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7.（阳江期末）某商店第一次用6 300元购进某款球鞋，很快卖完.第二次又用4 200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次的1.2倍，数量比第一次减少了40双.
（1）求第一次每双球鞋的进价；
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2 200元，则最低可打几折？
（1）求第一次每双球鞋的进价；
（2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2 200元，则最低可打几折？
答案
7. 解：(1)设第一次每双球鞋的进价为x元，则第二次每双球鞋的进价为1.2x元. 根据题意，得$\dfrac{6\ 300}{x}-\dfrac{4\ 200}{1.2x}=40$，解得x=70. 经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意. 答：第一次每双球鞋的进价为70元.
(2)第二次购进该款球鞋的数量为$\dfrac{4\ 200}{1.2×70}=50$(双). 设打y折. 根据题意，得$160×\dfrac{50}{2}+160×\dfrac{y}{10}×\dfrac{50}{2}-4\ 200≥2\ 200$，解得y≥6. 答：最低可打六折.
(2)第二次购进该款球鞋的数量为$\dfrac{4\ 200}{1.2×70}=50$(双). 设打y折. 根据题意，得$160×\dfrac{50}{2}+160×\dfrac{y}{10}×\dfrac{50}{2}-4\ 200≥2\ 200$，解得y≥6. 答：最低可打六折.
解析
【分析】
（1）本题第一问是分式方程实际应用问题，核心等量关系为：第一次购进球鞋的数量 - 第二次购进球鞋的数量 = 40双。我们可以设第一次每双球鞋进价为x元，那么第二次每双进价为1.2x元，结合“购进数量=总进价÷单进价”即可列出方程求解，注意分式方程的解必须检验是否符合原方程及实际意义。
（2）第二问是一元一次不等式的实际应用问题，核心不等关系为：第二次售鞋总利润≥2200元，总利润=总销售额-总成本。首先结合第一问结果算出第二次的进货总量，再设折扣为y折，注意打y折是按原价的$\frac{y}{10}$销售，分别计算前一半原价销售、后一半打折销售的销售额，代入不等关系即可求出最低折扣。
【解析】
(1) 设第一次每双球鞋的进价为$x$元，则第二次每双球鞋的进价为$1.2x$元。
根据题意列方程：
$\dfrac{6\ 300}{x}-\dfrac{4\ 200}{1.2x}=40$
去分母得：$6300×1.2 - 4200 = 40×1.2x$
计算得：$7560-4200=48x$
解得：$x=70$
经检验，$x=70$是原分式方程的解，且符合实际题意。
(2) 先计算第二次购进球鞋的数量：$\dfrac{4\ 200}{1.2×70}=50$（双）
设最低可打$y$折，根据总利润要求列不等式：
$160×\dfrac{50}{2}+160×\dfrac{y}{10}×\dfrac{50}{2}-4\ 200≥2\ 200$
化简得：$4000 + 400y ≥ 6400$
解得：$y≥6$
【答案】
（1）第一次每双球鞋的进价为70元；（2）最低可打六折。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题贴近生活实际，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，区分等量关系列方程、不等关系列不等式；易错点有两个：一是分式方程求解后忘记检验，二是打折换算错误，打$y$折是原价乘$\frac{y}{10}$而非乘$y$，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.6
（1）本题第一问是分式方程实际应用问题，核心等量关系为：第一次购进球鞋的数量 - 第二次购进球鞋的数量 = 40双。我们可以设第一次每双球鞋进价为x元，那么第二次每双进价为1.2x元，结合“购进数量=总进价÷单进价”即可列出方程求解，注意分式方程的解必须检验是否符合原方程及实际意义。
（2）第二问是一元一次不等式的实际应用问题，核心不等关系为：第二次售鞋总利润≥2200元，总利润=总销售额-总成本。首先结合第一问结果算出第二次的进货总量，再设折扣为y折，注意打y折是按原价的$\frac{y}{10}$销售，分别计算前一半原价销售、后一半打折销售的销售额，代入不等关系即可求出最低折扣。
【解析】
(1) 设第一次每双球鞋的进价为$x$元，则第二次每双球鞋的进价为$1.2x$元。
根据题意列方程：
$\dfrac{6\ 300}{x}-\dfrac{4\ 200}{1.2x}=40$
去分母得：$6300×1.2 - 4200 = 40×1.2x$
计算得：$7560-4200=48x$
解得：$x=70$
经检验，$x=70$是原分式方程的解，且符合实际题意。
(2) 先计算第二次购进球鞋的数量：$\dfrac{4\ 200}{1.2×70}=50$（双）
设最低可打$y$折，根据总利润要求列不等式：
$160×\dfrac{50}{2}+160×\dfrac{y}{10}×\dfrac{50}{2}-4\ 200≥2\ 200$
化简得：$4000 + 400y ≥ 6400$
解得：$y≥6$
【答案】
（1）第一次每双球鞋的进价为70元；（2）最低可打六折。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题贴近生活实际，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，区分等量关系列方程、不等关系列不等式；易错点有两个：一是分式方程求解后忘记检验，二是打折换算错误，打$y$折是原价乘$\frac{y}{10}$而非乘$y$，计算时要格外注意。
【难度系数】
0.6
8. 为落实“城市更新项目”的相关工作，市住建部门计划对老城区部分道路进行改造.现安排甲、乙两个工程队工作，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造360 m的道路比乙队改造同样长的道路少用4天.
(1)求甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米；
(2)若安排甲队工作一天需付费用9万元，安排乙队工作一天需付费用8万元，计划改造的道路全长1 800 m，改造总费用不超过420万元，则至少应安排甲队工作多少天？
(1)求甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米；
(2)若安排甲队工作一天需付费用9万元，安排乙队工作一天需付费用8万元，计划改造的道路全长1 800 m，改造总费用不超过420万元，则至少应安排甲队工作多少天？
答案
8. 解：(1)设乙队每天能改造x m道路，则甲队每天能改造1.5x m道路. 根据题意，得$\dfrac{360}{x}-\dfrac{360}{1.5x}=4$，解得x=30. 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意.
∴1.5x=45. 答：甲队每天能改造45 m道路，乙队每天能改造30 m道路.
(2)设安排甲队工作y天，则安排乙队工作$\dfrac{1\ 800-45y}{30}$天. 根据题意，得$9y+8×\dfrac{1\ 800-45y}{30}≤420$，解得y≥20. 答：至少应安排甲队工作20天.
∴1.5x=45. 答：甲队每天能改造45 m道路，乙队每天能改造30 m道路.
(2)设安排甲队工作y天，则安排乙队工作$\dfrac{1\ 800-45y}{30}$天. 根据题意，得$9y+8×\dfrac{1\ 800-45y}{30}≤420$，解得y≥20. 答：至少应安排甲队工作20天.
解析
【分析】
(1) 第一问属于工程类分式方程应用，解题思路：首先抓住两个核心条件，一是甲队工作效率是乙队的1.5倍，二是改造360m道路甲队比乙队少用4天。我们可以设乙队每天改造的长度为未知数，用含未知数的式子表示甲队的日改造长度，再根据“乙队改造360m的时间 - 甲队改造360m的时间 = 4天”的等量关系列分式方程，求解后需检验解是否为原方程的解且符合实际意义，即可得到两队的日改造长度。
(2) 第二问属于一元一次不等式的实际应用，解题思路：设安排甲队工作的天数为未知数，先计算甲队完成的工作量，剩余工作量由乙队完成，进而表示出乙队需要工作的天数，再根据“甲队总费用 + 乙队总费用 ≤ 420万元”的不等关系列不等式，求解后取符合实际的最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙工程队每天能改造道路的长度为$x$米，则甲工程队每天能改造道路的长度为$1.5x$米。
根据题意列方程：
$\dfrac{360}{x}-\dfrac{360}{1.5x}=4$
解方程：两边同乘$1.5x$去分母得$540-360=6x$，解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$1.5x=45≠0$，$x≠0$，所以$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此甲队每天改造长度为$1.5×30=45$米。
(2) 设安排甲队工作$y$天，则乙队需要工作的天数为$\dfrac{1800-45y}{30}$天。
根据总费用不超过420万元列不等式：
$9y+8×\dfrac{1800-45y}{30}≤420$
解不等式：两边同乘30去分母得$270y+14400-360y≤12600$，移项合并同类项得$-90y≤-1800$，解得$y≥20$，即$y$的最小正整数值为20。
【答案】
(1) 甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米；
(2) 至少应安排甲队工作20天。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题结合城市更新的实际场景，综合考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后要做双检验（检验是否为方程的解、是否符合实际意义），不等式的解要结合实际需求取合适的数值。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于工程类分式方程应用，解题思路：首先抓住两个核心条件，一是甲队工作效率是乙队的1.5倍，二是改造360m道路甲队比乙队少用4天。我们可以设乙队每天改造的长度为未知数，用含未知数的式子表示甲队的日改造长度，再根据“乙队改造360m的时间 - 甲队改造360m的时间 = 4天”的等量关系列分式方程，求解后需检验解是否为原方程的解且符合实际意义，即可得到两队的日改造长度。
(2) 第二问属于一元一次不等式的实际应用，解题思路：设安排甲队工作的天数为未知数，先计算甲队完成的工作量，剩余工作量由乙队完成，进而表示出乙队需要工作的天数，再根据“甲队总费用 + 乙队总费用 ≤ 420万元”的不等关系列不等式，求解后取符合实际的最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙工程队每天能改造道路的长度为$x$米，则甲工程队每天能改造道路的长度为$1.5x$米。
根据题意列方程：
$\dfrac{360}{x}-\dfrac{360}{1.5x}=4$
解方程：两边同乘$1.5x$去分母得$540-360=6x$，解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$1.5x=45≠0$，$x≠0$，所以$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此甲队每天改造长度为$1.5×30=45$米。
(2) 设安排甲队工作$y$天，则乙队需要工作的天数为$\dfrac{1800-45y}{30}$天。
根据总费用不超过420万元列不等式：
$9y+8×\dfrac{1800-45y}{30}≤420$
解不等式：两边同乘30去分母得$270y+14400-360y≤12600$，移项合并同类项得$-90y≤-1800$，解得$y≥20$，即$y$的最小正整数值为20。
【答案】
(1) 甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米；
(2) 至少应安排甲队工作20天。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题结合城市更新的实际场景，综合考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后要做双检验（检验是否为方程的解、是否符合实际意义），不等式的解要结合实际需求取合适的数值。
【难度系数】
0.7
