1. (1)【实验操作】取一组都不为0的数$a$，$b$，$c$，$d$，使得$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立(即$a$，$b$，$c$，$d$成比例).
例如，取$a=2$，$b=3$，$c=4$，$d=6$，分别计算下列各组中两个分式的值，并填写下表；

尝试再换一组数，重复上述计算并观察各组中两个分式的关系.
(2)【观察猜想】根据以上实验，猜想各组中的两个分式之间的关系：
①若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则；
②若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则；
③若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则.
(3)【验证猜想】请从上述猜想中任选一个进行证明；
(4)【归纳运用】根据比例的性质，解决下列问题：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a$，$b$，$c$，$d$均不为0，求证：
①$\frac{a+2b}{b}=\frac{c+2d}{d}$；
②$\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}$.

1. (1) 示例计算结果：$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$，相等；$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$，相等；$\frac{5}{3}$、$\frac{5}{3}$，相等，各组中两个分式均相等。
(2) ①$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ②$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ ③$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
(3) 解：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k≠0$，则$a=kb$，$c=kd$。证明如下：选择①，$\frac{a}{c}=\frac{kb}{kd}=\frac{b}{d}$；选择②，$\because \frac{b}{a}=\frac{b}{kb}=\frac{1}{k}$，$\frac{d}{c}=\frac{d}{kd}=\frac{1}{k}$，$\therefore \frac{b}{a}=\frac{d}{c}$；选择③，$\because \frac{a+b}{b}=\frac{kb+b}{b}=k+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{kd+d}{d}=k+1$，$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
(4) 证明：①$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b}+2=\frac{c}{d}+2$，即$\frac{a+2b}{b}=\frac{c+2d}{d}$。②$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore (\frac{a}{b})^2=(\frac{c}{d})^2$，即$\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}$。

【分析】
解题时首先按照题目给定的成比例的a、b、c、d的取值，分别代入各组分式计算结果，通过对比数值关系形成猜想；验证猜想时采用比例问题常用的“设k法”，将a、c转化为含k、b、d的代数式，分别代入两个分式化简，验证二者相等即可；最后运用性质证明时，结合等式的基本性质对已知比例式做变形，推导得到待证结论。
【解析】
(1) 取示例a=2，b=3，c=4，d=6：
第1组：$\frac{a}{c}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{b}{d}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，二者相等；
第2组：$\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，$\frac{d}{c}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，二者相等；
第3组：$\frac{a+b}{b}=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}$，$\frac{c+d}{d}=\frac{4+6}{6}=\frac{5}{3}$，二者相等；
更换其他成比例的数值计算，结果均为各组两个分式相等。
(2) 根据计算结果可猜想三组关系：
① 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，交叉变形可得$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；
② 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边同时取倒数可得$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$；
③ 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边同时加1变形可得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
(3) 选猜想③验证：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k≠0)$，则$a=kb$，$c=kd$。
左边：$\frac{a+b}{b}=\frac{kb+b}{b}=\frac{b(k+1)}{b}=k+1$，
右边：$\frac{c+d}{d}=\frac{kd+d}{d}=\frac{d(k+1)}{d}=k+1$，
左边=右边，故猜想成立。
(4) 证明：
① 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据等式的性质，两边同时加2得：
$\frac{a}{b}+2=\frac{c}{d}+2$，通分后即$\frac{a+2b}{b}=\frac{c+2d}{d}$，得证。
② 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据等式的性质，两边同时平方得：
$(\frac{a}{b})^2=(\frac{c}{d})^2$，即$\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}$，得证。
【答案】
(1) 示例计算结果：$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$，相等；$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$，相等；$\frac{5}{3}$、$\frac{5}{3}$，相等，各组中两个分式均相等。
(2) ①$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ②$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ ③$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
(3) 示例：选③证明，设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k≠0$，则$a=kb$，$c=kd$。$\because \frac{a+b}{b}=\frac{kb+b}{b}=k+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{kd+d}{d}=k+1$，$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$（选择①②证明均可，过程合理即可）
(4) ①$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b}+2=\frac{c}{d}+2$，即$\frac{a+2b}{b}=\frac{c+2d}{d}$。②$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore (\frac{a}{b})^2=(\frac{c}{d})^2$，即$\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}$。
【知识点】
比例的性质，分式运算，等式的性质
【点评】
本题从特殊值计算入手，引导探究比例的常用变形性质，既考查了基础的分式计算能力，又培养了从特殊到一般的逻辑推理能力，掌握比例的相关变形结论对后续解决分式、相似等相关题型有很大帮助。
【难度系数】
0.7