一般地，单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

系数、同底数幂、指数

【分析】
这道题考查单项式与单项式相乘的运算法则，解题时回忆对应法则内容即可：首先运算两个单项式的数字部分，也就是系数，将系数相乘得到积的系数部分；再处理相同字母部分，也就是同底数幂，按照同底数幂乘法规则运算，结果作为积的因式；最后对于仅在一个单项式中出现的字母，不能遗漏，要将该字母连同它的指数一起保留，作为积的一个因式，对应填入三个空即可。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，因此三个空依次对应填入系数、同底数幂、指数。
【答案】
系数、同底数幂、指数
【知识点】
单项式与单项式相乘法则
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查单项式乘法的核心法则，熟练掌握运算法则是解答这类题目的关键。
【难度系数】
0.9

例1 （教材改编）计算：
(1) $4x · 3xy^2 = (4 × 3)(x · x) · y^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $(-5a^4)(-6ab^3) = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_;$
(3) $(-4x^3) · \frac{1}{2}xy = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_.$

(1) $12x^2y^2$
(2) $[(-5)×(-6)](a^4 · a) · b^3$；$30a^5b^3$
(3) $[(-4)×\frac{1}{2}](x^3 · x) · y$；$-2x^4y$

【分析】
本题考查单项式与单项式相乘的运算，解题思路遵循单项式乘单项式的运算法则：①先算系数的乘积，注意符号运算，同号得正、异号得负；②再把相同字母的幂按照同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）相乘；③对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数直接作为积的因式，不要遗漏。
(1) 先计算系数4和3的乘积，再计算同底数幂x·x的结果，最后保留仅在第二个单项式出现的y²即可；
(2) 先计算负系数的乘积（负负得正），再计算同底数幂$a^4·a$的结果，最后保留仅在第二个单项式出现的$b^3$即可；
(3) 先计算系数-4和$\frac{1}{2}$的乘积，再计算同底数幂$x^3·x$的结果，最后保留仅在第二个单项式出现的y即可。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则计算：
(1) 系数相乘：$4×3=12$，同底数幂相乘：$x·x=x^{1+1}=x^2$，保留$y^2$，因此结果为$12x^2y^2$；
(2) 第一步先组合系数和同底数幂：$[(-5)×(-6)](a^4 · a) · b^3$，再分别计算：系数乘积$(-5)×(-6)=30$，同底数幂$a^4·a=a^{4+1}=a^5$，因此结果为$30a^5b^3$；
(3) 第一步先组合系数和同底数幂：$[(-4)×\frac{1}{2}](x^3 · x) · y$，再分别计算：系数乘积$(-4)×\frac{1}{2}=-2$，同底数幂$x^3·x=x^{3+1}=x^4$，因此结果为$-2x^4y$。
【答案】
(1) $12x^2y^2$
(2) $[(-5)×(-6)](a^4 · a) · b^3$；$30a^5b^3$
(3) $[(-4)×\frac{1}{2}](x^3 · x) · y$；$-2x^4y$
【知识点】
单项式与单项式相乘；同底数幂的乘法；有理数乘法运算
【点评】
本题是单项式乘法的基础训练题，核心是对单项式乘单项式运算法则的理解与运用，计算时需注意系数的符号判断、同底数幂的指数是相加而非相乘，同时不要漏写仅在一个单项式中出现的字母，熟练掌握本题型可为后续整式乘法的学习打好基础。
【难度系数】
0.9

例2（教材改编）面的计算是否正确？若不正确，请写出正确的结果.
(1)$2x^3 · 3x^2 = 6x^6$； （）
(2)$2a^2 · (-3a^2) = 6a^4$； （）
(3)$y^2(-x^3y)^2 = -x^6y^3$； （）

(1) ×，正确结果为$6x^5$
(2) ×，正确结果为$-6a^4$
(3) ×，正确结果为$x^6y^4$

【分析】
解决这类判断单项式运算正误的题目，核心是牢记整式乘法的运算法则，按步骤检查：①如果式子含有乘方运算，先按照积的乘方、幂的乘方法则计算乘方；②再按照单项式乘单项式的规则计算：系数相乘（注意符号判断），同底数幂相乘底数不变、指数相加，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数一起作为积的因式；③对比原题结果判断正误，错的写出正确结果。
【解析】
(1) 根据单项式乘单项式法则：系数相乘，同底数幂的指数相加。
计算$2x^3 · 3x^2$：
系数部分：$2×3=6$，
同底数幂部分：$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5$，
因此原题将同底数幂的指数相加错算成相乘，计算错误。
(2) 计算$2a^2 · (-3a^2)$：
系数部分：$2×(-3)=-6$，
同底数幂部分：$a^2·a^2=a^{2+2}=a^4$，
因此原题系数符号计算错误。
(3) 有乘方先算乘方，根据积的乘方法则：$(-x^3y)^2=(-1)^2·(x^3)^2·y^2=x^6y^2$，
再计算单项式乘法：$y^2·x^6y^2=x^6·y^{2+2}=x^6y^4$，
因此原题乘方的符号计算错误，且y的指数相加错误，计算错误。
【答案】
(1) ×，正确结果为$6x^5$
(2) ×，正确结果为$-6a^4$
(3) ×，正确结果为$x^6y^4$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法，积的乘方
【点评】
本题是单项式乘法的基础判断题，易错点集中在三处：一是混淆同底数幂的运算法则，误将指数相加算成相乘；二是系数或乘方的符号判断错误；三是运算顺序错误，未先计算乘方再计算乘法。做题时按照运算顺序逐步核对系数、符号、指数三部分，就能有效避免错误。
【难度系数】
0.8

例3（教材改编）计算：
(1)$2x^3(3x)^2$；
(2)$(3ab^2)^2(-\dfrac{1}{3}a^2b)$；
(3)$(-3xy^2)^2(-2x^2y^3)^3$。

(1) $18x^5$
(2) $-3a^4b^5$
(3) $-72x^8y^{13}$

【分析】
这三道题均属于单项式与单项式相乘的运算，解题遵循“先算乘方、再算乘法”的顺序：第一步先利用积的乘方、幂的乘方法则化简每个带乘方的单项式；第二步按照单项式乘单项式的法则，将系数相乘作为结果的系数，同底数幂分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数一起作为积的因式，计算过程中要特别注意符号的处理和指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2$
再计算单项式乘法：$2x^3·9x^2=(2×9)·(x^3· x^2)=18x^{3+2}=18x^5$
(2) 先计算积的乘方：$(3ab^2)^2=3^2· a^2· (b^2)^2=9a^2b^4$
再计算单项式乘法：$9a^2b^4·(-\dfrac{1}{3}a^2b)=[9×(-\dfrac{1}{3})]·(a^2· a^2)·(b^4· b)=-3a^{2+2}b^{4+1}=-3a^4b^5$
(3) 分别计算两个积的乘方：
$(-3xy^2)^2=(-3)^2· x^2· (y^2)^2=9x^2y^4$
$(-2x^2y^3)^3=(-2)^3· (x^2)^3· (y^3)^3=-8x^6y^9$
再计算单项式乘法：$9x^2y^4·(-8x^6y^9)=[9×(-8)]·(x^2· x^6)·(y^4· y^9)=-72x^{2+6}y^{4+9}=-72x^8y^{13}$
【答案】
(1) $18x^5$
(2) $-3a^4b^5$
(3) $-72x^8y^{13}$
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查幂的运算性质和单项式乘法法则的掌握情况，计算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，尤其要留意负数乘方的符号和指数的运算，避免出现系数计算错误、同底数幂指数相乘等常见失误。
【难度系数】
0.7

1. 计算$a(-2a^3)$的结果是().

A.$-2a^2$
B.$-2a^4$
C.$2a^2$
D.$2a^4$

B

【分析】
这是单项式与单项式相乘的运算题，解题时可分两步思考：第一步先计算两个单项式系数的乘积，注意符号的判断；第二步计算同底数幂的乘积，按照同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则计算，最后把两部分的结果合并即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数的乘积：$a$的系数为1，$-2a^3$的系数为-2，因此系数乘积为$1×(-2)=-2$；
2. 计算同底数幂的乘积：$a$的指数为1，$a^3$的指数为3，因此$a· a^3=a^{1+3}=a^4$；
3. 合并两部分结果：$a(-2a^3)=-2a^4$。
因此对应选项为B。
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】本题属于基础运算题，核心考查单项式乘法的运算规则，解题时只要注意系数符号的判断、同底数幂指数的计算即可，避免出现指数相乘或者符号判断错误的问题。
【难度系数】0.85

2. 计算$4x · x^2 - x^3$的结果是().

A.4
B.$3x^3$
C.4x
D.$4x^3$

B

【分析】
这道题属于整式混合运算，遵循“先乘除后加减”的运算顺序求解。首先需要计算单项式乘法$4x· x^2$，运用单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘时底数不变、指数相加；得到乘积后，再和后面的$-x^3$合并同类项，合并时仅需将系数相加减，字母和字母的指数保持不变，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算单项式乘法$4x· x^2$
根据单项式与单项式相乘的法则：
系数运算：$4×1=4$
同底数幂运算：$x· x^2=x^{1+2}=x^3$
因此$4x· x^2=4x^3$
第二步：合并同类项
原式$=4x^3 - x^3=(4-1)x^3=3x^3$
【答案】
B
【知识点】
1.单项式与单项式相乘
2.合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查基本运算法则的应用，运算时先理清运算顺序，再准确套用对应法则即可，要注意避免出现计算完乘法后忘记合并同类项的错误。
【难度系数】
0.8

3. 已知单项式 $3x^2y^a$ 和 $-5x^b y^2$ 的积为 $-15x^4 y^5$，则 $ab$ 的值为。

6

【分析】
要解决这道题，首先回忆单项式与单项式相乘的运算法则：单项式相乘时，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。我们可以先按照法则计算出两个单项式的乘积，再根据已知的积，让对应字母的指数相等，分别求出a、b的值，最后计算ab即可。
【解析】
先计算$3x^2y^a · (-5x^b y^2)$：
根据单项式乘单项式法则：
系数相乘：$3 × (-5) = -15$
同底数幂$x$相乘：$x^2 · x^b = x^{2+b}$
同底数幂$y$相乘：$y^a · y^2 = y^{a+2}$
因此乘积为：$-15x^{2+b}y^{a+2}$
已知乘积为$-15x^4 y^5$，根据等式两边相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}2 + b = 4 \\ a + 2 = 5\end{cases}$
解第一个方程得：$b = 4 - 2 = 2$
解第二个方程得：$a = 5 - 2 = 3$
所以$ab = 3 × 2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；代数式求值
【点评】
本题考查单项式乘法的基础应用，解题关键是掌握单项式相乘时同底数幂的运算规则，通过指数对应相等建立方程求解未知数，是整式乘法部分的基础题型，需熟练掌握运算规律。
【难度系数】
0.8

4. 计算：(1)$(-4xy^2)^3 · \frac{3}{4}x^3y$；
(2)$(-a) · (-2a)^2 · (-3a)^3$。

(1) $-48x^6y^7$
(2) $108a^6$

【分析】
这两道题均为单项式乘法相关运算，解题遵循“先算乘方，再算乘法”的运算顺序：①先利用积的乘方法则计算乘方项，注意负数乘方的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正）；②再按照单项式乘单项式的法则计算，将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂按照同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加）计算，最后合并得到结果，全程注意符号的判断。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算单项式乘法：
$\begin{aligned}(-4xy^2)^3 · \frac{3}{4}x^3y&=(-4)^3·x^3·(y^2)^3·\frac{3}{4}x^3y \\&=-64x^3y^6·\frac{3}{4}x^3y \\&=(-64×\frac{3}{4})·(x^3·x^3)·(y^6·y) \\&=-48x^6y^7\end{aligned}$
(2) 先计算各乘方项，再计算单项式连乘：
$\begin{aligned}(-a) · (-2a)^2 · (-3a)^3&=(-a)·(-2)^2·a^2·(-3)^3·a^3 \\&=(-a)·4a^2·(-27a^3) \\&=[(-1)×4×(-27)]·(a·a^2·a^3) \\&=108a^6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-48x^6y^7}$；(2) $\boldsymbol{108a^6}$
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查幂的运算法则和单项式乘法的运算规则，解题的易错点是乘方运算的符号判断、指数运算错误，熟练掌握相关法则后即可轻松解答。
【难度系数】
0.8