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1. 若方程 $x^{2}+px+q=0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$。
(1)先填空，再找规律：
(2)观察表中 $x_{1}+x_{2}$ 与 $x_{1}· x_{2}$ 的值，猜想它们与前面的一元二次方程的各项系数之间的关系。对于二次项系数为 $1$ 的方程 $x^{2}+px+q=0$，请写出其两根 $x_{1},x_{2}$ 与系数 $p,q$ 之间的关系。
(1)先填空，再找规律：
(2)观察表中 $x_{1}+x_{2}$ 与 $x_{1}· x_{2}$ 的值，猜想它们与前面的一元二次方程的各项系数之间的关系。对于二次项系数为 $1$ 的方程 $x^{2}+px+q=0$，请写出其两根 $x_{1},x_{2}$ 与系数 $p,q$ 之间的关系。
答案
$1. (1) 6,9;0,8,8,0;-8,2,-6,-16;1+\sqrt{2},1-\sqrt{2},2,-1$
(2) x₁+x₂=-p,x₁·x₂=q
(2) x₁+x₂=-p,x₁·x₂=q
解析
【解析】
(1) 依次计算：
① 方程$x^2 -6x +9=0$：$x_1+x_2=3+3=6$，$x_1·x_2=3×3=9$；
② 方程$x^2 -8x=0$：因式分解得$x(x-8)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=8$，则$x_1+x_2=8$，$x_1·x_2=0$；
③ 方程$x^2 +6x -16=0$：因式分解得$(x+8)(x-2)=0$，解得$x_1=-8$，$x_2=2$，则$x_1+x_2=-6$，$x_1·x_2=-16$；
④ 方程$x^2 -2x -1=0$：由求根公式得$x=1±\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，则$x_1+x_2=2$，$x_1·x_2=-1$；
(2) 观察表中数据，可得对于方程$x^2+px+q=0$，两根满足$x_1+x_2=-p$，$x_1·x_2=q$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6,9;0,8,8,0;-8,2,-6,-16;1+\sqrt{2},1-\sqrt{2},2,-1}$
(2) $\boldsymbol{x_1+x_2=-p,\ x_1·x_2=q}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程求解
【点评】
本题通过计算与观察，推导二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，强化对韦达定理的认知。
【难度系数】
0.7
(1) 依次计算：
① 方程$x^2 -6x +9=0$：$x_1+x_2=3+3=6$，$x_1·x_2=3×3=9$；
② 方程$x^2 -8x=0$：因式分解得$x(x-8)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=8$，则$x_1+x_2=8$，$x_1·x_2=0$；
③ 方程$x^2 +6x -16=0$：因式分解得$(x+8)(x-2)=0$，解得$x_1=-8$，$x_2=2$，则$x_1+x_2=-6$，$x_1·x_2=-16$；
④ 方程$x^2 -2x -1=0$：由求根公式得$x=1±\sqrt{2}$，即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，则$x_1+x_2=2$，$x_1·x_2=-1$；
(2) 观察表中数据，可得对于方程$x^2+px+q=0$，两根满足$x_1+x_2=-p$，$x_1·x_2=q$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6,9;0,8,8,0;-8,2,-6,-16;1+\sqrt{2},1-\sqrt{2},2,-1}$
(2) $\boldsymbol{x_1+x_2=-p,\ x_1·x_2=q}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程求解
【点评】
本题通过计算与观察，推导二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，强化对韦达定理的认知。
【难度系数】
0.7
2. (1)一元二次方程根与系数的关系：如果 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的两个根，那么 $x_{1}+x_{2}=$
(2)设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程的两个根。
若 $3x^{2}+2x - 1 = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$
若 $x^{2}+mx - n = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$
$-\dfrac{b}{a}$
，$x_{1}· x_{2}=$$\dfrac{c}{a}$
。注意：应用这一结论的前提是方程必须有实数根，即b²-4ac≥0
。(2)设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程的两个根。
若 $3x^{2}+2x - 1 = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$
$-\dfrac{2}{3}$
，$x_{1}· x_{2}=$$-\dfrac{1}{3}$
。若 $x^{2}+mx - n = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$
-m
，$x_{1}· x_{2}=$-n
。答案
$2. (1) -\dfrac{b}{a} \dfrac{c}{a} b²-4ac≥0 (2) -\dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{3} -m -n$
解析
【解析】
(1) 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$，两根之和$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$，两根之积$x_{1}·x_{2}=\dfrac{c}{a}$；应用该结论的前提是方程有实数根，即判别式$\Delta=b²-4ac≥0$。
(2) ①对于方程$3x^{2}+2x - 1 = 0$，其中$a=3$，$b=2$，$c=-1$，代入韦达定理公式可得：$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2}{3}$，$x_{1}·x_{2}=-\dfrac{1}{3}$；
②对于方程$x^{2}+mx - n = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-n$，代入韦达定理公式可得：$x_{1}+x_{2}=-m$，$x_{1}·x_{2}=-n$。
【答案】
(1) $-\dfrac{b}{a}$，$\dfrac{c}{a}$，$b²-4ac≥0$；
(2) $-\dfrac{2}{3}$，$-\dfrac{1}{3}$；$-m$，$-n$
【知识点】
韦达定理，判别式应用
【点评】
本题为一元二次方程根与系数关系的基础题型，重点考查韦达定理的内容、应用前提及直接代入计算，有助于夯实该知识点的基础认知。
【难度系数】
0.9
(1) 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$，两根之和$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$，两根之积$x_{1}·x_{2}=\dfrac{c}{a}$；应用该结论的前提是方程有实数根，即判别式$\Delta=b²-4ac≥0$。
(2) ①对于方程$3x^{2}+2x - 1 = 0$，其中$a=3$，$b=2$，$c=-1$，代入韦达定理公式可得：$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2}{3}$，$x_{1}·x_{2}=-\dfrac{1}{3}$；
②对于方程$x^{2}+mx - n = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=-n$，代入韦达定理公式可得：$x_{1}+x_{2}=-m$，$x_{1}·x_{2}=-n$。
【答案】
(1) $-\dfrac{b}{a}$，$\dfrac{c}{a}$，$b²-4ac≥0$；
(2) $-\dfrac{2}{3}$，$-\dfrac{1}{3}$；$-m$，$-n$
【知识点】
韦达定理，判别式应用
【点评】
本题为一元二次方程根与系数关系的基础题型，重点考查韦达定理的内容、应用前提及直接代入计算，有助于夯实该知识点的基础认知。
【难度系数】
0.9
3. 求根的代数式的值。
(1)先用 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1}· x_{2}$ 表示出代数式，再利用根与系数的关系代入求值。如：$x_{2}· x_{1}^{2}+x_{1}· x_{2}^{2}=x_{1}· x_{2}·(x_{1}+x_{2})$。请填空：
① $(1 + x_{1})(1 + x_{2})=$
② $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$
③ $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=$
(2)实数 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x - 3 = 0$ 的两个根，则代数式 $x_{1}· x_{2}+2x_{1}+2x_{2}$ 的值为
(1)先用 $x_{1}+x_{2}$ 和 $x_{1}· x_{2}$ 表示出代数式，再利用根与系数的关系代入求值。如：$x_{2}· x_{1}^{2}+x_{1}· x_{2}^{2}=x_{1}· x_{2}·(x_{1}+x_{2})$。请填空：
① $(1 + x_{1})(1 + x_{2})=$
1+(x₁+x₂)+x₁·x₂
。② $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$
(x₁+x₂)²-2x₁·x₂
。③ $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=$
$\dfrac{x₁+x₂}{x₁·x₂}$
。(2)实数 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x - 3 = 0$ 的两个根，则代数式 $x_{1}· x_{2}+2x_{1}+2x_{2}$ 的值为
5
。答案
$3. (1) ①1+(x₁+x₂)+x₁·x₂ ②(x₁+x₂)²-2x₁·x₂ ③\dfrac{x₁+x₂}{x₁·x₂} (2) -2$
解析
$(1)①展开得原式=1+x_{1}+x_{2}+x_{1}×x_{2}$
$②原式=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
$③原式=\frac {x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}$
$(2)由韦达定理,x_{1}+x_{2}=4,x_{1}×x_{2}=-3$
∴原式=-3+2×4=5
$②原式=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$
$③原式=\frac {x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}$
$(2)由韦达定理,x_{1}+x_{2}=4,x_{1}×x_{2}=-3$
∴原式=-3+2×4=5
1. 设 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+3x - 4 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}+x_{2}$ 的值是(
A.$x_{1}+x_{2}=3$
B.$x_{1}+x_{2}=-3$
C.$x_{1}· x_{2}=4$
D.$x_{1}· x_{2}=-\frac{4}{3}$
B
)。A.$x_{1}+x_{2}=3$
B.$x_{1}+x_{2}=-3$
C.$x_{1}· x_{2}=4$
D.$x_{1}· x_{2}=-\frac{4}{3}$
答案
1. B
解析
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理，两根之和 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程 $x^2+3x - 4 = 0$ 中，$a=1$，$b=3$，则 $x_1+x_2=-\frac{3}{1}=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基本应用，需准确区分两根之和与两根之积的公式，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理，两根之和 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程 $x^2+3x - 4 = 0$ 中，$a=1$，$b=3$，则 $x_1+x_2=-\frac{3}{1}=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基本应用，需准确区分两根之和与两根之积的公式，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
