例2 直线$y=kx+b$过点$A(-2, 0)$，且与$y$轴交于点$B$，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线的解析式.
错解：设点$B$的坐标为$(0, y)$，则$OA=2$，$OB=y$.
因为$S=\frac{1}{2} · OA · OB=3$，所以$\frac{1}{2} × 2 × y=3$，得$y=3$.所以点$B$的坐标为$(0, 3)$.
因为直线$y=kx+b$过点$A(-2, 0)$，$B(0, 3)$，所以$\begin{cases} -2k + b = 0, \\ b = 3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \frac{3}{2}, \\ b = 3, \end{cases}$
所以直线的解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$.
剖析：直线与$y$轴交于点$B$有两种情况.本解法只考虑了与$y$轴正半轴相交，忽视了与$y$轴负半轴相交的情况，导致漏解.
正确答案：直线的解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$.

$y=\frac{3}{2}x+3$或$y=-\frac{3}{2}x-3$

1. 设直线与y轴交点B的坐标为$(0, b)$，已知点$A(-2, 0)$，则$OA=2$，$OB=|b|$。2. 由直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，根据三角形面积公式得：$\frac{1}{2} · OA · OB = 3$，即$\frac{1}{2} × 2 × |b| = 3$，解得$|b|=3$，所以$b=3$或$b=-3$。3. 分情况求直线解析式：①当$b=3$时，将$A(-2,0)$代入$y=kx+3$，得$0=-2k+3$，解得$k=\frac{3}{2}$，此时解析式为$y=\frac{3}{2}x+3$；②当$b=-3$时，将$A(-2,0)$代入$y=kx-3$，得$0=-2k-3$，解得$k=-\frac{3}{2}$，此时解析式为$y=-\frac{3}{2}x-3$。

例3 一次函数$y=kx+b$的自变量的取值范围是$-3≤ x≤ 6$，相应的函数值的取值范围是$-5≤ y≤ -2$，则这个函数的解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
错解：因为当$x=-3$时，$y=-5$，当$x=6$时，$y=-2$，
所以$\begin{cases} -3k + b = -5, \\ 6k + b = -2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{3}, \\ b = -4, \end{cases}$ 所以所求的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-4$.
剖析：错解只考虑了该一次函数是增函数的情况，而忽视了该一次函数是减函数的情况，即当$x=-3$时，$y=-2$，当$x=6$时，$y=-5$的情况.故解本题时，要从已知条件出发，分类讨论.
正确答案：所求的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x-4$或$y=-\dfrac{1}{3}x-3$.

$y=\dfrac{1}{3}x -4$或$y=-\dfrac{1}{3}x -3$

分两种情况讨论：①当一次函数为增函数时，将$x=-3$，$y=-5$和$x=6$，$y=-2$代入$y=kx+b$，得方程组$\begin{cases}-3k + b = -5 \\6k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{3} \\b=-4\end{cases}$，故解析式为$y=\dfrac{1}{3}x -4$；②当一次函数为减函数时，将$x=-3$，$y=-2$和$x=6$，$y=-5$代入$y=kx+b$，得方程组$\begin{cases}-3k + b = -2 \\6k + b = -5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{3} \\b=-3\end{cases}$，故解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x -3$。