1. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角一定等于()

A.底角的一半；
B.顶角的一半；
C.顶角；
D.顶角的 2 倍.

1. B. 提示：不妨设△ABC中，AB=AC. 若∠A为直角，则一条直角边为另一条直角边上的高，其与底边所成的角为45°，是顶角∠A的一半. 若∠A不为直角，则其为锐角或钝角. 如图(1)，若∠A为锐角，易知∠DBC=90°−∠C=90°−$\frac{180°−∠A}{2}$=$\frac{1}{2}$∠A；如图(2)，若∠A为钝角，易知∠DBC=90°−∠C=90°−$\frac{180°−∠A}{2}$=$\frac{1}{2}$∠A. 所以等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.

2. 如图，已知：在△ABC 中，AB＞AC，AD⊥BC，垂足为 D. 求证：∠BAD＞∠CAD.

2.
∵ AB＞AC，
∴ ∠C＞∠B（在三角形中，大边对大角）.
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ ∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠CAD+∠ADC=180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠B+∠BAD+∠ADB=∠C+∠CAD+∠ADC.
∴ ∠BAD＞∠CAD.

3. 如图，已知：AB = AE，BC = ED，∠B = ∠E. 求证：∠C = ∠D.

3. 连接AC、AD.
在△ABC和△AED中，
∵ $\{ \begin{array} { l } { A B = A E , } \\ { ∠ B = ∠ E , } \\ { B C = E D , } \end{array} $
∴ △ABC≌△AED（SAS）.
∴ ∠ACB=∠ADE，AC=AD（全等三角形的对应角相等，对应边相等）.
∴ ∠ACD=∠ADC（等边对等角）.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC.
∴ ∠BCD=∠EDC.

4. 如图，已知：在△ABC 中，AB = 2AC，∠1 = ∠2，AD = BD. 求证：CD⊥AC.

4. 方法一：如图(1)，作DE⊥AB，垂足为E.
根据“等腰三角形三线合一”，可得AB=2AE.
又
∵ AB=2AC，
∴ AC=AE.
可证△AED≌△ACD，得∠ACD=∠AED=90°（全等三角形的对应角相等）.
∴ CD⊥AC.

方法二：如图(2)，延长AC到点F，使得AF=AB，连接DF.
可证△ADF≌△ADB.
∴ DF=DB=DA，AF=AB=2AC（全等三角形的对应边相等）.
∴ C为AF的中点.
∴ CD⊥AC（等腰三角形三线合一）.