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8. 已知关于x的方程$a^{2}x^{2}-2ax-3=0$的一个解是3，求a的值。
答案
因为x=3是方程$a^{2}x^{2}-2ax-3=0$的解，将x=3代入方程得：
$a^2×3^2 - 2a×3 - 3 = 0$
化简得：$9a^2 - 6a - 3 = 0$，两边同时除以3得：
$3a^2 - 2a - 1 = 0$
因式分解得：$(3a + 1)(a - 1) = 0$
所以$3a + 1 = 0$或$a - 1 = 0$
解得$a = 1$或$a = -\frac{1}{3}$
1. 某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：
①用配方法解方程$4x^{2}-8x-12=0$，得$(x-1)^{2}=4$；②若方程$x^{2}-8x+q=0$可以配方成$(x-4)^{2}=12$，那么$x^{2}-8x+q=3$可以配方成$(x-4)^{2}=9$；
③若关于x的方程$3(x-2)^{2}=k$有实数根，则$k≥0$；④用配方法可以求得代数式$2x^{2}-12x+19$的最小值是1。
其中正确的结论有
①用配方法解方程$4x^{2}-8x-12=0$，得$(x-1)^{2}=4$；②若方程$x^{2}-8x+q=0$可以配方成$(x-4)^{2}=12$，那么$x^{2}-8x+q=3$可以配方成$(x-4)^{2}=9$；
③若关于x的方程$3(x-2)^{2}=k$有实数根，则$k≥0$；④用配方法可以求得代数式$2x^{2}-12x+19$的最小值是1。
其中正确的结论有
①③④
。(填序号)答案
1. ①③④
解析
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 对于结论①：
方程$4x^{2}-8x-12=0$两边同时除以4得$x^2-2x-3=0$，移项得$x^2-2x=3$，配方得$x^2-2x+1=3+1$，即$(x-1)^2=4$，故①正确。
2. 对于结论②：
由$(x-4)^2=12$展开得$x^2-8x+16=12$，则$q=16-12=4$；方程$x^2-8x+q=3$即$x^2-8x+4=3$，移项得$x^2-8x=-1$，配方得$x^2-8x+16=-1+16$，即$(x-4)^2=15$，并非$(x-4)^2=9$，故②错误。
3. 对于结论③：
方程$3(x-2)^2=k$变形为$(x-2)^2=\frac{k}{3}$，因为平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，所以$\frac{k}{3}≥0$，即$k≥0$，故③正确。
4. 对于结论④：
对$2x^2-12x+19$配方，提取2得$2(x^2-6x)+19$，配方$x^2-6x=(x-3)^2-9$，则原式$=2[(x-3)^2-9]+19=2(x-3)^2+1$，因为$(x-3)^2≥0$，所以当$(x-3)^2=0$时，代数式最小值为1，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，一元二次方程根的存在性
【点评】
本题主要考查配方法在解方程、代数式求最值以及判断方程根的情况中的综合应用，需要熟练掌握配方法的步骤和非负数的性质，逐一分析每个结论是解题的关键。
【难度系数】
0.6
我们逐个分析每个结论：
1. 对于结论①：
方程$4x^{2}-8x-12=0$两边同时除以4得$x^2-2x-3=0$，移项得$x^2-2x=3$，配方得$x^2-2x+1=3+1$，即$(x-1)^2=4$，故①正确。
2. 对于结论②：
由$(x-4)^2=12$展开得$x^2-8x+16=12$，则$q=16-12=4$；方程$x^2-8x+q=3$即$x^2-8x+4=3$，移项得$x^2-8x=-1$，配方得$x^2-8x+16=-1+16$，即$(x-4)^2=15$，并非$(x-4)^2=9$，故②错误。
3. 对于结论③：
方程$3(x-2)^2=k$变形为$(x-2)^2=\frac{k}{3}$，因为平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，所以$\frac{k}{3}≥0$，即$k≥0$，故③正确。
4. 对于结论④：
对$2x^2-12x+19$配方，提取2得$2(x^2-6x)+19$，配方$x^2-6x=(x-3)^2-9$，则原式$=2[(x-3)^2-9]+19=2(x-3)^2+1$，因为$(x-3)^2≥0$，所以当$(x-3)^2=0$时，代数式最小值为1，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，一元二次方程根的存在性
【点评】
本题主要考查配方法在解方程、代数式求最值以及判断方程根的情况中的综合应用，需要熟练掌握配方法的步骤和非负数的性质，逐一分析每个结论是解题的关键。
【难度系数】
0.6
2. 小聪在解一元二次方程时，发现了一种新的解法。
解方程：$x(x+4)=6$。
原方程变形，得
$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，
即$(x+2)^{2}-2^{2}=6$，$(x+2)^{2}=10$，
所以$x_{1}=-2-\sqrt {10},x_{2}=-2+\sqrt {10}$。
我们把这种方法称为“平均数法”。
(1)小聪用“平均数法”解方程$(x+3)(x+7)=5$的过程如下：
原方程变形，得
$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5$。
……
解得$x_{1}=c,x_{2}=d$。
上述过程中$a=$
(2)用“平均数法”解方程：
$(x-5)(x+3)=6$。
解方程：$x(x+4)=6$。
原方程变形，得
$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$，
即$(x+2)^{2}-2^{2}=6$，$(x+2)^{2}=10$，
所以$x_{1}=-2-\sqrt {10},x_{2}=-2+\sqrt {10}$。
我们把这种方法称为“平均数法”。
(1)小聪用“平均数法”解方程$(x+3)(x+7)=5$的过程如下：
原方程变形，得
$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5$。
……
解得$x_{1}=c,x_{2}=d$。
上述过程中$a=$
5
，$b=$2
，$c=$-2
，$d=$-8
。(2)用“平均数法”解方程：
$(x-5)(x+3)=6$。
答案
2. (1) 5 2 $-2$ $-8$
(2) 解方程$(x-5)(x+3)=6$：
原方程变形为$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$，
利用平方差公式得$(x-1)^2 - 4^2=6$，
整理得$(x-1)^2=22$，
开平方得$x-1=\pm\sqrt{22}$，
解得$x_1=1-\sqrt{22}$，$x_2=1+\sqrt{22}$。
3. 当代数式$(a^{2}+2ab+b^{2})-4(a+b-2)$取得最小值时，求$a+b-3$的值。
答案
令$x = a + b$，则原式可转化为：
$\begin{aligned}&x^2 - 4(x - 2)\\=&x^2 - 4x + 8\\=&(x - 2)^2 + 4\end{aligned}$
因为$(x - 2)^2 ≥ 0$，所以当$(x - 2)^2 = 0$，即$x = 2$时，原式取得最小值。
此时$a + b = 2$，则$a + b - 3 = 2 - 3 = -1$。
4. 已知代数式$x^{2}+2(n+1)x+4n^{2}$。
(1)若此代数式是一个关于x的完全平方式，求n的值。
(2)用配方法求此代数式的最小值，并求出此时x的值。
(1)若此代数式是一个关于x的完全平方式，求n的值。
(2)用配方法求此代数式的最小值，并求出此时x的值。
答案
(1) 因为代数式$x^{2}+2(n+1)x+4n^{2}$是关于$x$的完全平方式，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中$a=1$，$b=2(n+1)$，$c=4n^2$，代入得：
$[2(n+1)]^2 - 4×1×4n^2 = 0$
展开化简：
$4(n^2 + 2n + 1) - 16n^2 = 0$
$-12n^2 + 8n + 4 = 0$
两边同除以$-4$得：$3n^2 - 2n - 1 = 0$
因式分解得：$(3n + 1)(n - 1) = 0$
解得$n=1$或$n=-\frac{1}{3}$。
(2) 对代数式配方：
$x^{2}+2(n+1)x+4n^{2}$
$=(x + n + 1)^2 - (n+1)^2 + 4n^2$
$=(x + n + 1)^2 + 3n^2 - 2n - 1$
将$3n^2 - 2n - 1$配方：
$3n^2 - 2n - 1 = 3(n - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$
因此原式$=(x + n + 1)^2 + 3(n - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$。
由于平方项恒非负，当$(x + n + 1)^2=0$且$3(n - \frac{1}{3})^2=0$时，代数式取得最小值$-\frac{4}{3}$。
此时$n=\frac{1}{3}$，代入$x + n + 1=0$得$x=-\frac{4}{3}$。
