登录
7.如图，数轴上点A，C对应的实数分别为1，3，线段$AB⊥AC$于点A，且AB的长为1个单位长度.若以点C为圆心，BC的长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为
（
A.$3-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}-2$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$3-\sqrt{10}$
（
A
）A.$3-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}-2$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$3-\sqrt{10}$
答案
7.A
解析
【分析】
要求点P表示的实数，首先明确P是以C为圆心、BC为半径的圆上的点，因此CP=BC，只需要先求出BC的长度，再用点C对应的实数减去CP的长度即可得到P对应的数。首先根据A、C在数轴上的对应值算出AC的长度，再结合AB⊥AC、AB=1的条件，用勾股定理计算直角三角形ABC中BC的长度，最后结合P在C左侧的位置特征计算结果即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
∵数轴上点A对应实数1，点C对应实数3，
∴$AC=3-1=2$。
2. 用勾股定理求BC的长度：
∵$AB⊥AC$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，
已知$AB=1$，$AC=2$，根据勾股定理$BC^2=AB^2+AC^2$，
代入得$BC^2=1^2+2^2=1+4=5$，
∵线段长度为正数，
∴$BC=\sqrt{5}$。
3. 计算点P对应的实数：
∵以C为圆心，BC为半径的弧交数轴于点P，
∴$CP=BC=\sqrt{5}$，
又
∵点P在点C左侧，
∴点P表示的实数为$3-\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的性质，数轴与实数
【点评】
本题是勾股定理与数轴、圆的基本性质结合的基础综合题，解题关键是利用圆半径相等的性质将未知的CP转化为可计算的BC，再结合数轴上点的位置特征计算对应实数，难度较低。
【难度系数】
0.7
要求点P表示的实数，首先明确P是以C为圆心、BC为半径的圆上的点，因此CP=BC，只需要先求出BC的长度，再用点C对应的实数减去CP的长度即可得到P对应的数。首先根据A、C在数轴上的对应值算出AC的长度，再结合AB⊥AC、AB=1的条件，用勾股定理计算直角三角形ABC中BC的长度，最后结合P在C左侧的位置特征计算结果即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
∵数轴上点A对应实数1，点C对应实数3，
∴$AC=3-1=2$。
2. 用勾股定理求BC的长度：
∵$AB⊥AC$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，
已知$AB=1$，$AC=2$，根据勾股定理$BC^2=AB^2+AC^2$，
代入得$BC^2=1^2+2^2=1+4=5$，
∵线段长度为正数，
∴$BC=\sqrt{5}$。
3. 计算点P对应的实数：
∵以C为圆心，BC为半径的弧交数轴于点P，
∴$CP=BC=\sqrt{5}$，
又
∵点P在点C左侧，
∴点P表示的实数为$3-\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，圆的性质，数轴与实数
【点评】
本题是勾股定理与数轴、圆的基本性质结合的基础综合题，解题关键是利用圆半径相等的性质将未知的CP转化为可计算的BC，再结合数轴上点的位置特征计算对应实数，难度较低。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$△ ABC$的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$于点$P$，连接$PC$，则$△ PBC$的面积为（
A.$7\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$9\ \mathrm{cm}^2$
D.$10\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$7\ \mathrm{cm}^2$
B.$8\ \mathrm{cm}^2$
C.$9\ \mathrm{cm}^2$
D.$10\ \mathrm{cm}^2$
答案
8.C
解析
【分析】
遇到“角平分线+角平分线上的垂线”这类特征的图形，通常采用延长垂线构造全等三角形的思路解题。首先延长AP交BC于点D，先利用角平分线的定义和垂直的条件证明△ABP和△DBP全等，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，推导出△PBC的面积与△ABC面积的关系，即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP。
由等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△ BPD}=S_{△ BAP}$，$S_{△ CPD}=S_{△ CAP}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线相关的典型题型，解题关键是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，通过全等三角形转化线段关系，结合等底同高的三角形面积相等的规律，快速得到所求三角形和原三角形的面积关系。
【难度系数】
0.7
遇到“角平分线+角平分线上的垂线”这类特征的图形，通常采用延长垂线构造全等三角形的思路解题。首先延长AP交BC于点D，先利用角平分线的定义和垂直的条件证明△ABP和△DBP全等，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，推导出△PBC的面积与△ABC面积的关系，即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP。
由等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△ BPD}=S_{△ BAP}$，$S_{△ CPD}=S_{△ CAP}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线相关的典型题型，解题关键是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，通过全等三角形转化线段关系，结合等底同高的三角形面积相等的规律，快速得到所求三角形和原三角形的面积关系。
【难度系数】
0.7
9. 分式方程$\frac{1}{3x}=\frac{2}{x-2}$的解为
$x=-\frac{2}{5}$
.答案
9.$x=-\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的有效性。首先找到两个分母$3x$和$x-2$的最简公分母为$3x(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到一元一次方程，解出一元一次方程的解后，代入最简公分母验证：若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，否则为增根需要舍去。
【解析】
解：确定最简公分母为$3x(x-2)$，
方程两边同时乘以$3x(x-2)$，得：
$x-2 = 2×3x$
整理得：$x - 2 = 6x$
移项，得：$x - 6x = 2$
合并同类项，得：$-5x = 2$
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{5}$
检验：当$x = -\frac{2}{5}$时，$3x(x-2) = 3×(-\frac{2}{5})×(-\frac{2}{5}-2) = \frac{72}{25} ≠ 0$，因此该解是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\frac{2}{5}$
【知识点】
分式方程解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考察“化分式为整式”的转化思想，解题时要注意去分母不要漏乘项，且解完后必须检验，避免增根干扰。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的有效性。首先找到两个分母$3x$和$x-2$的最简公分母为$3x(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到一元一次方程，解出一元一次方程的解后，代入最简公分母验证：若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，否则为增根需要舍去。
【解析】
解：确定最简公分母为$3x(x-2)$，
方程两边同时乘以$3x(x-2)$，得：
$x-2 = 2×3x$
整理得：$x - 2 = 6x$
移项，得：$x - 6x = 2$
合并同类项，得：$-5x = 2$
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{5}$
检验：当$x = -\frac{2}{5}$时，$3x(x-2) = 3×(-\frac{2}{5})×(-\frac{2}{5}-2) = \frac{72}{25} ≠ 0$，因此该解是原分式方程的解。
【答案】
$x=-\frac{2}{5}$
【知识点】
分式方程解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考察“化分式为整式”的转化思想，解题时要注意去分母不要漏乘项，且解完后必须检验，避免增根干扰。
【难度系数】
0.8
10.已知a,b是$△ ABC$的两边，且满足$a^2 - b^2 = ac - bc$，则$△ ABC$的形状是
等腰三角形
.答案
10.等腰三角形
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先推导边a和b的关系。观察已知等式，左边是平方差形式，右边两项有公因式c，可先通过因式分解对等式变形，再结合三角形边长为正、两边之和大于第三边的性质，排除不可能的情况，最终得到a、b的数量关系，进而判定三角形形状。注意不能直接给等式两边同时除以(a-b)，否则会漏掉a=b的情况。
【解析】
对已知等式$a^2 - b^2 = ac - bc$变形：
1. 左边利用平方差公式分解，右边提取公因式c，可得：
$(a-b)(a+b) = c(a-b)$
2. 移项使等式右侧为0，再提取公因式$(a-b)$：
$(a-b)(a+b) - c(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b - c) = 0$
3. 结合三角形三边关系分析：
因为a、b是△ABC的边长，所以$a+b＞c$，即$a+b - c ＞ 0$，不可能为0。
因此只能$a - b = 0$，即$a = b$，说明△ABC有两条边相等。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
1. 因式分解
2. 三角形三边关系
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题型，核心考查因式分解的应用和三角形相关性质的结合，解题时要注意不能随意除以含字母的整式，需结合隐含条件判断整式的取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需先推导边a和b的关系。观察已知等式，左边是平方差形式，右边两项有公因式c，可先通过因式分解对等式变形，再结合三角形边长为正、两边之和大于第三边的性质，排除不可能的情况，最终得到a、b的数量关系，进而判定三角形形状。注意不能直接给等式两边同时除以(a-b)，否则会漏掉a=b的情况。
【解析】
对已知等式$a^2 - b^2 = ac - bc$变形：
1. 左边利用平方差公式分解，右边提取公因式c，可得：
$(a-b)(a+b) = c(a-b)$
2. 移项使等式右侧为0，再提取公因式$(a-b)$：
$(a-b)(a+b) - c(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b - c) = 0$
3. 结合三角形三边关系分析：
因为a、b是△ABC的边长，所以$a+b＞c$，即$a+b - c ＞ 0$，不可能为0。
因此只能$a - b = 0$，即$a = b$，说明△ABC有两条边相等。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
1. 因式分解
2. 三角形三边关系
3. 等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题型，核心考查因式分解的应用和三角形相关性质的结合，解题时要注意不能随意除以含字母的整式，需结合隐含条件判断整式的取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11.为提高学生身体素质，增强班级凝聚力，某学校计划举办足球和篮球比赛.该校现用16000元购进一批足球，又用5 400元购进一批篮球，已知篮球的数量是足球的3倍，且单价比足球贵10元，设足球的单价为x元，根据题意可列方程为
$\frac{5400}{x+10}=3×\frac{1600}{x}$
.答案
11.$\frac{5400}{x+10}=3×\frac{1600}{x}$
解析
【分析】
解本题的核心是先找到题目中的等量关系：篮球的数量=足球的数量×3。接下来我们需要用含x的式子分别表示两种球的数量：已知足球单价为x元，篮球单价比足球贵10元，因此篮球单价为(x+10)元；再根据“数量=总价÷单价”的公式，分别用两种球的总价除以各自的单价，就能得到对应的数量，最后结合数量的倍数关系列出等式即可。
【解析】
设足球的单价为x元，则篮球的单价为$(x+10)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
足球的数量为$\frac{1600}{x}$个，
篮球的数量为$\frac{5400}{x+10}$个。
已知篮球的数量是足球的3倍，因此可列方程：
$\frac{5400}{x+10}=3×\frac{1600}{x}$
【答案】
$\frac{5400}{x+10}=3×\frac{1600}{x}$
【知识点】
分式方程的实际应用，总价单价数量关系
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，主要考查学生梳理题意、找准等量关系的能力，解题时注意不要混淆两种球的单价、总价和数量的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是先找到题目中的等量关系：篮球的数量=足球的数量×3。接下来我们需要用含x的式子分别表示两种球的数量：已知足球单价为x元，篮球单价比足球贵10元，因此篮球单价为(x+10)元；再根据“数量=总价÷单价”的公式，分别用两种球的总价除以各自的单价，就能得到对应的数量，最后结合数量的倍数关系列出等式即可。
【解析】
设足球的单价为x元，则篮球的单价为$(x+10)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
足球的数量为$\frac{1600}{x}$个，
篮球的数量为$\frac{5400}{x+10}$个。
已知篮球的数量是足球的3倍，因此可列方程：
$\frac{5400}{x+10}=3×\frac{1600}{x}$
【答案】
$\frac{5400}{x+10}=3×\frac{1600}{x}$
【知识点】
分式方程的实际应用，总价单价数量关系
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，主要考查学生梳理题意、找准等量关系的能力，解题时注意不要混淆两种球的单价、总价和数量的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
12.如图，$□ ABCD$的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若$AD=5$，$AB=CF=3$，则CG的长为
$\frac{5}{2}$
.答案
12.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，得到CD与BE平行，以及BC、CD的长度；再结合等边三角形边长相等的性质，求出BE的长度；接着通过延长CG交BE于点H，利用G是DE中点的条件，证明△DCG和△EHG全等，得到CG为CH的一半、CD=EH；最后结合边长关系证明△BCH是等边三角形，求出CH的长度后即可得到CG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=5$，$AB=CD=3$，$CD// AB$，
∵点E在AB的延长线上，
∴$CD// BE$，
∴$∠ CDG=∠ HEG$。
∵$CF=3$，
∴$BF=BC+CF=5+3=8$，
∵$△ BEF$是等边三角形，
∴$BE=BF=8$，$∠ EBF=60°$。
延长CG交BE于点H，
∵G为DE的中点，
∴$DG=EG$，
在$△ DCG$和$△ EHG$中：
$\begin{cases}∠ CDG=∠ HEG \\DG=EG \\∠ DGC=∠ EGH\end{cases}$
∴$△ DCG≌△ EHG$（ASA），
∴$CD=EH=3$，$CG=HG$，
∴$BH=BE-EH=8-3=5$，
又
∵$BC=5$，
∴$BC=BH$，
∵$∠ EBF=60°$，
∴$△ BCH$是等边三角形，
∴$CH=BC=5$，
∴$CG=\frac{1}{2}CH=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是合理构造全等三角形，将所求线段与已知条件建立关联，同时结合特殊三角形的性质求解，能够有效锻炼几何辅助线的构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边相等、对边平行的性质，得到CD与BE平行，以及BC、CD的长度；再结合等边三角形边长相等的性质，求出BE的长度；接着通过延长CG交BE于点H，利用G是DE中点的条件，证明△DCG和△EHG全等，得到CG为CH的一半、CD=EH；最后结合边长关系证明△BCH是等边三角形，求出CH的长度后即可得到CG的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC=5$，$AB=CD=3$，$CD// AB$，
∵点E在AB的延长线上，
∴$CD// BE$，
∴$∠ CDG=∠ HEG$。
∵$CF=3$，
∴$BF=BC+CF=5+3=8$，
∵$△ BEF$是等边三角形，
∴$BE=BF=8$，$∠ EBF=60°$。
延长CG交BE于点H，
∵G为DE的中点，
∴$DG=EG$，
在$△ DCG$和$△ EHG$中：
$\begin{cases}∠ CDG=∠ HEG \\DG=EG \\∠ DGC=∠ EGH\end{cases}$
∴$△ DCG≌△ EHG$（ASA），
∴$CD=EH=3$，$CG=HG$，
∴$BH=BE-EH=8-3=5$，
又
∵$BC=5$，
∴$BC=BH$，
∵$∠ EBF=60°$，
∴$△ BCH$是等边三角形，
∴$CH=BC=5$，
∴$CG=\frac{1}{2}CH=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是合理构造全等三角形，将所求线段与已知条件建立关联，同时结合特殊三角形的性质求解，能够有效锻炼几何辅助线的构造能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
13. 成都市某社区为激励全民参与垃圾分类，共享环保低碳生活，积极实施了垃圾分类积分奖励制度.规定:居民每月正确分类各种垃圾可获得20积分/千克，并且还可获得固定奖励100积分/月.所获积分可兑换环保礼品，每50积分兑换1件礼品.
(1)写出该社区居民每月所获总积分$y$(分)与正确分类垃圾量$x$(千克)($x＞0$)的函数关系式；
(2)若一居民某月所获积分最多兑换10件礼品，求该居民该月正确分类各种垃圾量$x$(千克)的取值范围.
(1)写出该社区居民每月所获总积分$y$(分)与正确分类垃圾量$x$(千克)($x＞0$)的函数关系式；
(2)若一居民某月所获积分最多兑换10件礼品，求该居民该月正确分类各种垃圾量$x$(千克)的取值范围.
答案
13.(1)$y=20x+100(x＞0)$
(2)$20≤ x＜22.5$
(2)$20≤ x＜22.5$
解析
【分析】
(1) 解题思路：每月总积分由两部分构成，一是每月固定奖励的100积分，二是正确分类垃圾获得的积分（每千克20积分，x千克共20x积分），将两部分相加即可得到总积分y与x的函数关系式，注意题目已给出x＞0的取值限制。
(2) 解题思路：首先根据兑换规则确定总积分的范围：兑换10件礼品最低需要$10×50=500$积分，最多兑换10件说明积分不够兑换11件，即积分小于$11×50=550$积分，得到y的取值范围后，代入(1)的函数关系式解不等式组，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意，每月固定奖励100积分，正确分类x千克垃圾可获得20x积分，因此总积分：
$y = 20x + 100\ (x＞0)$
(2) 兑换10件礼品所需最低积分：$10×50=500$（分）
因最多兑换10件，故总积分不足兑换11件，兑换11件所需积分：$11×50=550$（分）
因此总积分y的取值范围为：$500 ≤ y ＜ 550$
将$y=20x+100$代入得不等式组：
$\begin{cases}20x + 100 ≥ 500 \\ 20x + 100 ＜ 550 \end{cases}$
解第一个不等式：$20x ≥ 400$，得$x ≥ 20$
解第二个不等式：$20x ＜ 450$，得$x ＜ 22.5$
结合x的实际意义，最终x的取值范围为$20 ≤ x ＜ 22.5$
【答案】
(1)$y=20x+100(x＞0)$
(2)$20≤ x＜22.5$
【知识点】
1. 列一次函数关系式
2. 一元一次不等式组的应用
3. 实际问题取值范围
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点命题，考查学生从实际场景中提取等量关系、不等关系的能力，解题的关键是根据兑换规则准确确定总积分的上下限，避免漏写上限导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：每月总积分由两部分构成，一是每月固定奖励的100积分，二是正确分类垃圾获得的积分（每千克20积分，x千克共20x积分），将两部分相加即可得到总积分y与x的函数关系式，注意题目已给出x＞0的取值限制。
(2) 解题思路：首先根据兑换规则确定总积分的范围：兑换10件礼品最低需要$10×50=500$积分，最多兑换10件说明积分不够兑换11件，即积分小于$11×50=550$积分，得到y的取值范围后，代入(1)的函数关系式解不等式组，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意，每月固定奖励100积分，正确分类x千克垃圾可获得20x积分，因此总积分：
$y = 20x + 100\ (x＞0)$
(2) 兑换10件礼品所需最低积分：$10×50=500$（分）
因最多兑换10件，故总积分不足兑换11件，兑换11件所需积分：$11×50=550$（分）
因此总积分y的取值范围为：$500 ≤ y ＜ 550$
将$y=20x+100$代入得不等式组：
$\begin{cases}20x + 100 ≥ 500 \\ 20x + 100 ＜ 550 \end{cases}$
解第一个不等式：$20x ≥ 400$，得$x ≥ 20$
解第二个不等式：$20x ＜ 450$，得$x ＜ 22.5$
结合x的实际意义，最终x的取值范围为$20 ≤ x ＜ 22.5$
【答案】
(1)$y=20x+100(x＞0)$
(2)$20≤ x＜22.5$
【知识点】
1. 列一次函数关系式
2. 一元一次不等式组的应用
3. 实际问题取值范围
【点评】
本题结合垃圾分类的生活热点命题，考查学生从实际场景中提取等量关系、不等关系的能力，解题的关键是根据兑换规则准确确定总积分的上下限，避免漏写上限导致取值范围错误。
【难度系数】
0.7
