1. 将分式方程$\frac{x-2}{x-3}+\frac{2}{3-x}=2$化为整式方程，正确的是().

A.$x-2+2=2(x-3)$
B.$x-2-2=2x-3$
C.$x-2-2=2(x-3)$
D.$x-2+2(x-3)=2(x-3)$

1. C

【分析】
要将分式方程化为整式方程，核心思路是去分母，步骤如下：首先观察分式的分母，发现本题中两个分母$x-3$和$3-x$互为相反数，可将$3-x$变形为$-(x-3)$，确定最简公分母为$(x-3)$；再根据等式的性质，给方程的每一项都乘最简公分母，即可消去分母，注意不能漏乘不含分母的常数项，同时要处理好符号变化。
【解析】
首先对原方程的分母进行变形：
原方程为$\frac{x-2}{x-3}+\frac{2}{3-x}=2$，
由$3-x=-(x-3)$，可将方程改写为：$\frac{x-2}{x-3}-\frac{2}{x-3}=2$，
给方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（$x≠3$），每一项都乘$(x-3)$得：
$\frac{x-2}{x-3}×(x-3) - \frac{2}{x-3}×(x-3) = 2×(x-3)$，
约分后可得整式方程：$x-2-2=2(x-3)$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程去分母，相反数变形，等式的性质
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忽略互为相反数的分母对应的符号变化，掌握去分母的基本规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

2. 解下列方程：
(1) $1 - \frac{1}{3x - 1} = \frac{5}{6x - 2}$；
(2) $\frac{18}{x^2 - 9} + 1 = \frac{x}{x - 3}$。

解：(1)方程两边乘$2(3x-1)$，得$2(3x-1)-2=5$。解得$x=\frac{3}{2}$。检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$2(3x-1)≠0$。所以，原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$。
(2)方程两边乘$(x+3)·(x-3)$，得$18+(x+3)(x-3)=x(x+3)$，解得$x=3$。检验：当$x=3$时，$(x+3)(x-3)=0$，因此$x=3$不是原分式方程的解。所以，原分式方程无解。

【分析】
这两道题均为分式方程求解问题，解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根。解题可按三步展开：①找最简公分母：第(1)题先将分母$6x-2$因式分解为$2(3x-1)$，可得最简公分母为$2(3x-1)$；第(2)题利用平方差公式将$x^2-9$因式分解为$(x+3)(x-3)$，可得最简公分母为$(x+3)(x-3)$。②去分母：方程两边同时乘最简公分母，注意不含分母的项也要乘，将分式方程转化为整式方程。③解整式方程后，把所得的根代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 先整理分母得$6x-2=2(3x-1)$，最简公分母为$2(3x-1)$。
方程两边乘$2(3x-1)$，得：
$2(3x-1)-2=5$
去括号：$6x-2-2=5$
移项合并同类项：$6x=9$
系数化为1：$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$2(3x-1)=7≠0$，因此$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
(2) 先因式分解分母得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$。
方程两边乘$(x+3)(x-3)$，得：
$18+(x+3)(x-3)=x(x+3)$
展开计算：$18+x^2-9=x^2+3x$
整理得：$3x=9$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x+3)(x-3)=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；(2) 原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，平方差公式，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，重点考察解分式方程的规范步骤，易错点为去分母时漏乘不含分母的常数项，以及忘记检验增根，解题时要牢记验根是分式方程求解必不可少的环节。
【难度系数】
0.7

3. 若关于$x$的方程$\frac{x}{x-2} - 3 = \frac{a}{x-2}$有正数解，则实数$a$的取值范围是。

3. $a＜6$且$a≠2$

【分析】
本题是分式方程含参求取值范围的问题，解题思路如下：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数a表示的方程的解；第二步，结合“方程有正数解”的条件，即解大于0，列不等式求出a的初步范围；第三步，要注意分式方程的分母不能为0，否则会产生增根，因此需要排除使分母为0的a的取值，最终得到a的完整范围。
【解析】
首先确定分式方程有意义的条件：分母$x-2≠0$，即$x≠2$。
给方程两边同时乘$(x-2)$去分母，得：
$x - 3(x-2) = a$
展开并整理整式方程：
$x - 3x + 6 = a$
$-2x = a - 6$
解得：$x = \frac{6 - a}{2}$
∵ 方程有正数解，
∴ $x ＞ 0$，即$\frac{6 - a}{2} ＞ 0$，
解不等式得：$6 - a ＞ 0$，即$a ＜ 6$。
又
∵ $x ≠ 2$，
∴ $\frac{6 - a}{2} ≠ 2$，
解得：$6 - a ≠ 4$，即$a ≠ 2$。
综上，实数a的取值范围是$a ＜ 6$且$a ≠ 2$。
【答案】
$a＜6$且$a≠2$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；不等式的求解
【点评】
本题属于分式方程的常考题型，解题的关键是牢记分式方程有意义的前提是分母不为0，易错点是容易忽略增根的情况，漏掉$a≠2$的限制条件，求解后一定要检验参数取值是否会导致原方程分母为0。
【难度系数】
0.6

4. 若关于x的方程$\frac{3}{x-1}=1-\frac{k}{1-x}$无解，求k的值.

解：方程两边乘$x-1$，得$3=x-1+k$。解得$x=-k+4$。
∵原分式方程无解，
∴$x=1$，即$-k+4=1$。
∴$k=3$。

【分析】
要解决分式方程无解求参数k的问题，我们可以按以下思路思考：
1. 分式方程的求解首先需要去分母转化为整式方程，所以先给方程两边同乘最简公分母$x-1$，消去分母得到整式方程，再用含k的代数式表示出整式方程的解x；
2. 分式方程无解的常见原因是存在增根，即整式方程的解恰好使原分式方程的分母为0，原方程分母为$x-1$和$1-x$，所以令$x-1=0$，得到增根为$x=1$；
3. 因为方程无解，所以整式方程的解就是增根$x=1$，将其代入用k表示的x的表达式中，即可求出k的值。
【解析】
解：方程两边同乘$x-1$，消去分母得：
$3=x-1+k$
整理得整式方程的解为：$x=-k+4$
∵原分式方程无解，说明解为增根，原分式分母为0时$x-1=0$，即增根为$x=1$
∴将$x=1$代入$x=-k+4$，得：$-k+4=1$
解得：$k=3$
【答案】
$k=3$
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 解分式方程
3. 分式方程无解判定
【点评】
本题是分式方程参数求解的常考题型，解题核心是理解分式方程无解对应增根的性质：增根是去分母后整式方程的解，同时使原分式的分母为0，掌握该逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

5. 阅读下面的材料，并解答问题.
解方程：$\frac{x-1}{x} - \frac{4x}{x-1} = 0$.
解：设 $y = \frac{x-1}{x}$，
则原方程化为 $y - \frac{4}{y} = 0$.
方程两边乘 $y$，得 $y^2 - 4 = 0$，解得 $y = \pm 2$.
经检验，$y = \pm 2$ 都是方程 $y - \frac{4}{y} = 0$ 的解.
$\therefore$ 当 $y = 2$ 时，$\frac{x-1}{x} = 2$，解得 $x = -1$；
当 $y = -2$ 时，$\frac{x-1}{x} = -2$，解得 $x = \frac{1}{3}$.
经检验，$x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$ 都是原分式方程的解.
$\therefore$ 原分式方程的解为 $x = -1$ 或 $x = \frac{1}{3}$.
（1）在方程 $\frac{x-1}{4x} - \frac{x}{x-1} = 0$ 中，设 $y = \frac{x-1}{x}$，则原方程可化为 $\underline{\hspace{5em}}$；
（2）在方程 $\frac{x-1}{x+1} - \frac{4x+4}{x-1} = 0$ 中，设 $y = \frac{x-1}{x+1}$，则原方程可化为 $\underline{\hspace{5em}}$；
（3）仿照上述方法解方程：$\frac{x-1}{x+2} - \frac{3}{x-1} - 1 = 0$.

5. (1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$ (2) $y-\frac{4}{y}=0$ (3)解：整理原方程，得$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$。设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$。方程两边乘$y$，得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$。经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解。
∴当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，该方程无解；当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
∴原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。

【分析】
本题考查换元法在分式方程求解中的应用，解题思路如下：1. 前两小问为换元的基础应用，根据给定的换元表达式，将原方程中对应的分式替换为y，剩余部分变形为含y的代数式，即可得到化简后的关于y的方程；2. 第三小问先将原方程整理为两个互为倒数的分式相减等于0的形式，再仿照材料方法设定合适的换元对象，先求解关于y的方程，再将y的值代回换元式求解x，最后所有分式方程的解都需检验，排除增根。
【解析】
（1）已知设$y=\frac{x-1}{x}$，则$\frac{x-1}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{x-1}{x}=\frac{y}{4}$，$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{\frac{x-1}{x}}=\frac{1}{y}$，代入原方程得$\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$。
（2）已知设$y=\frac{x-1}{x+1}$，则$\frac{4x+4}{x-1}=\frac{4(x+1)}{x-1}=\frac{4}{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{4}{y}$，代入原方程得$y-\frac{4}{y}=0$。
（3）第一步：整理原方程：
$\frac{x-1}{x+2} - \frac{3}{x-1} - 1 = 0$，将后两项合并得$\frac{x-1}{x+2} - (\frac{3}{x-1}+1) = 0$，计算括号内的分式：$\frac{3}{x-1}+1=\frac{3+x-1}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}$，因此原方程化简为$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}=0$。
第二步：换元，设$y=\frac{x-1}{x+2}$，则$\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{y}$，原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$。
第三步：解关于y的方程：两边同乘y（y≠0）得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$。经检验，$y=\pm1$都是方程$y-\frac{1}{y}=0$的解。
第四步：代回求x：
①当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+2}=1$，两边乘$x+2$得$x-1=x+2$，化简得$-1=2$，不成立，该方程无解；
②当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+2}=-1$，两边乘$x+2$得$x-1=-x-2$，移项合并得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
第五步：检验：将$x=-\frac{1}{2}$代入原方程分母，$x+2=\frac{3}{2}≠0$，$x-1=-\frac{3}{2}≠0$，因此$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0$；(2) $y-\frac{4}{y}=0$；(3) 原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
换元法解分式方程、分式方程的检验、分式化简
【点评】
本题以阅读材料的形式引导学生掌握换元法的应用，降低了解题门槛，解题的关键是找准分式之间的倒数关系，合理设定换元对象，同时要注意分式方程求解后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7