1. 下列计算正确的是().

A.$(-2)^0=-1$
B.$-2^3=-8$
C.$3^{-1}=-\dfrac{1}{3}$
D.$3^{-2}=-6$

1.B

【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路是先回忆零指数幂、负整数指数幂以及有理数乘方的运算规则，再逐一计算每个选项的结果，判断正误即可。运算前要注意区分底数是否带括号，避免符号判断错误。
【解析】
我们根据相关运算法则逐个分析选项：
选项A：根据零指数幂法则，任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1(a≠0)$，所以$(-2)^0=1≠-1$，A错误。
选项B：$-2^3$表示$2^3$的相反数，先算$2^3=8$，因此$-2^3=-8$，B正确。
选项C：根据负整数指数幂法则，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0，n为正整数)$，所以$3^{-1}=\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}≠-\frac{1}{3}$，C错误。
选项D：同理，$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}≠-6$，D错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于整数指数幂相关的基础运算题，核心考查对零指数、负整数指数运算法则的掌握，做题时要特别注意运算的优先级和符号判断，区分带括号和不带括号的乘方运算的差异，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8

2.（东莞期末）近年来，我国芯片技术取得重大突破，7 nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁。已知7 nm=0.000 007 mm，则数据0.000 007用科学记数法表示为（）。

A.$7×10^{-5}$
B.$7×10^{-7}$
C.$0.7×10^{-5}$
D.$7×10^{-6}$

2.D

【分析】
本题考查用科学记数法表示小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法的表示形式，小于1的正数用科学记数法表示为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。第一步先确定$a$的取值，排除不符合$a$范围的选项；第二步确定指数$n$的取值，$n$等于原数的小数点向右移动到第一个非零数字后面的移动位数，也等于原数第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），据此计算出结果后匹配正确选项即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的标准形式为$a × 10^{-n}$，其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。
1. 确定$a$的取值：将0.000007写成符合$1 ≤ a ＜ 10$的形式，可得$a=7$，选项C中$a=0.7＜1$，不符合科学记数法的规范，排除C。
2. 确定$n$的取值：将0.000007的小数点向右移动6位可得到7，因此$n=6$，即$0.000007 = 7 × 10^{-6}$。
对比选项，A对应$7 × 10^{-5}=0.00007$，B对应$7 × 10^{-7}=0.0000007$，均不符合，只有D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 科学记数法
2. 负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，掌握$a$和$n$的确定方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9

3.（东莞期末）下列计算正确的是（）。

A.$ x^3 · x^3 = 2x^3 $
B.$ x^3 + x^3 = 2x^6 $
C.$ x^3 ÷ x^{-1} = x^4 $
D.$ (3x^2)^3 = 9x^6 $

3.C

【分析】
这道题考查整数指数幂的相关运算与同类项合并规则，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应法则，依次排除错误选项即可得到正确答案。首先需要明确四类运算的规则：①合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；②同底数幂相乘，底数不变，指数相加；③同底数幂相除，底数不变，指数相减（负整数指数幂也适用该规则）；④积的乘方，需要把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂乘法法则，$x^3 · x^3 = x^{3+3}=x^6 ≠ 2x^3$，运算错误，排除；
B选项：$x^3$和$x^3$是同类项，合并同类项得$x^3 + x^3 = 2x^3 ≠ 2x^6$，运算错误，排除；
C选项：根据同底数幂除法法则，$x^3 ÷ x^{-1} = x^{3 - (-1)} = x^4$，运算正确；
D选项：根据积的乘方法则，$(3x^2)^3 = 3^3 · (x^2)^3 = 27x^6 ≠ 9x^6$，运算错误，排除。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂运算，合并同类项，积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题型，核心是区分各类幂运算的规则，避免混淆合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方的运算要求，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 计算：
(1)$x^2y^3 · (2x^{-1}y)^3 = $ ;
(2)$(2xy^{-1})^2 ÷ (-2x^{-2}y) = $ .

(1)$\dfrac{8y^6}{x}$ (2)$-\dfrac{2x^4}{y^3}$

【分析】
本题考查整数指数幂的运算，解题思路如下：①先利用积的乘方、幂的乘方法则计算括号内的乘方运算；②再根据同底数幂的乘、除法法则计算单项式的乘除，运算时系数单独计算，同底数幂分别计算；③最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，得到最终结果，运算过程中注意符号处理。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
$(2x^{-1}y)^3=2^3· (x^{-1})^3· y^3=8x^{-3}y^3$
再计算同底数幂的乘法：
$x^2y^3· 8x^{-3}y^3=8· x^{2+(-3)}· y^{3+3}=8x^{-1}y^6$
将负指数化为正指数：$8x^{-1}y^6=\frac{8y^6}{x}$
(2) 先计算乘方运算：
$(2xy^{-1})^2=2^2· x^2· (y^{-1})^2=4x^2y^{-2}$
再计算同底数幂的除法：
$4x^2y^{-2}÷ (-2x^{-2}y)=\frac{4}{-2}· x^{2-(-2)}· y^{-2-1}=-2x^4y^{-3}$
将负指数化为正指数：$-2x^4y^{-3}=-\frac{2x^4}{y^3}$
【答案】
(1)$\dfrac{8y^6}{x}$；(2)$-\dfrac{2x^4}{y^3}$
【知识点】
整数指数幂运算、积的乘方、同底数幂乘除
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整数指数幂的运算性质，运算时遵循“先乘方、再乘除”的顺序，注意同底数幂运算时指数是加减运算，不要和系数的乘除混淆，同时要注意符号和负指数的转化，熟练掌握运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8

5. 如果a，b，c是整数，且$a^c = b$，那么我们规定一种记号$(a, b) = c$，例如$3^2 = 9$，记作$(3, 9) = 2$。根据以上规定，$(-2, -\frac{1}{32}) = \_\_\_\_\_\_$

$-5$

【分析】
首先准确理解题目给出的新定义规则：记号$(a,b)=c$等价于$a^c=b$，因此求$(-2, -\frac{1}{32})$的值，本质就是找整数$c$，满足$(-2)^c=-\frac{1}{32}$。先根据负数乘方的符号规律（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）判断$c$为奇数，再结合负整数指数幂的性质将$-\frac{1}{32}$转化为以$-2$为底的幂，即可得到$c$的值。
【解析】
根据题中的新定义，设$(-2, -\frac{1}{32})=c$，可得：
$(-2)^c = -\frac{1}{32}$
因为负数的奇次幂为负，所以$c$为奇数，又因为$32=2^5$，因此：
$-\frac{1}{32}=-\frac{1}{2^5}=\frac{1}{(-2)^5}$
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$\frac{1}{(-2)^5}=(-2)^{-5}$
即$(-2)^{-5}=-\frac{1}{32}$，因此$c=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
新定义运算；有理数的乘方；负整数指数幂
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是读懂新定义的运算规则，将陌生的新定义问题转化为已学的整数指数幂运算求解，侧重考查对基础知识点的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

6. 计算：
(1) $(2× 10^{-4}) ÷ (2× 10^{-7})^{-3}$；
(2) $(\dfrac{2}{3})^{-2} × 3^{-1} + (π - 488)^0 ÷ (\dfrac{1}{3})^{-1}$。

解：(1)原式$=(2×10^{-4})×(2×10^{-7})^{3}=(2×10^{-4})×(8×10^{-21})=(2×8)×(10^{-4}×10^{-21})=16×10^{-25}=1.6×10^{-24}$.
(2)原式$=\dfrac{3^2}{2^2}×3^{-1}+1÷3=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{12}$.

【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：
(1) 第一小题先根据负整数指数幂的性质，将除数的负指数转化为正指数，再利用积的乘方法则展开，接着用同底数幂的乘法法则计算，最后把结果调整为规范的科学记数法形式即可。
(2) 第二小题先分别根据负整数指数幂、零指数幂的性质计算每一项，再按照先乘除后加减的运算顺序计算，最后通分求和即可。
【解析】
(1) 原式$=(2×10^{-4})×(2×10^{-7})^{3}$
$=(2×10^{-4})×(8×10^{-21})$
$=(2×8)×(10^{-4}×10^{-21})$
$=16×10^{-25}$
$=1.6×10^{-24}$
(2) 原式$=\dfrac{3^2}{2^2}×\dfrac{1}{3} + 1÷3$
$=\dfrac{9}{4}×\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{9}{12} + \dfrac{4}{12}$
$=\dfrac{13}{12}$
【答案】
(1) $1.6×10^{-24}$；(2) $\dfrac{13}{12}$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，科学记数法
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心要求熟练掌握负指数、零指数的转化规则，运算时注意指数的变化规律，科学记数法要保证$1≤|a|＜10$，遵循运算顺序细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7

7. 雷达可辅助飞机完成航路导航，也能用来探测飞机的飞行位置. 假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，这个过程共用了0.000 052 4 s，已知电磁波的传播速度为$3×10^5$ km/s，求该时刻飞机与雷达间的距离.

解：$0.000 052 4=5.24×10^{-5}$，$5.24×10^{-5}÷2×(3×10^5)=7.86(\mathrm{km})$. 答：该时刻飞机与雷达间的距离为7.86 km.

【分析】
解题时首先要明确电磁波的传播路径：从雷达发射到飞机，再反射回雷达，总路程是飞机与雷达距离的2倍。因此我们需要先将总时间转换为科学记数法的形式，再计算电磁波单程传播的时间，最后结合“路程=速度×时间”的公式，运用整数指数幂的运算规则计算出距离。
【解析】
首先把总时间用科学记数法表示：
$0.0000524 = 5.24×10^{-5}\ \mathrm{s}$
由于电磁波传播的是往返路程，因此飞机与雷达的距离为总路程的一半，列式计算：
$\begin{split}&5.24×10^{-5}÷2×(3×10^5)\\=&(5.24÷2×3)×(10^{-5}×10^5)\\=&7.86×10^0\\=&7.86(\mathrm{km})\end{split}$
【答案】
7.86 km
【知识点】
科学记数法、整数指数幂运算、行程问题公式
【点评】
本题结合实际探测场景命题，需要先理清实际问题中的数量关系，重点考查科学记数法的转换和整数指数幂的运算能力，解题时要注意区分往返路程和单程距离，避免出现忘记除以2的失误。
【难度系数】
0.75

8.（广东改编）已知$x + x^{-1} = \frac{13}{6}$，且$0 ＜ x ＜ 1$，求$x^2 - x^{-2}$的值.

解：$\because 0＜x＜1$，$\therefore x＜\dfrac{1}{x}$，即 $x-\dfrac{1}{x}＜0$. $\because x+x^{-1}=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{13}{6}$，$\therefore (x+\dfrac{1}{x})^2=\dfrac{169}{36}$，即 $x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=\dfrac{169}{36}$. $\therefore (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2=\dfrac{169}{36}-4=\dfrac{25}{36}$.
$\therefore x-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{5}{6}$. $\therefore x^2-x^{-2}=x^2-\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})·(x-\dfrac{1}{x})=\dfrac{13}{6}×(-\dfrac{5}{6})=-\dfrac{65}{36}$.

【分析】
要求$x^2 - x^{-2}$的值，首先可利用平方差公式将其变形为$(x + x^{-1})(x - x^{-1})$，已知$x + x^{-1}=\frac{13}{6}$，因此只需算出$x - x^{-1}$的值即可。首先根据$0＜x＜1$可判断$x ＜ \frac{1}{x}$，即$x - x^{-1}$为负数；再利用完全平方公式的变形关系：$(x - x^{-1})^2=(x + x^{-1})^2 - 4$，代入已知条件算出$(x - x^{-1})^2$的值，开方取负得到$x - x^{-1}$的结果，最后代入平方差的变形式计算即可得到答案。
【解析】
解：$\because 0＜x＜1$，$\therefore x＜\dfrac{1}{x}$，即 $x-x^{-1}=x-\dfrac{1}{x}＜0$。
$\because x+x^{-1}=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{13}{6}$，
$\therefore (x+\dfrac{1}{x})^2=(\dfrac{13}{6})^2=\dfrac{169}{36}$，
展开得 $x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=\dfrac{169}{36}$，即$x^2+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{169}{36}-2=\dfrac{97}{36}$。
$\therefore (x-\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2=\dfrac{97}{36}-2=\dfrac{25}{36}$，
$\therefore x-\dfrac{1}{x}=-\sqrt{\dfrac{25}{36}}=-\dfrac{5}{6}$。
$\therefore x^2-x^{-2}=x^2-\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})(x-\dfrac{1}{x})=\dfrac{13}{6}×(-\dfrac{5}{6})=-\dfrac{65}{36}$。
【答案】
$-\dfrac{65}{36}$
【知识点】
整数指数幂的运算；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整式乘法公式的灵活变形，解题的关键是熟练掌握两个完全平方公式之间的转换关系，同时要注意结合未知数的取值范围判断代数式的符号，避免开方时出现符号错误。
【难度系数】
0.6