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2. 若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的两根之和为 $2$，两根之积为 $-4$，则关于 $y$ 的方程 $a(y - 2)^{2}+b(y - 2)+c = 0(a≠0)$ 的两根之积是
4
。答案
2. 4
3. 已知方程 $x^{2}-3x-\sqrt{3}=0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$，写出一个一元二次方程，使它的二次项系数为 $3$，两个根为 $\frac{1}{x_{1}},\frac{1}{x_{2}}$，则这个方程是
$3x²+3\sqrt{3}x-\sqrt{3}=0$
。答案
$3. 3x²+3\sqrt{3}x-\sqrt{3}=0$
4. 定义：设 $m,n$ 是方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$ 的两个实数根，若满足 $|m + n|=|mn|$，则称此类方程为“同步方程”。
(1)下列方程是“同步方程”的是
① $x^{2}=0$，② $x^{2}-x - 1 = 0$，③ $x(x - 3)=0$。
(2)若方程 $x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0$ 是“同步方程”，求 $a$ 的值。
(3)若方程 $2x^{2}+bx + 3c = 0(a≠0)$ 为“同步方程”，直接写出 $b,c$ 满足的数量关系。
(1)下列方程是“同步方程”的是
①②
。(填序号)① $x^{2}=0$，② $x^{2}-x - 1 = 0$，③ $x(x - 3)=0$。
(2)若方程 $x^{2}-(a + 3)x + 3a = 0$ 是“同步方程”，求 $a$ 的值。
(3)若方程 $2x^{2}+bx + 3c = 0(a≠0)$ 为“同步方程”，直接写出 $b,c$ 满足的数量关系。
答案
4. (1) ①②
(2) 对于方程$x^2-(a+3)x+3a=0$，由韦达定理得$m+n=a+3$，$mn=3a$。
因为是“同步方程”，所以$|a+3|=|3a|$，两边平方得：
$(a+3)^2=(3a)^2$
展开得$a^2+6a+9=9a^2$
整理得$8a^2-6a-9=0$
解得$a=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4×8×(-9)}}{2×8}=\frac{6\pm18}{16}$，即$a=\frac{3}{2}$或$a=-\frac{3}{4}$。
(3) 对于方程$2x^2+bx+3c=0$，由韦达定理得$m+n=-\frac{b}{2}$，$mn=\frac{3c}{2}$。
因为是“同步方程”，所以$\left|-\frac{b}{2}\right|=\left|\frac{3c}{2}\right|$，两边同乘2得$|b|=|3c|$，即$b=\pm3c$。
5. 关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2mx+\frac{1}{4}n^{2}=0$，其中 $m,n$ 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实数根。
(2)已知 $x_{1},x_{2}$ 是这个方程的两个根，且 $|x_{1}-x_{2}|=8$，等腰三角形的面积是 $12$，求等腰三角形的周长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实数根。
(2)已知 $x_{1},x_{2}$ 是这个方程的两个根，且 $|x_{1}-x_{2}|=8$，等腰三角形的面积是 $12$，求等腰三角形的周长。
答案
(1) 要证明方程有两个不相等的实数根，需计算判别式$\Delta＞0$：
$\Delta=(-2m)^2 - 4×1×\frac{1}{4}n^2=4m^2 - n^2=(2m+n)(2m-n)$。
因为$m$是等腰三角形的腰长，$n$是底边长，根据三角形三边关系，$2m＞n$（两腰之和大于底边长），且$2m+n＞0$，所以$(2m+n)(2m-n)＞0$，即$\Delta＞0$，故方程有两个不相等的实数根。
(2) 由韦达定理可知，$x_1+x_2=2m$，$x_1x_2=\frac{1}{4}n^2$。
因为$|x_1-x_2|=8$，根据根与系数的关系：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{(2m)^2 - 4×\frac{1}{4}n^2}=\sqrt{4m^2 - n^2}=8$，
两边平方得$4m^2 - n^2=64$ ①。
等腰三角形的高$h=\sqrt{m^2 - (\frac{n}{2})^2}$，面积$S=\frac{1}{2}n× h=12$，即$\frac{1}{2}n×\sqrt{m^2 - \frac{n^2}{4}}=12$，
两边平方得$\frac{1}{4}n^2(m^2 - \frac{n^2}{4})=144$，将①变形为$m^2=\frac{64+n^2}{4}$代入得：
$\frac{1}{4}n^2×(\frac{64+n^2}{4} - \frac{n^2}{4})=144$，化简得$4n^2=144$，解得$n=6$（$n＞0$）。
把$n=6$代入①得$4m^2 - 36=64$，解得$m=5$（$m＞0$）。
等腰三角形的周长为$2m+n=2×5+6=16$。
