4. 求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.

4.如图，已知：在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，$D$是边$BC$的中点，过点$D$作$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$、$F$. 求证：$DE = DF$.
证明：$\because$         $AB = AC$，
$\therefore$         $∠ B = ∠ C$（等边对等角）.
$\because$         $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore$         $∠ BED = ∠ CFD = 90°$.
$\because$         $D$是边$BC$的中点，
$\therefore$         $BD = CD$.
在$△ DBE$和$△ DCF$中，
$\because$         $\begin{cases} ∠ BED = ∠ CFD, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CD, \end{cases}$
$\therefore$         $△ DBE ≌ △ DCF$（AAS）.
$\therefore$         $DE = DF$（全等三角形的对应边相等）.

5. 在建筑施工过程中，工人们常使用一种简便的三角形测平架测量水平位置（指所测直线与水平面平行）. 这种测平架的设计原理是基于等腰三角形的性质，其示意图如图所示，测平架 ABC 的两条边 AB 和 AC 长度相等，在边 BC 的中点 D 处，工人们会悬挂一个重锤 F，让其自然下垂（重锤通常是由铁等金属制作的，自然状态下是竖直下垂的）. 测量时，通过调整架身 BC，使得点 A 恰好在直线 DF 上.
(1) 求证：AD⊥BC；
(2) 这时 BC 与水平面平行，为什么？

5. (1) 因为$D$是$BC$的中点，所以$BD = DC$，又因为$AB = AC$，根据“等腰三角形三线合一”，可得$AD ⊥ BC$.
(2) 这时$BC$处于水平位置，因为$AD ⊥ BC$，且$AD$与水平面垂直，从而由“同位角相等，两直线平行”可得$BC$与水平面平行.