$，解得$y=50$，
将$y=50$代入$10x=9y$，得$x=45$，
即方程组的解为$\begin{cases}x=45\\y=50\end{cases}$。
答：每袋香甜味桃片的售价是45元，每袋椒盐味桃片的售价是50元。
(2) 设每袋香甜味桃片的售价是$m$元，则每袋椒盐味桃片的售价是$(m+10)$元。
根据题意，得$\frac{2500}{m}=\frac{3000}{m+10}$，
交叉相乘得$2500(m+10)=3000m$，
化简得$500m=25000$，解得$m=50$。
经检验，当$m=50$时，$m(m+10)≠0$，所以$m=50$是所列方程的解，且符合实际意义。
答：每袋香甜味桃片的售价是50元。
【答案】
(1) 每袋香甜味桃片售价45元，每袋椒盐味桃片售价50元；
(2) 每袋香甜味桃片售价50元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；分式方程的应用
【点评】
本题结合地方特色文化背景考查方程的实际应用，解题关键是准确梳理题目中的等量关系，对应列出方程求解，注意分式方程解完后需要检验结果是否为方程的解、是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
