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1. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多25%，结果提前2天完成任务.设原计划每天生产x个零件，可列方程为(
A.$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{(1+25\%)x} = 2$
B.$\dfrac{300}{(1+25\%)x} - \dfrac{300}{x} = 2$
C.$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{x+25\%} = 2$
D.$\dfrac{300}{x+25\%} - \dfrac{300}{x} = 2$
A
).A.$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{(1+25\%)x} = 2$
B.$\dfrac{300}{(1+25\%)x} - \dfrac{300}{x} = 2$
C.$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{x+25\%} = 2$
D.$\dfrac{300}{x+25\%} - \dfrac{300}{x} = 2$
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：①先回忆工程问题核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率；②找等量关系：题目中“提前2天完成任务”说明原计划工作时间 - 实际工作时间=2天，这是列方程的依据；③分别表示两个时间：原计划每天生产x个，总零件300个，原计划时间为$\frac{300}{x}$天；实际效率比原计划多25%，即实际效率为$(1+25\%)x$个/天，实际时间为$\frac{300}{(1+25\%)x}$天；④代入等量关系即可得到方程，同时注意易错点：25%是效率增长的比例，不是具体增量，可直接排除C、D；原计划时间更长，所以是原计划时间减实际时间，排除B，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确各量：工作总量为300个，原计划工作效率为x个/天。
1. 计算原计划工作时间：根据工作时间=工作总量÷工作效率，原计划时间为$\dfrac{300}{x}$天；
2. 计算实际工作效率：实际每天生产的零件数比原计划多25%，所以实际效率为$(1+25\%)x$个/天；
3. 计算实际工作时间：实际时间为$\dfrac{300}{(1+25\%)x}$天；
4. 结合“提前2天完成”的等量关系：原计划时间 - 实际时间=2天，列方程得：
$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{(1+25\%)x} = 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系；百分数的实际应用
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是抓住工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，找准“时间差”这一等量关系，同时要注意区分增长率是比例还是具体增量，避免落入易错选项的陷阱。
【难度系数】
0.8
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：①先回忆工程问题核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率；②找等量关系：题目中“提前2天完成任务”说明原计划工作时间 - 实际工作时间=2天，这是列方程的依据；③分别表示两个时间：原计划每天生产x个，总零件300个，原计划时间为$\frac{300}{x}$天；实际效率比原计划多25%，即实际效率为$(1+25\%)x$个/天，实际时间为$\frac{300}{(1+25\%)x}$天；④代入等量关系即可得到方程，同时注意易错点：25%是效率增长的比例，不是具体增量，可直接排除C、D；原计划时间更长，所以是原计划时间减实际时间，排除B，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确各量：工作总量为300个，原计划工作效率为x个/天。
1. 计算原计划工作时间：根据工作时间=工作总量÷工作效率，原计划时间为$\dfrac{300}{x}$天；
2. 计算实际工作效率：实际每天生产的零件数比原计划多25%，所以实际效率为$(1+25\%)x$个/天；
3. 计算实际工作时间：实际时间为$\dfrac{300}{(1+25\%)x}$天；
4. 结合“提前2天完成”的等量关系：原计划时间 - 实际时间=2天，列方程得：
$\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{(1+25\%)x} = 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系；百分数的实际应用
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是抓住工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，找准“时间差”这一等量关系，同时要注意区分增长率是比例还是具体增量，避免落入易错选项的陷阱。
【难度系数】
0.8
2. 某学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一批体育器材. 已知A类器材比B类器材的单价高10元，用300元购买A类器材与用200元购买B类器材的数量相同，则B类器材的单价为
20
元.答案
2. 20
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设B类器材的单价为未知数，根据“A类比B类单价高10元”表示出A类器材的单价，再结合“300元购买A类的数量=200元购买B类的数量”这一等量关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义，即可得到结果。
【解析】
设B类器材的单价为$x$元，则A类器材的单价为$(x+10)$元。
根据“数量=总价÷单价”，结合两种器材购买数量相同的条件，列方程得：
$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$
交叉相乘去分母得：$300x=200(x+10)$
去括号得：$300x=200x+2000$
移项、合并同类项得：$100x=2000$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+10)=20×30=600≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程
【点评】
本题是分式方程应用的基础题，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，要注意解完分式方程后必须检验根是否满足分母不为0，且符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
这是分式方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系。首先设B类器材的单价为未知数，根据“A类比B类单价高10元”表示出A类器材的单价，再结合“300元购买A类的数量=200元购买B类的数量”这一等量关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义，即可得到结果。
【解析】
设B类器材的单价为$x$元，则A类器材的单价为$(x+10)$元。
根据“数量=总价÷单价”，结合两种器材购买数量相同的条件，列方程得：
$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$
交叉相乘去分母得：$300x=200(x+10)$
去括号得：$300x=200x+2000$
移项、合并同类项得：$100x=2000$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+10)=20×30=600≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程
【点评】
本题是分式方程应用的基础题，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，要注意解完分式方程后必须检验根是否满足分母不为0，且符合实际场景要求。
【难度系数】
0.8
3. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用时间与原来组装240辆汽车所用时间相等. 求升级后每小时组装汽车的数量.
答案
3. 解：设升级后每小时组装x辆汽车，则原来每小时组装(x-15)辆汽车. 根据题意，得$\dfrac{360}{x}=\dfrac{240}{x-15}$，解得x=45. 经检验，x=45是原分式方程的解，且符合题意. 答：升级后每小时组装45辆汽车.
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目核心等量关系：升级后组装360辆汽车的时间=原来组装240辆汽车的时间。我们可以直接设升级后每小时组装汽车的数量为未知数x，那么原来每小时组装的数量就是(x-15)辆，再根据“时间=总组装量÷每小时组装量”，用含x的代数式分别表示两个时间，即可列出分式方程求解。求解后要注意对分式方程的根进行检验，既要验证是否为原方程的解，也要验证是否符合实际题意。
【解析】
解：设升级后每小时组装x辆汽车，则原来每小时组装$(x-15)$辆汽车。
根据题意列方程：
$\dfrac{360}{x}=\dfrac{240}{x-15}$
交叉相乘得：$360(x-15)=240x$
去括号得：$360x - 5400 = 240x$
移项、合并同类项得：$120x = 5400$
解得：$x=45$
检验：当$x=45$时，$x(x-15)=45× 30=1350≠ 0$，因此$x=45$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：升级后每小时组装45辆汽车。
【答案】
升级后每小时组装45辆汽车
【知识点】
分式方程的应用；列方程解应用题；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，重点考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，解题时需牢记分式方程必须检验根的合理性，避免出现增根误用的问题。
【难度系数】
0.8
本题是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目核心等量关系：升级后组装360辆汽车的时间=原来组装240辆汽车的时间。我们可以直接设升级后每小时组装汽车的数量为未知数x，那么原来每小时组装的数量就是(x-15)辆，再根据“时间=总组装量÷每小时组装量”，用含x的代数式分别表示两个时间，即可列出分式方程求解。求解后要注意对分式方程的根进行检验，既要验证是否为原方程的解，也要验证是否符合实际题意。
【解析】
解：设升级后每小时组装x辆汽车，则原来每小时组装$(x-15)$辆汽车。
根据题意列方程：
$\dfrac{360}{x}=\dfrac{240}{x-15}$
交叉相乘得：$360(x-15)=240x$
去括号得：$360x - 5400 = 240x$
移项、合并同类项得：$120x = 5400$
解得：$x=45$
检验：当$x=45$时，$x(x-15)=45× 30=1350≠ 0$，因此$x=45$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：升级后每小时组装45辆汽车。
【答案】
升级后每小时组装45辆汽车
【知识点】
分式方程的应用；列方程解应用题；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，重点考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，解题时需牢记分式方程必须检验根的合理性，避免出现增根误用的问题。
【难度系数】
0.8
4. 随着人工智能的快速发展，某快递站使用AI机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且AI机器人分拣3 200件小型包裹比人工分拣1 600件小型包裹少用2 h，求人工每小时分拣小型包裹的数量.
答案
4. 解：设人工每小时分拣x件小型包裹，则AI机器人每小时分拣4x件小型包裹. 根据题意，得$\dfrac{1\ 600}{x}-\dfrac{3\ 200}{4x}=2$，解得x=400. 经检验，x=400是原分式方程的解，且符合题意. 答：人工每小时分拣400件小型包裹.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用问题，解题思路如下：首先确定未知数，题目要求人工每小时分拣的包裹数量，直接设该量为x，结合AI效率是人工的4倍，可得AI每小时分拣4x件；其次找等量关系，题目给出“AI分拣3200件的时间比人工分拣1600件的时间少2小时”，即人工用时减去AI用时等于2小时，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系即可列出分式方程；最后求解方程，注意分式方程解完后必须双重检验，既要验证解使原方程分母不为0，也要验证解符合实际意义，再给出最终答案。
【解析】
解：设人工每小时分拣x件小型包裹，则AI机器人每小时分拣4x件小型包裹。
根据题意，得$\dfrac{1\ 600}{x}-\dfrac{3\ 200}{4x}=2$
化简可得：$\dfrac{1\ 600}{x}-\dfrac{800}{x}=2$
合并得：$\dfrac{800}{x}=2$
解得$x=400$
经检验，$x=400$时，原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：人工每小时分拣400件小型包裹。
【答案】
人工每小时分拣400件小型包裹。
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，工作量公式应用
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是抓住“时间差”这一关键等量关系列方程，解题时需注意分式方程必须检验，既要满足方程成立，也要符合实际场景的要求，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用问题，解题思路如下：首先确定未知数，题目要求人工每小时分拣的包裹数量，直接设该量为x，结合AI效率是人工的4倍，可得AI每小时分拣4x件；其次找等量关系，题目给出“AI分拣3200件的时间比人工分拣1600件的时间少2小时”，即人工用时减去AI用时等于2小时，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系即可列出分式方程；最后求解方程，注意分式方程解完后必须双重检验，既要验证解使原方程分母不为0，也要验证解符合实际意义，再给出最终答案。
【解析】
解：设人工每小时分拣x件小型包裹，则AI机器人每小时分拣4x件小型包裹。
根据题意，得$\dfrac{1\ 600}{x}-\dfrac{3\ 200}{4x}=2$
化简可得：$\dfrac{1\ 600}{x}-\dfrac{800}{x}=2$
合并得：$\dfrac{800}{x}=2$
解得$x=400$
经检验，$x=400$时，原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：人工每小时分拣400件小型包裹。
【答案】
人工每小时分拣400件小型包裹。
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，工作量公式应用
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心是抓住“时间差”这一关键等量关系列方程，解题时需注意分式方程必须检验，既要满足方程成立，也要符合实际场景的要求，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成天数的2倍. 现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独完成，还需6天完工. 则甲队单独完成此项工程需要
18
天.答案
5. 18
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：①工程问题通常将总工作量设为1，工作效率=1÷单独完成工作的天数；②根据“乙队单独完成的天数是甲队单独完成天数的2倍”设未知数，可设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需2x天，分别表示出两队的工作效率；③找等量关系：甲、乙合作10天的工作量 + 乙单独做6天的工作量 = 总工作量1，据此列分式方程；④解分式方程并检验解是否符合实际意义。
【解析】
设甲队单独完成此项工程需要x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，将总工作量看作单位1，则甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{2x}$。
根据题意列方程：
$10×(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}) + 6×\frac{1}{2x} = 1$
化简方程：
$10×\frac{3}{2x} + \frac{3}{x} = 1$
$\frac{15}{x} + \frac{3}{x} = 1$
$\frac{18}{x} = 1$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，分母$x=18≠0$，$2x=36≠0$，所以$x=18$是原分式方程的解，且符合实际工程时间的要求。
【答案】
18
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题求解
3. 解分式方程
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心要掌握工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题时要找准等量关系列方程，注意分式方程求出解后必须检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路如下：①工程问题通常将总工作量设为1，工作效率=1÷单独完成工作的天数；②根据“乙队单独完成的天数是甲队单独完成天数的2倍”设未知数，可设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需2x天，分别表示出两队的工作效率；③找等量关系：甲、乙合作10天的工作量 + 乙单独做6天的工作量 = 总工作量1，据此列分式方程；④解分式方程并检验解是否符合实际意义。
【解析】
设甲队单独完成此项工程需要x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，将总工作量看作单位1，则甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{2x}$。
根据题意列方程：
$10×(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}) + 6×\frac{1}{2x} = 1$
化简方程：
$10×\frac{3}{2x} + \frac{3}{x} = 1$
$\frac{15}{x} + \frac{3}{x} = 1$
$\frac{18}{x} = 1$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，分母$x=18≠0$，$2x=36≠0$，所以$x=18$是原分式方程的解，且符合实际工程时间的要求。
【答案】
18
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 工程问题求解
3. 解分式方程
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，核心要掌握工程问题中工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题时要找准等量关系列方程，注意分式方程求出解后必须检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
6.（广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km，甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙骑自行车的速度.
答案
6. 解：设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h. 根据题意，得$\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{1.2x}=\dfrac{10}{60}$，解得x=12. 经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题意. 答：乙骑自行车的速度为12 km/h.
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，解题核心依据行程公式“路程=速度×时间”推导得到“时间=路程÷速度”。首先明确已知量：总路程为12km，甲的速度是乙的1.2倍，两人行驶同一路程的时间差为10min。解题步骤如下：①先统一单位，将时间差10min换算为$\frac{10}{60}$h，避免单位不统一出错；②设乙的速度为x km/h，可表示出甲的速度为1.2x km/h；③找等量关系：乙行驶全程的时间 - 甲行驶全程的时间 = 时间差，据此列分式方程；④解分式方程后必须检验，既要检验是否为原方程的解，也要检验是否符合实际意义。
【解析】
解：设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h。
根据题意列方程：
$\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{1.2x}=\dfrac{10}{60}$
化简方程右边为$\dfrac{1}{6}$，左边通分计算得：
$\dfrac{14.4-12}{1.2x}=\dfrac{1}{6}$，即$\dfrac{2.4}{1.2x}=\dfrac{1}{6}$，进一步化简得$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{6}$，解得$x=12$。
检验：当$x=12$时，原方程分母$x=12≠0$，$1.2x=14.4≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=12$是原分式方程的解，且符合题意。
答：乙骑自行车的速度为12 km/h。
【答案】
12 km/h
【知识点】
分式方程应用、行程问题、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程应用的典型基础题型，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系，特别要注意单位的统一，避免因时间单位不一致导致列式错误，同时要牢记分式方程求解后需进行双重检验，确保解的正确性与合理性。
【难度系数】
0.7
这是行程类分式方程应用题，解题核心依据行程公式“路程=速度×时间”推导得到“时间=路程÷速度”。首先明确已知量：总路程为12km，甲的速度是乙的1.2倍，两人行驶同一路程的时间差为10min。解题步骤如下：①先统一单位，将时间差10min换算为$\frac{10}{60}$h，避免单位不统一出错；②设乙的速度为x km/h，可表示出甲的速度为1.2x km/h；③找等量关系：乙行驶全程的时间 - 甲行驶全程的时间 = 时间差，据此列分式方程；④解分式方程后必须检验，既要检验是否为原方程的解，也要检验是否符合实际意义。
【解析】
解：设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h。
根据题意列方程：
$\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{1.2x}=\dfrac{10}{60}$
化简方程右边为$\dfrac{1}{6}$，左边通分计算得：
$\dfrac{14.4-12}{1.2x}=\dfrac{1}{6}$，即$\dfrac{2.4}{1.2x}=\dfrac{1}{6}$，进一步化简得$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{6}$，解得$x=12$。
检验：当$x=12$时，原方程分母$x=12≠0$，$1.2x=14.4≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=12$是原分式方程的解，且符合题意。
答：乙骑自行车的速度为12 km/h。
【答案】
12 km/h
【知识点】
分式方程应用、行程问题、分式方程检验
【点评】
本题是分式方程应用的典型基础题型，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系，特别要注意单位的统一，避免因时间单位不一致导致列式错误，同时要牢记分式方程求解后需进行双重检验，确保解的正确性与合理性。
【难度系数】
0.7
