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2. 下列一元二次方程中，两根之和等于 $5$ 的是(
A.$x^{2}-5x + 7 = 0$
B.$x^{2}+5x - 4 = 0$
C.$x^{2}-3x - 5 = 0$
D.$2x^{2}-10x - 3 = 0$
D
)。A.$x^{2}-5x + 7 = 0$
B.$x^{2}+5x - 4 = 0$
C.$x^{2}-3x - 5 = 0$
D.$2x^{2}-10x - 3 = 0$
答案
2. D
解析
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理，两根之和为 $-\frac{b}{a}$，且方程需有实数根（$\Delta=b^2-4ac≥0$）。
选项A：$a=1$，$b=-5$，两根之和为$5$，但$\Delta=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：$a=1$，$b=5$，两根之和为$-5≠5$，不符合要求；
选项C：$a=1$，$b=-3$，两根之和为$3≠5$，不符合要求；
选项D：$a=2$，$b=-10$，两根之和为$-\frac{-10}{2}=5$，且$\Delta=(-10)^2-4×2×(-3)=124＞0$，方程有实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式的应用，需牢记韦达定理公式，同时注意方程要有实数根这一前提条件，避免忽略判别式导致错误。
【难度系数】
0.8
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理，两根之和为 $-\frac{b}{a}$，且方程需有实数根（$\Delta=b^2-4ac≥0$）。
选项A：$a=1$，$b=-5$，两根之和为$5$，但$\Delta=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：$a=1$，$b=5$，两根之和为$-5≠5$，不符合要求；
选项C：$a=1$，$b=-3$，两根之和为$3≠5$，不符合要求；
选项D：$a=2$，$b=-10$，两根之和为$-\frac{-10}{2}=5$，且$\Delta=(-10)^2-4×2×(-3)=124＞0$，方程有实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
韦达定理，一元二次方程判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式的应用，需牢记韦达定理公式，同时注意方程要有实数根这一前提条件，避免忽略判别式导致错误。
【难度系数】
0.8
3. 已知一个三角形的一边长是 $3$，另两边长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4x + 1 = 0$ 的两个根，则该三角形的周长为(
A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$15$
B
)。A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$15$
答案
3. B
解析
【解析】
设方程$x^2 - 4x + 1 = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$。
已知三角形的一边长为3，另两边长为方程的两个根$x_1$、$x_2$，则该三角形的周长为$3 + x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，三角形周长计算
【点评】
本题主要考查韦达定理的应用及三角形周长的求解，利用韦达定理可快速得到方程两根之和，简化计算，同时需确认三边满足三角形三边关系（本题中两根之和大于已知边长，且两根均为正数，可构成三角形）。
【难度系数】
0.6
设方程$x^2 - 4x + 1 = 0$的两个根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$。
已知三角形的一边长为3，另两边长为方程的两个根$x_1$、$x_2$，则该三角形的周长为$3 + x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，三角形周长计算
【点评】
本题主要考查韦达定理的应用及三角形周长的求解，利用韦达定理可快速得到方程两根之和，简化计算，同时需确认三边满足三角形三边关系（本题中两根之和大于已知边长，且两根均为正数，可构成三角形）。
【难度系数】
0.6
4. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2}+x + m = 0$ 的一个根，则方程的另一个根是(
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
A
)。A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案
4. A
解析
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$x^2 + x + m = 0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$。
已知其中一个根为$x=1$，则$1 + x_1 = -1$，解得$x_1 = -2$。
或先将$x=1$代入方程得$1^2 + 1 + m = 0$，解得$m=-2$，原方程为$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，故另一个根为$-2$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根、韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关知识，可通过韦达定理快速求解另一根，也可代入求参数后解方程，两种方法均能高效解题，适合巩固一元二次方程的基础知识点。
【难度系数】
0.8
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$x^2 + x + m = 0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1$。
已知其中一个根为$x=1$，则$1 + x_1 = -1$，解得$x_1 = -2$。
或先将$x=1$代入方程得$1^2 + 1 + m = 0$，解得$m=-2$，原方程为$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，故另一个根为$-2$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根、韦达定理
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关知识，可通过韦达定理快速求解另一根，也可代入求参数后解方程，两种方法均能高效解题，适合巩固一元二次方程的基础知识点。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 的两个根为 $1$ 和 $2$，则 $b=$
-3
，$c=$2
。答案
5. -3 2
解析
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
已知方程的两个根为1和2，代入得：
$1+2=-b$，解得$b=-3$；
$1×2=c$，解得$c=2$。
【答案】
-3；2
【知识点】
韦达定理
【点评】
本题考查韦达定理的直接应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$。
已知方程的两个根为1和2，代入得：
$1+2=-b$，解得$b=-3$；
$1×2=c$，解得$c=2$。
【答案】
-3；2
【知识点】
韦达定理
【点评】
本题考查韦达定理的直接应用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
【难度系数】
0.9
6. 已知 $a^{2}+3a = 7$，$b^{2}+3b = 7$，且 $a≠ b$，则 $a + b=$
-3
。答案
6. -3
解析
【解析】
由题意可知，$a$、$b$是方程$x^2 + 3x - 7 = 0$的两个不相等的实数根（因为$a^2+3a=7$可变形为$a^2+3a-7=0$，$b^2+3b=7$可变形为$b^2+3b-7=0$，且$a≠b$）。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 + px + q = 0$，两根之和为$-p$，此方程中$p=3$，因此$a + b = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
韦达定理、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题通过构造一元二次方程，将$a$、$b$转化为方程的两根，巧妙利用韦达定理求解，考查了对韦达定理的灵活应用能力，需要具备转化思想。
【难度系数】
0.6
由题意可知，$a$、$b$是方程$x^2 + 3x - 7 = 0$的两个不相等的实数根（因为$a^2+3a=7$可变形为$a^2+3a-7=0$，$b^2+3b=7$可变形为$b^2+3b-7=0$，且$a≠b$）。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 + px + q = 0$，两根之和为$-p$，此方程中$p=3$，因此$a + b = -3$。
【答案】
-3
【知识点】
韦达定理、一元二次方程的根的定义
【点评】
本题通过构造一元二次方程，将$a$、$b$转化为方程的两根，巧妙利用韦达定理求解，考查了对韦达定理的灵活应用能力，需要具备转化思想。
【难度系数】
0.6
7. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 $2x^{2}-8x + 7 = 0$ 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
3
。答案
7. 3
解析
【解析】
设直角三角形的两条直角边的长分别为$x_1$、$x_2$，它们是方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$的两个根。
根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = \frac{8}{2} = 4$，$x_1x_2 = \frac{7}{2}$。
根据勾股定理，斜边长的平方为$x_1^2 + x_2^2$，由完全平方公式变形：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×\frac{7}{2} = 16 - 7 = 9$，
则斜边长为$\sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查韦达定理与勾股定理的应用，通过完全平方公式将直角边的平方和转化为两根和与积的形式，巧妙避开求解方程的根，简化计算过程，体现了整体思想的运用。
【难度系数】
0.6
设直角三角形的两条直角边的长分别为$x_1$、$x_2$，它们是方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$的两个根。
根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = \frac{8}{2} = 4$，$x_1x_2 = \frac{7}{2}$。
根据勾股定理，斜边长的平方为$x_1^2 + x_2^2$，由完全平方公式变形：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×\frac{7}{2} = 16 - 7 = 9$，
则斜边长为$\sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查韦达定理与勾股定理的应用，通过完全平方公式将直角边的平方和转化为两根和与积的形式，巧妙避开求解方程的根，简化计算过程，体现了整体思想的运用。
【难度系数】
0.6
8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+3x + m + 2 = 0$ 的两个实数根是 $x_{1},x_{2}$，且 $x_{1}=2x_{2}$，则 $m$ 的值是
0
。答案
8. 0
解析
【解析】
对于一元二次方程 $x^{2}+3x + m + 2 = 0$，根据韦达定理：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3$，两根之积 $x_1x_2 = \frac{m+2}{1} = m+2$。
已知 $x_1 = 2x_2$，代入两根之和得：
$2x_2 + x_2 = -3$，即 $3x_2 = -3$，解得 $x_2 = -1$。
则 $x_1 = 2x_2 = -2$。
将 $x_1 = -2$，$x_2 = -1$ 代入两根之积：
$(-2)×(-1) = m+2$，解得 $m = 0$。
【答案】
0
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题主要考查韦达定理的应用，通过已知两根的倍数关系结合韦达定理求出方程的根，进而求解参数$m$的值，需要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，计算过程需严谨细心。
【难度系数】
0.7
对于一元二次方程 $x^{2}+3x + m + 2 = 0$，根据韦达定理：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3$，两根之积 $x_1x_2 = \frac{m+2}{1} = m+2$。
已知 $x_1 = 2x_2$，代入两根之和得：
$2x_2 + x_2 = -3$，即 $3x_2 = -3$，解得 $x_2 = -1$。
则 $x_1 = 2x_2 = -2$。
将 $x_1 = -2$，$x_2 = -1$ 代入两根之积：
$(-2)×(-1) = m+2$，解得 $m = 0$。
【答案】
0
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题主要考查韦达定理的应用，通过已知两根的倍数关系结合韦达定理求出方程的根，进而求解参数$m$的值，需要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，计算过程需严谨细心。
【难度系数】
0.7
9. 已知 $a,b$ 是方程 $x^{2}+3x - 2 = 0$ 的两个不相等的实根，求下列各式的值：
(1)$a^{2}+b^{2}$。
(2)$(1 + a^{2})(1 + b^{2})$。
(1)$a^{2}+b^{2}$。
(2)$(1 + a^{2})(1 + b^{2})$。
答案
已知$a,b$是方程$x^{2}+3x - 2 = 0$的两个不相等的实根，根据韦达定理可得：
$a+b=-3$，$ab=-2$。
(1) 利用完全平方公式变形：
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$，
代入$a+b=-3$，$ab=-2$得：
原式$=(-3)^{2}-2×(-2)=9+4=13$。
(2) 先展开式子：
$(1+a^{2})(1+b^{2})=1+a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}$，
由(1)知$a^{2}+b^{2}=13$，且$a^{2}b^{2}=(ab)^{2}=(-2)^{2}=4$，
代入得：
原式$=1+13+4=18$。
10. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}=0$ 的两个实数根。
(1)求 $k$ 的取值范围。
(2)若 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=1$，求 $k$ 的值。
(1)求 $k$ 的取值范围。
(2)若 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=1$，求 $k$ 的值。
答案
(1) 因为一元二次方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}=0$有两个实数根，所以判别式$\Delta≥0$。
计算判别式：
$\Delta=[-(2k+3)]^2 - 4×1× k^2=4k^2+12k+9-4k^2=12k+9$
令$\Delta≥0$，即$12k+9≥0$，解得$k≥-\dfrac{3}{4}$。
(2) 根据韦达定理，对于方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}=0$，有$x_1+x_2=2k+3$，$x_1x_2=k^2$。
已知$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=1$，通分可得$\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=1$，代入韦达定理的结果：
$\dfrac{2k+3}{k^2}=1$
两边乘$k^2$得$2k+3=k^2$，整理为$k^2-2k-3=0$，因式分解得$(k-3)(k+1)=0$，解得$k=3$或$k=-1$。
结合(1)中$k≥-\dfrac{3}{4}$，$k=-1$不符合条件，舍去，故$k=3$。
1. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两个根都为负数，则(
A.$p＞0$ 且 $q＞0$
B.$p＞0$ 且 $q＜0$
C.$p＜0$ 且 $q＞0$
D.$p＜0$ 且 $q＜0$
A
)。A.$p＞0$ 且 $q＞0$
B.$p＞0$ 且 $q＜0$
C.$p＜0$ 且 $q＞0$
D.$p＜0$ 且 $q＜0$
答案
1. A
解析
【解析】
设方程$x^2+px+q=0$的两个负根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
因为$x_1＜0$，$x_2＜0$，所以：
1. $x_1+x_2＜0$，即$-p＜0$，解得$p＞0$；
2. $x_1x_2＞0$，即$q＞0$。
因此$p＞0$且$q＞0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，根的符号判断
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，通过根的符号结合韦达定理推导参数的取值范围，需熟练掌握韦达定理内容及符号分析逻辑。
【难度系数】
0.7
设方程$x^2+px+q=0$的两个负根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
因为$x_1＜0$，$x_2＜0$，所以：
1. $x_1+x_2＜0$，即$-p＜0$，解得$p＞0$；
2. $x_1x_2＞0$，即$q＞0$。
因此$p＞0$且$q＞0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，根的符号判断
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，通过根的符号结合韦达定理推导参数的取值范围，需熟练掌握韦达定理内容及符号分析逻辑。
【难度系数】
0.7
