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9.图①是装满了液体的高脚杯示意图，图②是用去部分液体后放在水平桌面上的示意图，数据如图所示。此时液面距离杯口的距离h=
（第9题）
$\frac{8}{5}$
cm。（第9题）答案
9.$\frac{8}{5}$
解析
【分析】
本题中剩余液体形成的三角形与原装满液体的大三角形为相似三角形（液面水平，对应边互相平行）。解题思路如下：第一步先用勾股定理求出原大等腰三角形的高；第二步根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出小三角形的高；第三步用大三角形的高减去小三角形的高，即可得到液面到杯口的距离h。
【解析】
1. 求原大等腰三角形的高：
原三角形底边长为6cm，底的一半为$6÷2=3\mathrm{cm}$，腰长为5cm，根据勾股定理可得：
大三角形的高$H=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
2. 求小三角形的高：
剩余液体的小三角形与大三角形相似，小三角形腰长为3cm，大三角形腰长为5cm，因此相似比$k=\frac{3}{5}$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，设小三角形的高为$h_1$，则：
$\frac{h_1}{H}=\frac{3}{5}$
代入$H=4\mathrm{cm}$，得$h_1=4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$
3. 求液面到杯口的距离h：
$h=H - h_1=4-\frac{12}{5}=\frac{20}{5}-\frac{12}{5}=\frac{8}{5}\mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，核心是识别出两个相似三角形，再结合勾股定理和相似三角形的性质求解，解题时要注意对应边、对应高的比例关系不要弄反。
【难度系数】
0.7
本题中剩余液体形成的三角形与原装满液体的大三角形为相似三角形（液面水平，对应边互相平行）。解题思路如下：第一步先用勾股定理求出原大等腰三角形的高；第二步根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出小三角形的高；第三步用大三角形的高减去小三角形的高，即可得到液面到杯口的距离h。
【解析】
1. 求原大等腰三角形的高：
原三角形底边长为6cm，底的一半为$6÷2=3\mathrm{cm}$，腰长为5cm，根据勾股定理可得：
大三角形的高$H=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
2. 求小三角形的高：
剩余液体的小三角形与大三角形相似，小三角形腰长为3cm，大三角形腰长为5cm，因此相似比$k=\frac{3}{5}$。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，设小三角形的高为$h_1$，则：
$\frac{h_1}{H}=\frac{3}{5}$
代入$H=4\mathrm{cm}$，得$h_1=4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$
3. 求液面到杯口的距离h：
$h=H - h_1=4-\frac{12}{5}=\frac{20}{5}-\frac{12}{5}=\frac{8}{5}\mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，核心是识别出两个相似三角形，再结合勾股定理和相似三角形的性质求解，解题时要注意对应边、对应高的比例关系不要弄反。
【难度系数】
0.7
10.如图,电灯 P 在横杆 AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为 CD,AB//CD,AB=2 m,CD=5 m。
(1)若点 P 到 CD 的距离为 3 m,求点 P到 AB 的距离；
(2)若 PE⊥CD 于点 E,交 AB 于点 F,EF=1 m,求 PF 的长。
(1)若点 P 到 CD 的距离为 3 m,求点 P到 AB 的距离；
(2)若 PE⊥CD 于点 E,交 AB 于点 F,EF=1 m,求 PF 的长。
答案
10. 解:(1)设点 P 到 AB 的距离为 $x \ \mathrm{m}$。
$\because AB// CD$,
$\therefore 易得△ PAB∽△ PCD$。
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{5}$,
解得 $x=\frac{6}{5}$。
$\therefore$ 点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
(2) $\because AB// CD, PE⊥ CD$ 于点 $E$,交$AB$ 于点 $F$,
$\therefore PF⊥ AB$。
$\therefore \frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$。
$\because EF=1\ \mathrm{m}$,
$\therefore \frac{PF}{PF+1}=\frac{2}{5},解得 PF=\frac{2}{3}$。
$\therefore PF$ 的长为 $\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$。
$\because AB// CD$,
$\therefore 易得△ PAB∽△ PCD$。
$\therefore \frac{x}{3}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{5}$,
解得 $x=\frac{6}{5}$。
$\therefore$ 点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
(2) $\because AB// CD, PE⊥ CD$ 于点 $E$,交$AB$ 于点 $F$,
$\therefore PF⊥ AB$。
$\therefore \frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$。
$\because EF=1\ \mathrm{m}$,
$\therefore \frac{PF}{PF+1}=\frac{2}{5},解得 PF=\frac{2}{3}$。
$\therefore PF$ 的长为 $\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先由AB//CD可判定△PAB和△PCD相似，结合相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，即可分两问求解：
(1) 设点P到AB的距离为未知数，将已知的P到CD的距离、AB和CD的边长代入相似比列方程，直接求解即可得到结果；
(2) 由PE⊥CD、AB//CD可推出PF⊥AB，因此PE是P到CD的高，PF是P到AB的高，且PE=PF+EF，同样代入相似比列方程，即可求解PF的长度。
【解析】
(1) 设点P到AB的距离为$x \ \mathrm{m}$。
$\because AB// CD$，
$\therefore △ PAB ∽ △ PCD$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{x}{3}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{5}$，
解得$x=\frac{6}{5}$。
(2) $\because AB// CD$，$PE⊥ CD$且PE交AB于点F，
$\therefore PF⊥ AB$，即$PE=PF+EF$。
由$△ PAB ∽ △ PCD$可得$\frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$，
代入$EF=1\ \mathrm{m}$得：
$\frac{PF}{PF+1}=\frac{2}{5}$，
交叉相乘整理得$3PF=2$，
解得$PF=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 点P到AB的距离为$\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$；
(2) PF的长为$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考察相似三角形对应高的比等于相似比的性质，解题时需准确识别两个相似三角形的对应边和对应高的数量关系，结合方程思想即可快速求解，是相似三角形在投影类实际问题中的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先由AB//CD可判定△PAB和△PCD相似，结合相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，即可分两问求解：
(1) 设点P到AB的距离为未知数，将已知的P到CD的距离、AB和CD的边长代入相似比列方程，直接求解即可得到结果；
(2) 由PE⊥CD、AB//CD可推出PF⊥AB，因此PE是P到CD的高，PF是P到AB的高，且PE=PF+EF，同样代入相似比列方程，即可求解PF的长度。
【解析】
(1) 设点P到AB的距离为$x \ \mathrm{m}$。
$\because AB// CD$，
$\therefore △ PAB ∽ △ PCD$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{x}{3}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{5}$，
解得$x=\frac{6}{5}$。
(2) $\because AB// CD$，$PE⊥ CD$且PE交AB于点F，
$\therefore PF⊥ AB$，即$PE=PF+EF$。
由$△ PAB ∽ △ PCD$可得$\frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$，
代入$EF=1\ \mathrm{m}$得：
$\frac{PF}{PF+1}=\frac{2}{5}$，
交叉相乘整理得$3PF=2$，
解得$PF=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 点P到AB的距离为$\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$；
(2) PF的长为$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$。
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考察相似三角形对应高的比等于相似比的性质，解题时需准确识别两个相似三角形的对应边和对应高的数量关系，结合方程思想即可快速求解，是相似三角形在投影类实际问题中的典型考法。
【难度系数】
0.7
11.(1)如图①,在$Rt△ ABC$中,若$AC=4$,$BC=3$,$∠ C=90°$,$DE⊥ AC$,且$DE=DB$,求$AD$的长；
(2)如图②,已知$△ ABC$,若边$AB$上存在一点$M$,边$AC$上存在一点$N$,使$MB=MN$,且$△ AMN ∽ △ ABC$,请利用没有刻度的直尺和圆规,作出符合条件的线段$MN$。(注:不写作法,保留作图痕迹,对图中涉及的点用字母进行标注)
(2)如图②,已知$△ ABC$,若边$AB$上存在一点$M$,边$AC$上存在一点$N$,使$MB=MN$,且$△ AMN ∽ △ ABC$,请利用没有刻度的直尺和圆规,作出符合条件的线段$MN$。(注:不写作法,保留作图痕迹,对图中涉及的点用字母进行标注)
答案
11. 解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $\because AC=4$,
$BC=3$,
$\therefore AB=5$。
$\because DE⊥ AC,∠ C=90°$,
$\therefore DE// BC$。
$\therefore △ ADE∽△ ABC$。
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB},即\frac{5-AD}{3}=\frac{AD}{5}$,
解得 $AD=\frac{25}{8}$。
$\therefore AD$ 的长为 $\frac{25}{8}$。
(2)如图,作$∠ B$ 的平分线 $BN$,交 $AC$于点 $N$,作 $BN$ 的垂直平分线 $MG$,交$AB$ 于点 $M$,连接 $MN$,$MN$ 即为所求。
解析
【分析】
(1) 先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；由DE⊥AC、∠C=90°可得DE//BC，即可判定△ADE∽△ABC，得到对应边成比例的关系；再结合DE=DB，将DE用含AD的式子表示，代入比例式列方程即可求解AD的长。
(2) 要满足MB=MN，可知点M在BN的垂直平分线上；要满足△AMN∽△ABC，∠A为公共角，需∠AMN=∠ABC，即MN//BC。因此先作∠ABC的平分线交AC于N，再作BN的垂直平分线交AB于M，连接MN即可满足所有条件。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵DE⊥AC，∠C=90°，
∴∠AED=∠C=90°，
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$
∵DE=DB，DB=AB-AD=5-AD，
∴$\frac{5-AD}{3}=\frac{AD}{5}$
交叉相乘得：$5(5-AD)=3AD$，即$25-5AD=3AD$，解得$AD=\frac{25}{8}$。
(2) 首先作∠B的角平分线BN，交AC于点N；再作线段BN的垂直平分线MG，交AB于点M，连接MN，线段MN即为所求。
【答案】
(1) $AD$的长为$\frac{25}{8}$；
(2)
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题综合考查了几何计算和尺规作图相关知识，第一问通过相似三角形建立比例方程求解线段长度，是几何求边长的常用方法；第二问需要结合等腰三角形性质、相似三角形的判定倒推作图思路，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；由DE⊥AC、∠C=90°可得DE//BC，即可判定△ADE∽△ABC，得到对应边成比例的关系；再结合DE=DB，将DE用含AD的式子表示，代入比例式列方程即可求解AD的长。
(2) 要满足MB=MN，可知点M在BN的垂直平分线上；要满足△AMN∽△ABC，∠A为公共角，需∠AMN=∠ABC，即MN//BC。因此先作∠ABC的平分线交AC于N，再作BN的垂直平分线交AB于M，连接MN即可满足所有条件。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵DE⊥AC，∠C=90°，
∴∠AED=∠C=90°，
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$
∵DE=DB，DB=AB-AD=5-AD，
∴$\frac{5-AD}{3}=\frac{AD}{5}$
交叉相乘得：$5(5-AD)=3AD$，即$25-5AD=3AD$，解得$AD=\frac{25}{8}$。
(2) 首先作∠B的角平分线BN，交AC于点N；再作线段BN的垂直平分线MG，交AB于点M，连接MN，线段MN即为所求。
【答案】
(1) $AD$的长为$\frac{25}{8}$；
(2)
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题综合考查了几何计算和尺规作图相关知识，第一问通过相似三角形建立比例方程求解线段长度，是几何求边长的常用方法；第二问需要结合等腰三角形性质、相似三角形的判定倒推作图思路，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
