1. 中含未知数的方程叫作分式方程。

1. 分母

【分析】
本题考查分式方程的定义类基础概念，解题时先回忆分式和整式的核心区别是分母是否含有字母，而分式方程与整式方程的核心差异就在于未知数的位置，抓住“分式”对应的分母含未知数这个关键特征，就能直接推导得出答案。
【解析】
根据教材中分式方程的明确定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此空缺处应填写“分母”。
【答案】
分母
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对分式方程核心特征的掌握，牢记相关定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

2. 解分式方程的步骤：
（1）去分母：方程两边乘，化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

2. （1）最简公分母；（3）检验，不为0

【分析】
本题考查分式方程的求解步骤，可结合分式方程的特点逐步推导填空：首先分式方程含有分母，要转化为整式方程求解，需要消去分母，因此要在方程两边乘各分母的最简公分母，约去所有分母得到整式方程；其次去分母的过程中可能会产生使原分式分母为0的增根，因此解完整式方程后必须检验，检验时将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，说明该解不会让原分式的分母为0，是原方程的有效解，反之则是增根，需要舍去。
【解析】
（1）去分母的目的是将分式方程转化为整式方程，因此方程两边要乘各分母的最简公分母，可约去所有分母得到整式方程；
（3）为避免出现增根，解完整式方程后需要检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，说明该解不会使原分式方程的分母为0，是原分式方程的解，否则该解为增根，不是原分式方程的解。
【答案】
（1）最简公分母；（3）检验，不为0
【知识点】
分式方程解法，分式方程验根
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对分式方程求解步骤的理解与记忆，熟练掌握去分母的操作要点和验根的判定标准是答对本题的核心，这类基础知识是解分式方程的前提，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

例1 下列方程不是分式方程的是（）.

A.$x+\dfrac{1}{x}=2$
B.$\dfrac{3x+1}{3}=\dfrac{5x+3}{6}$
C.$\dfrac{5x+3}{x}=7$
D.$-5x=\dfrac{1}{7x}$

例1 B

【分析】
要判断一个方程是否为分式方程，核心依据是分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个分析每个选项里方程的分母是否含有未知数x，分母不含未知数的方程就不是分式方程，即为符合题意的选项。
【解析】
根据分式方程的定义，逐个分析选项：
A. 方程$x+\dfrac{1}{x}=2$的分母含未知数$x$，是分式方程，不符合题意；
B. 方程$\dfrac{3x+1}{3}=\dfrac{5x+3}{6}$的分母为3和6，都是常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不是分式方程，符合题意；
C. 方程$\dfrac{5x+3}{x}=7$的分母含未知数$x$，是分式方程，不符合题意；
D. 方程$-5x=\dfrac{1}{7x}$的分母含未知数$x$，是分式方程，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的关键是明确分式方程的判定核心是“分母中含未知数”，易错点是容易将“含分数系数的整式方程”误认为是分式方程，要注意区分：仅系数为分数、分母全是常数的方程属于整式方程，只有分母出现未知数的才是分式方程。
【难度系数】
0.85

例2 要把分式方程$\frac{2}{2x-4}=\frac{3}{2x}$化为整式方程，方程两边应乘的最简公分母是().

A.$2x$
B.$2x-4$
C.$2x(2x-4)$
D.$2x(x-2)$

例2 D

【分析】
要确定分式方程两边应乘的最简公分母，需遵循最简公分母的确定规则：第一步先将各个分母因式分解，第二步取各分母系数的最小公倍数，第三步将所有出现的不同因式取最高次幂相乘，最终结果就是最简公分母。解题时先处理题中的两个分母，先分解可因式分解的分母，再按规则计算即可，同时要注意区分最简公分母和普通公分母，排除非最简的选项。
【解析】
首先对两个分式的分母进行因式分解：
1. 分母$2x-4$提取公因式2，可得$2x-4=2(x-2)$；
2. 另一个分母为$2x$，无需再分解。
接下来确定最简公分母：
系数部分：两个分母的系数均为2，最小公倍数是2；
因式部分：出现的不同因式有$x$和$(x-2)$，各取1次；
因此最简公分母为$2× x×(x-2)=2x(x-2)$。
逐一验证选项：
A选项$2x$缺少因式$(x-2)$，错误；
B选项$2x-4=2(x-2)$缺少因式$x$，错误；
C选项$2x(2x-4)=4x(x-2)$，系数不是最小公倍数，不属于最简公分母，错误；
D选项$2x(x-2)$符合要求，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是分式方程去分母的基础题型，解题核心是先对分母因式分解后再找最简公分母，注意不要直接将原分母相乘，避免得到非最简公分母增加后续计算量。
【难度系数】
0.7

例3 解下列方程：
(1)$\frac{1}{x}=\frac{4}{x+3};$
(2)$\frac{1}{x-2}=\frac{4}{x^2-4}.$

解：(1)方程两边乘$x(x+3)$，得$x+3=4x$。解得$x=1$。检验：当$x=1$时，$x(x+3)≠0$。所以，原分式方程的解为$x=1$。
(2)方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x+2=4$。解得$x=2$。检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$不是原分式方程的解。所以，原分式方程无解。

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：第一步先确定各分母的最简公分母：(1)中分母为x和x+3，无公因式，最简公分母为x(x+3)；(2)中先将$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，可得最简公分母为$(x+2)(x-2)$。第二步方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程。第三步解整式方程。第四步必须检验：因为去分母时默认公分母不为0，因此要将求得的解代入最简公分母，若公分母为0，则该解为增根，原方程无解；若公分母不为0，才是原分式方程的解。
【解析】
(1) 方程两边乘$x(x+3)$，得：
$x+3=4x$
移项合并得$3x=3$，解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$x(x+3)=1×(1+3)=4≠0$，所以$x=1$是原分式方程的解。
(2) 先因式分解得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得：
$x+2=4$
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=(2+2)×(2-2)=0$，因此$x=2$不是原分式方程的解。
所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=1$；(2) 无解
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
3. 平方差因式分解
【点评】
本题是分式方程的基础常规题，重点考查分式方程的标准解题步骤，易错点是遗漏检验环节，或第二题未先对分母因式分解找错最简公分母，需牢记解分式方程最后必须验根，增根需舍去，出现增根时原方程可能无解。
【难度系数】
0.7

1. 下列式子是分式方程的是().

A.$\frac{x}{3}=\frac{x-3}{2}$
B.$\frac{x}{2x-1}+\frac{3}{2x+1}=1$
C.$\frac{1}{3x-1}+\frac{1}{3x+1}$
D.$\frac{3-x}{4}+2=\frac{x-4}{3}$

1. B

【分析】
要判断式子是否为分式方程，需先明确分式方程的两个核心判定条件：一是必须为方程，即含有等号的等式；二是分母中必须含有未知数。解题时可依据这两个条件逐个排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一分析选项：
A选项：式子的分母为3和2，均为常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不符合分式方程的定义；
B选项：式子含有等号属于方程，且分母为2x-1和2x+1，均含有未知数x，符合分式方程的定义；
C选项：该式子没有等号，只是分式相加的代数式，不属于方程，自然不是分式方程；
D选项：式子的分母为4和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不符合分式方程的定义。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记分式方程的判定要点，能准确区分整式方程和分式方程，同时注意不要将不含等号的代数式误判为方程，掌握相关概念后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 解下列方程：
(1)$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x}=0$；
(2)$\frac{1-x}{2-x}-3=\frac{1}{x-2}$；
(3)$\frac{4(x+1)}{x^2 -1}-1=\frac{5}{2(x-1)}$。

解：(1)方程两边乘$x(x+1)$，得$2x-3(x+1)=0$。解得$x=-3$。检验：当$x=-3$时，$x(x+1)≠0$。所以，原分式方程的解为$x=-3$。
(2)方程两边乘$x-2$，得$-(1-x)-3(x-2)=1$。解得$x=2$。检验：当$x=2$时，$x-2=0$，因此$x=2$不是原分式方程的解。所以，原分式方程无解。
(3)方程可化为$\frac{4}{x-1}-1=\frac{5}{2(x-1)}$。方程两边乘$2(x-1)$，得$8-2(x-1)=5$，解得$x=\frac{5}{2}$。检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$2(x+1)(x-1)≠0$。所以，原分式方程的解为$x=\frac{5}{2}$。

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：1.确定各分式分母的最简公分母；2.方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意不要漏乘不含分母的项，得到整式方程；3.解整式方程；4.验根：将整式方程的根代入最简公分母，若公分母为0则该根为增根，原方程无解，若公分母不为0则该根为原方程的解。本题3个小题的处理要点：(1)最简公分母为$x(x+1)$；(2)分母$2-x$与$x-2$互为相反数，可统一为以$x-2$为分母，最简公分母为$x-2$；(3)先利用平方差公式分解第一个分式的分母，约分简化方程后，最简公分母为$2(x-1)$。
【解析】
(1) 方程两边乘$x(x+1)$，得：
$2x-3(x+1)=0$
去括号：$2x-3x-3=0$
合并同类项得：$-x=3$
解得$x=-3$。
检验：当$x=-3$时，$x(x+1)=(-3)×(-2)=6≠0$，符合要求。
(2) 方程两边乘$x-2$，得：
$-(1-x)-3(x-2)=1$
去括号：$-1+x-3x+6=1$
合并同类项得：$-2x=-4$
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，因此$x=2$是增根，不是原分式方程的解。
(3) 先对第一个分式约分，$\frac{4(x+1)}{x^2-1}=\frac{4(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{4}{x-1}$，原方程化为：
$\frac{4}{x-1}-1=\frac{5}{2(x-1)}$
方程两边乘$2(x-1)$，得：
$8-2(x-1)=5$
去括号：$8-2x+2=5$
合并同类项得：$-2x=-5$
解得$x=\frac{5}{2}$。
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，$2(x+1)(x-1)≠0$，符合要求。
【答案】
(1)$x=-3$；(2)无解；(3)$x=\frac{5}{2}$
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；分式约分
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，覆盖了分式方程求解的常见易错点，解题时要注意先对可化简的分式约分以简化计算，去分母时不要漏乘常数项，遇到互为相反数的分母要先统一形式，最后必须验根，避免误将增根作为原方程的解。
【难度系数】
0.7