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5.(多选)已知集合$A=\{x|x≥0\},B=\{x|x＞1\}$,则（
A.$∃ x\in A,x\in B$
B.$∃ x\in B,x∉ A$
C.$∀ x\in A,x∉ B$
D.$∀ x\in B,x\in A$
AD
）A.$∃ x\in A,x\in B$
B.$∃ x\in B,x∉ A$
C.$∀ x\in A,x∉ B$
D.$∀ x\in B,x\in A$
答案
AD
因为集合 $A=\{x|x≥0\},B=\{x|x＞1\}$,所以 $B$ 是 $A$ 的真子集,所以 $∃ x\in A,x\in B$ 或 $∀ x\in B,x\in A$.
因为集合 $A=\{x|x≥0\},B=\{x|x＞1\}$,所以 $B$ 是 $A$ 的真子集,所以 $∃ x\in A,x\in B$ 或 $∀ x\in B,x\in A$.
6.已知命题$p:∀ x≥0,x≥\sqrt{x}$，命题$q:∃ x,y\in\mathbf{R},x+y＜xy$，则（
A.$p$和$q$都是真命题
B.$¬ p$和$q$都是真命题
C.$p$和$¬ q$都是真命题
D.$¬ p$和$¬ q$都是真命题
B
）A.$p$和$q$都是真命题
B.$¬ p$和$q$都是真命题
C.$p$和$¬ q$都是真命题
D.$¬ p$和$¬ q$都是真命题
答案
B
当 $x=\frac{1}{4}$ 时, $x≥\sqrt{x}$ 不成立,所以 $p$ 是假命题, $¬ p$ 是真命题.
当 $x=y=-1$ 时, $x+y＜xy$ 成立,所以 $q$ 是真命题, $¬ q$ 是假命题.
当 $x=\frac{1}{4}$ 时, $x≥\sqrt{x}$ 不成立,所以 $p$ 是假命题, $¬ p$ 是真命题.
当 $x=y=-1$ 时, $x+y＜xy$ 成立,所以 $q$ 是真命题, $¬ q$ 是假命题.
7.已知命题 $ p: ∃ x \in \{x ∣ 1 ≤ x ≤ 9\}, ax - 36 ≤ 0 $.若 $ p $ 是真命题,求实数 $ a $ 的取值范围.
答案
解:由题意,得 $a≤\frac{36}{x}$,且 $a≤(\frac{36}{x})_{\max}$.
因为 $1≤ x≤9$,所以 $4≤\frac{36}{x}≤36$,所以 $a≤36$.
故实数 $a$ 的取值范围是 $\{a∣ a≤36\}$.
因为 $1≤ x≤9$,所以 $4≤\frac{36}{x}≤36$,所以 $a≤36$.
故实数 $a$ 的取值范围是 $\{a∣ a≤36\}$.
8.(多选)命题“$∀ -1 ≤ x ≤ 3, x^2 - m ≤ 0$”是真命题的一个充分不必要条件是（
A.$m ≥ 9$
B.$m ≥ 11$
C.$m ≥ 10$
D.$m ≤ 10$
BC
）A.$m ≥ 9$
B.$m ≥ 11$
C.$m ≥ 10$
D.$m ≤ 10$
答案
BC
由题意,得 $m≥ x^2$.因为 $0≤ x^2≤9$,所以当 $m≥9$ 时,原命题为真命题.根据题意,得所选范围对应集合应为集合 $\{m∣ m≥9\}$ 的真子集,故 $m≥10,m≥11$ 均可.
由题意,得 $m≥ x^2$.因为 $0≤ x^2≤9$,所以当 $m≥9$ 时,原命题为真命题.根据题意,得所选范围对应集合应为集合 $\{m∣ m≥9\}$ 的真子集,故 $m≥10,m≥11$ 均可.
9.已知命题$p:∀ x\in \{x|1＜x＜3\},x-a≥0.$若$¬ p$是真命题,则实数$a$的取值范围是 (
A.$\{a|a＜3\}$
B.$\{a|a＞1\}$
C.$\{a|a≤1\}$
D.$\{a|a≥1\}$
B
)A.$\{a|a＜3\}$
B.$\{a|a＞1\}$
C.$\{a|a≤1\}$
D.$\{a|a≥1\}$
答案
B
因为命题 $p: ∀ x\in \{x|1＜x＜3\},x-a≥0$,所以命题 $¬ p: ∃ x\in \{x|1＜x＜3\},x-a＜0$.
又 $¬ p$ 是真命题,所以 $a＞x_{\min}$,所以 $a＞1$,所以实数 $a$ 的取值范围是 $\{a∣ a＞1\}$.
因为命题 $p: ∀ x\in \{x|1＜x＜3\},x-a≥0$,所以命题 $¬ p: ∃ x\in \{x|1＜x＜3\},x-a＜0$.
又 $¬ p$ 是真命题,所以 $a＞x_{\min}$,所以 $a＞1$,所以实数 $a$ 的取值范围是 $\{a∣ a＞1\}$.
10.已知命题“∃x∈{x | -1＜x＜2}, 3x - m = 0”是假命题，则实数m的取值范围是
$\{m∣ m≤-3或m≥6\}$
。答案
$\{m∣ m≤-3或m≥6\}$
命题“$∃ x\in\{x ∣ -1＜x＜2\}, 3x - m = 0$”是假命题,等价于“$∀ x\in\{x ∣ -1＜x＜2\}, 3x - m ≠ 0$”是真命题.
因为 $-1＜x＜2$,所以 $-3＜3x＜6$.
要使 $3x≠ m$,则需 $m≤-3$ 或 $m≥6$.
故实数 $m$ 的取值范围是 $\{m∣ m≤-3或m≥6\}$.
命题“$∃ x\in\{x ∣ -1＜x＜2\}, 3x - m = 0$”是假命题,等价于“$∀ x\in\{x ∣ -1＜x＜2\}, 3x - m ≠ 0$”是真命题.
因为 $-1＜x＜2$,所以 $-3＜3x＜6$.
要使 $3x≠ m$,则需 $m≤-3$ 或 $m≥6$.
故实数 $m$ 的取值范围是 $\{m∣ m≤-3或m≥6\}$.
11.已知命题 $ p: ∀ x \in \{x ∣ -1 ≤ x ≤ 1\}, x^2 + 2x - k ≤ 0 $，命题 $ q: ∃ x \in \mathbf{R}, x^2 + 2kx + 3k + 4 = 0 $。
(1)当命题p为真命题时，求实数k的取值范围；
(2)若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围。
(提示:(1)先利用参变分离整理不等式，再根据二次函数的性质得出答案.(2)先根据一元二次方程根存在的条件，建立不等式，求出命题q是真命题时实数k的取值范围，再结合题意分类讨论:①p真q假;②q真p假，进而得出答案)
(1)当命题p为真命题时，求实数k的取值范围；
(2)若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围。
(提示:(1)先利用参变分离整理不等式，再根据二次函数的性质得出答案.(2)先根据一元二次方程根存在的条件，建立不等式，求出命题q是真命题时实数k的取值范围，再结合题意分类讨论:①p真q假;②q真p假，进而得出答案)
答案
解:(1)由题意可得, $∀ x\in \{x ∣ -1≤ x≤1\}, x^2 + 2x≤ k$ 为真命题,所以 $k≥(x^2+2x)_{\max}$.
因为 $x^2+2x=(x+1)^2-1$,所以当 $x=1$ 时, $x^2+2x$ 取得最大值,且最大值为 3,所以 $k≥3$.
故实数 $k$ 的取值范围为 $\{k∣ k≥3\}$.
(2)当命题 $q$ 是真命题时,方程 $x^2+2kx+3k+4=0$ 有实数根,所以 $\Delta=4k^2-4(3k+4)≥0$,解得 $k≤-1$ 或 $k≥4$.
因为命题 $p$ 和 $q$ 中有且仅有一个是假命题,所以命题 $p$ 和 $q$ 一真一假.
①当命题 $p$ 是真命题,命题 $q$ 是假命题时,
$\begin{cases}k≥3,\\-1＜k＜4,\end{cases}$ 解得 $3≤ k＜4$;
②当命题 $q$ 是真命题,命题 $p$ 是假命题时,
$\begin{cases}k＜3,\\k≤-1或k≥4,\end{cases}$ 解得 $k≤-1$.
综上所述,实数 $k$ 的取值范围为 $\{k∣ k≤-1或3≤ k＜4\}$.
因为 $x^2+2x=(x+1)^2-1$,所以当 $x=1$ 时, $x^2+2x$ 取得最大值,且最大值为 3,所以 $k≥3$.
故实数 $k$ 的取值范围为 $\{k∣ k≥3\}$.
(2)当命题 $q$ 是真命题时,方程 $x^2+2kx+3k+4=0$ 有实数根,所以 $\Delta=4k^2-4(3k+4)≥0$,解得 $k≤-1$ 或 $k≥4$.
因为命题 $p$ 和 $q$ 中有且仅有一个是假命题,所以命题 $p$ 和 $q$ 一真一假.
①当命题 $p$ 是真命题,命题 $q$ 是假命题时,
$\begin{cases}k≥3,\\-1＜k＜4,\end{cases}$ 解得 $3≤ k＜4$;
②当命题 $q$ 是真命题,命题 $p$ 是假命题时,
$\begin{cases}k＜3,\\k≤-1或k≥4,\end{cases}$ 解得 $k≤-1$.
综上所述,实数 $k$ 的取值范围为 $\{k∣ k≤-1或3≤ k＜4\}$.
