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1. 计算$6x^2y^3·(-xy)^2$的结果是(
A.$6x^4y^5$
B.$-6x^4y^5$
C.$6x^4y^6$
D.$-6x^4y^6$
A
).A.$6x^4y^5$
B.$-6x^4y^5$
C.$6x^4y^6$
D.$-6x^4y^6$
答案
A
解析
【分析】
这是整式乘法的基础运算题，解题时遵循“先乘方，再乘法”的运算顺序即可。第一步先处理乘方运算$(-xy)^2$，根据积的乘方法则，注意负数的偶次幂为正，可算出$(-xy)^2$的结果；第二步再将该结果与$6x^2y^3$按照单项式乘单项式的法则计算，系数相乘、同底数幂分别相加，最终得到结果匹配选项。
【解析】
解：第一步先计算乘方：
$(-xy)^2=(-1)^2· x^2· y^2=x^2y^2$
第二步计算单项式乘单项式：
$6x^2y^3· x^2y^2=6×(x^2· x^2)×(y^3· y^2)=6x^{2+2}y^{3+2}=6x^4y^5$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，主要考查运算法则的掌握程度，解题时要注意运算顺序，尤其不要弄错乘方运算的符号，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这是整式乘法的基础运算题，解题时遵循“先乘方，再乘法”的运算顺序即可。第一步先处理乘方运算$(-xy)^2$，根据积的乘方法则，注意负数的偶次幂为正，可算出$(-xy)^2$的结果；第二步再将该结果与$6x^2y^3$按照单项式乘单项式的法则计算，系数相乘、同底数幂分别相加，最终得到结果匹配选项。
【解析】
解：第一步先计算乘方：
$(-xy)^2=(-1)^2· x^2· y^2=x^2y^2$
第二步计算单项式乘单项式：
$6x^2y^3· x^2y^2=6×(x^2· x^2)×(y^3· y^2)=6x^{2+2}y^{3+2}=6x^4y^5$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，主要考查运算法则的掌握程度，解题时要注意运算顺序，尤其不要弄错乘方运算的符号，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 若长方形的长为$6x^2y$，宽为$3xy$，则它的面积为(
A.$9x^3y^2$
B.$18x^3y^2$
C.$18x^2y$
D.$6xy^2$
B
).A.$9x^3y^2$
B.$18x^3y^2$
C.$18x^2y$
D.$6xy^2$
答案
B
解析
【分析】首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，因此本题需要将已知的长和宽代入公式，转化为单项式与单项式相乘的运算。再根据单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别按同底数幂乘法规则计算，最终合并得到结果即可。
【解析】解：根据长方形面积公式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=\mathrm{长}×\mathrm{宽}\\&=6x^2y · 3xy \\&=(6×3)· (x^2· x)· (y· y) \\&=18x^{2+1}y^{1+1} \\&=18x^3y^2\end{aligned}$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】长方形面积计算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】本题属于基础运算题，重点考查单项式乘法的运算法则，解题时注意区分同底数幂相乘指数相加、系数相乘的运算规则，避免出现指数或系数计算错误。
【难度系数】0.9
【解析】解：根据长方形面积公式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=\mathrm{长}×\mathrm{宽}\\&=6x^2y · 3xy \\&=(6×3)· (x^2· x)· (y· y) \\&=18x^{2+1}y^{1+1} \\&=18x^3y^2\end{aligned}$
因此本题选B。
【答案】B
【知识点】长方形面积计算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】本题属于基础运算题，重点考查单项式乘法的运算法则，解题时注意区分同底数幂相乘指数相加、系数相乘的运算规则，避免出现指数或系数计算错误。
【难度系数】0.9
3. 一种计算机每秒可做 $4 × 10^8$ 次运算，则它工作 $3 × 10^3$ s可运算的次数为(
A.$12 × 10^{24}$
B.$1.2 × 10^{12}$
C.$12 × 10^{12}$
D.$1.2 × 10^{24}$
B
).A.$12 × 10^{24}$
B.$1.2 × 10^{12}$
C.$12 × 10^{12}$
D.$1.2 × 10^{24}$
答案
B
解析
【分析】
要计算计算机工作指定时间的总运算次数，首先明确数量关系：总运算次数=每秒运算次数×工作时间。代入已知的两个用科学记数法表示的数值后，需运用单项式与单项式相乘的法则计算：先把系数相乘，再计算同底数幂的乘法，最后将结果调整为标准科学记数法的形式（即$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$），对应选出正确选项即可。
【解析】
根据题意，总运算次数为每秒运算次数乘工作时间，列式得：
$\begin{aligned}&(4×10^8)×(3×10^3)\\=&(4×3)×(10^8×10^3)\\=&12×10^{8+3}\\=&12×10^{11}\\=&1.2×10^{12}\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题考查整式乘法与科学记数法的综合应用，解题的核心是正确列出算式，熟练掌握单项式乘法的运算法则，同时要注意科学记数法的规范格式，避免出现系数不符合$1≤a＜10$要求的错误。
【难度系数】
0.7
要计算计算机工作指定时间的总运算次数，首先明确数量关系：总运算次数=每秒运算次数×工作时间。代入已知的两个用科学记数法表示的数值后，需运用单项式与单项式相乘的法则计算：先把系数相乘，再计算同底数幂的乘法，最后将结果调整为标准科学记数法的形式（即$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$），对应选出正确选项即可。
【解析】
根据题意，总运算次数为每秒运算次数乘工作时间，列式得：
$\begin{aligned}&(4×10^8)×(3×10^3)\\=&(4×3)×(10^8×10^3)\\=&12×10^{8+3}\\=&12×10^{11}\\=&1.2×10^{12}\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；科学记数法
【点评】
本题考查整式乘法与科学记数法的综合应用，解题的核心是正确列出算式，熟练掌握单项式乘法的运算法则，同时要注意科学记数法的规范格式，避免出现系数不符合$1≤a＜10$要求的错误。
【难度系数】
0.7
4. 如果单项式$-2^2x^{2m}y^3$与$x^4y^{n+1}$的差是一个单项式，那么这两个单项式的积是
$-4x^8y^6$
。答案
$-4x^8y^6$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确：若两个单项式的差是单项式，说明这两个单项式是同类项。同类项的特征是所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以利用这个性质先求出参数m、n的值，确定两个单项式的具体形式，再根据单项式与单项式相乘的法则计算它们的乘积即可。
【解析】
∵ 单项式$-2^2x^{2m}y^3$与$x^4y^{n+1}$的差是单项式
∴ 这两个单项式是同类项，即相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}2m=4 \\n+1=3 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=2 \\n=2 \end{cases}$
∴ 两个单项式分别为$-2^2x^4y^3=-4x^4y^3$，$x^4y^3$
计算二者的乘积：
$\begin{aligned}(-4x^4y^3) · x^4y^3&=(-4×1)·(x^4· x^4)·(y^3· y^3) \\&=-4x^{4+4}y^{3+3} \\&=-4x^8y^6\end{aligned}$
【答案】
$-4x^8y^6$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式法则
【点评】
本题是同类项判定和单项式乘法的综合应用题型，解题的关键是理解“两个单项式的差为单项式”的本质是两个单项式为同类项，先求出未知参数再进行乘法运算，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确：若两个单项式的差是单项式，说明这两个单项式是同类项。同类项的特征是所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以利用这个性质先求出参数m、n的值，确定两个单项式的具体形式，再根据单项式与单项式相乘的法则计算它们的乘积即可。
【解析】
∵ 单项式$-2^2x^{2m}y^3$与$x^4y^{n+1}$的差是单项式
∴ 这两个单项式是同类项，即相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}2m=4 \\n+1=3 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=2 \\n=2 \end{cases}$
∴ 两个单项式分别为$-2^2x^4y^3=-4x^4y^3$，$x^4y^3$
计算二者的乘积：
$\begin{aligned}(-4x^4y^3) · x^4y^3&=(-4×1)·(x^4· x^4)·(y^3· y^3) \\&=-4x^{4+4}y^{3+3} \\&=-4x^8y^6\end{aligned}$
【答案】
$-4x^8y^6$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式法则
【点评】
本题是同类项判定和单项式乘法的综合应用题型，解题的关键是理解“两个单项式的差为单项式”的本质是两个单项式为同类项，先求出未知参数再进行乘法运算，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 计算：(1)$2m^3n · (-3mn^2)^2$；
(2)$(-3a^2b)^2 · (-a^2c^3)^3$；
(3)$(-x^2) · x^3 · (-2y)^3 + (2xy)^2 · (-x)^3 y$。
(2)$(-3a^2b)^2 · (-a^2c^3)^3$；
(3)$(-x^2) · x^3 · (-2y)^3 + (2xy)^2 · (-x)^3 y$。
答案
解：(1)原式$=2m^3n · 9m^2n^4=(2×9)(m^3 · m^2)(n · n^4)=18m^5n^5$.
(2)原式$=9a^4b^2 · (-a^6c^9)=[9×(-1)](a^4 · a^6) · b^2 · c^9=-9a^{10}b^2c^9$.
(3)原式$=(-x^2) · x^3 · (-8y^3)+4x^2y^2 · (-x^3y)=[(-1)×(-8)](x^2 · x^3) · y^3+[4×(-1)](x^2 · x^3) · (y^2 · y)=8x^5y^3-4x^5y^3=4x^5y^3$.
(2)原式$=9a^4b^2 · (-a^6c^9)=[9×(-1)](a^4 · a^6) · b^2 · c^9=-9a^{10}b^2c^9$.
(3)原式$=(-x^2) · x^3 · (-8y^3)+4x^2y^2 · (-x^3y)=[(-1)×(-8)](x^2 · x^3) · y^3+[4×(-1)](x^2 · x^3) · (y^2 · y)=8x^5y^3-4x^5y^3=4x^5y^3$.
解析
【分析】
这三道题属于整式乘法的基础运算，解题遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的运算顺序：①先处理积的乘方运算，按照“积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算，注意负数乘方的符号判断（偶次幂为正，奇次幂为负）；②再进行单项式乘单项式运算，把系数、同底数幂分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；③如果运算后有同类项，要合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方$(-3mn^2)^2=(-3)^2· m^2·(n^2)^2=9m^2n^4$，再计算单项式乘法：
原式$=2m^3n · 9m^2n^4=(2×9)(m^3 · m^2)(n · n^4)=18m^5n^5$
(2) 分别计算两个乘方：$(-3a^2b)^2=(-3)^2·(a^2)^2· b^2=9a^4b^2$，$(-a^2c^3)^3=(-1)^3·(a^2)^3·(c^3)^3=-a^6c^9$，再计算单项式乘法：
原式$=9a^4b^2 · (-a^6c^9)=[9×(-1)](a^4 · a^6) · b^2 · c^9=-9a^{10}b^2c^9$
(3) 先分别计算两部分的乘方，再算乘法，最后合并同类项：
首先计算乘方：$(-2y)^3=(-2)^3· y^3=-8y^3$，$(2xy)^2=2^2· x^2· y^2=4x^2y^2$，$(-x)^3=-x^3$
代入原式得：
原式$=(-x^2) · x^3 · (-8y^3)+4x^2y^2 · (-x^3y)$
$=[(-1)×(-8)](x^2 · x^3) · y^3+[4×(-1)](x^2 · x^3) · (y^2 · y)$
$=8x^5y^3-4x^5y^3$
$=4x^5y^3$
【答案】
(1)$18m^5n^5$；(2)$-9a^{10}b^2c^9$；(3)$4x^5y^3$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考查运算顺序和运算法则的掌握，解题时要特别注意符号的判断以及同底数幂相乘时指数相加的规则，避免因粗心出现系数、指数运算错误。
【难度系数】
0.8
这三道题属于整式乘法的基础运算，解题遵循“先乘方、再乘法、最后合并同类项”的运算顺序：①先处理积的乘方运算，按照“积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算，注意负数乘方的符号判断（偶次幂为正，奇次幂为负）；②再进行单项式乘单项式运算，把系数、同底数幂分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；③如果运算后有同类项，要合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方$(-3mn^2)^2=(-3)^2· m^2·(n^2)^2=9m^2n^4$，再计算单项式乘法：
原式$=2m^3n · 9m^2n^4=(2×9)(m^3 · m^2)(n · n^4)=18m^5n^5$
(2) 分别计算两个乘方：$(-3a^2b)^2=(-3)^2·(a^2)^2· b^2=9a^4b^2$，$(-a^2c^3)^3=(-1)^3·(a^2)^3·(c^3)^3=-a^6c^9$，再计算单项式乘法：
原式$=9a^4b^2 · (-a^6c^9)=[9×(-1)](a^4 · a^6) · b^2 · c^9=-9a^{10}b^2c^9$
(3) 先分别计算两部分的乘方，再算乘法，最后合并同类项：
首先计算乘方：$(-2y)^3=(-2)^3· y^3=-8y^3$，$(2xy)^2=2^2· x^2· y^2=4x^2y^2$，$(-x)^3=-x^3$
代入原式得：
原式$=(-x^2) · x^3 · (-8y^3)+4x^2y^2 · (-x^3y)$
$=[(-1)×(-8)](x^2 · x^3) · y^3+[4×(-1)](x^2 · x^3) · (y^2 · y)$
$=8x^5y^3-4x^5y^3$
$=4x^5y^3$
【答案】
(1)$18m^5n^5$；(2)$-9a^{10}b^2c^9$；(3)$4x^5y^3$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考查运算顺序和运算法则的掌握，解题时要特别注意符号的判断以及同底数幂相乘时指数相加的规则，避免因粗心出现系数、指数运算错误。
【难度系数】
0.8
6. 如图，王老师把家里的无线网络密码设置成了数学问题. 密码是
徐⊕[$x^{13}yz^4$]=xu1314
光⊕[$xy^{15} · x^2 z^{20}$]=
ang31520
启⊕[$(x^2 y)^4 · (y^2 z^{44})^2$]=密码
qi8888
.徐⊕[$x^{13}yz^4$]=xu1314
光⊕[$xy^{15} · x^2 z^{20}$]=
ang31520启⊕[$(x^2 y)^4 · (y^2 z^{44})^2$]=密码
答案
qi8888
解析
【分析】
首先观察已知的两个运算等式，总结运算⊕的规律：①结果的前半部分是对应汉字的拼音；②结果的数字部分是中括号内单项式化简后，x、y、z的指数依次拼接得到的数。接下来先利用幂的运算性质化简第三个式子中的单项式，得到x、y、z的指数，再拼接指数，加上“启”的拼音即可得到密码。
【解析】
先总结运算规则：汉字⊕[单项式] = 汉字的拼音 + （单项式化简后x、y、z的指数依次拼接的数）。
化简$(x^2 y)^4 · (y^2 z^{44})^2$：
1. 根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，展开得：
$(x^2)^4· y^4· (y^2)^2· (z^{44})^2$
2. 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$x^8· y^4· y^4· z^{88}$
3. 根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，合并同类项得：
$x^8y^8z^{88}$
可知化简后x的指数为8，y的指数为8，z的指数为88，指数拼接得8888；“启”的拼音为qi，因此密码为qi8888。
【答案】
qi8888
【知识点】
积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于新定义运算类题目，结合趣味性的密码场景考查整式幂运算的相关知识，既需要学生具备观察归纳规律的能力，也要求学生熟练掌握幂运算的相关性质，整体灵活度较高。
【难度系数】
0.75
首先观察已知的两个运算等式，总结运算⊕的规律：①结果的前半部分是对应汉字的拼音；②结果的数字部分是中括号内单项式化简后，x、y、z的指数依次拼接得到的数。接下来先利用幂的运算性质化简第三个式子中的单项式，得到x、y、z的指数，再拼接指数，加上“启”的拼音即可得到密码。
【解析】
先总结运算规则：汉字⊕[单项式] = 汉字的拼音 + （单项式化简后x、y、z的指数依次拼接的数）。
化简$(x^2 y)^4 · (y^2 z^{44})^2$：
1. 根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，展开得：
$(x^2)^4· y^4· (y^2)^2· (z^{44})^2$
2. 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$x^8· y^4· y^4· z^{88}$
3. 根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$，合并同类项得：
$x^8y^8z^{88}$
可知化简后x的指数为8，y的指数为8，z的指数为88，指数拼接得8888；“启”的拼音为qi，因此密码为qi8888。
【答案】
qi8888
【知识点】
积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于新定义运算类题目，结合趣味性的密码场景考查整式幂运算的相关知识，既需要学生具备观察归纳规律的能力，也要求学生熟练掌握幂运算的相关性质，整体灵活度较高。
【难度系数】
0.75
7. 已知
表示$3abc$，
表示$-4x^y w^z$，则
=
表示$3abc$，表示$-4x^y w^z$，则=$-36m^6n^3$
答案
$-36m^6n^3$
解析
【分析】
首先需要读懂题目给出的新符号定义，明确两种插图各自对应的代数式运算规则，再确定插图3所表示的运算式，最后运用单项式与单项式相乘的法则计算即可：第一步先算系数的乘积，第二步算同底数幂的乘积，第三步合并结果得到最终答案。
【解析】
解：由题意可得两种插图的运算规则：
1. 插图1的运算规则：以3为系数，乘上图形内所有字母因式的乘积，即$3 × a × b × c = 3abc$；
2. 插图2的运算规则：以$-4$为系数，乘上图形内对应底数的幂次的乘积，即$-4x^y w^z$。
根据规则，插图3表示的运算为：
$\begin{aligned}&3 · m · n · (-4 m^2) · 3 m^3 n^2 \\=&(3 × (-4) × 3) · (m × m^2 × m^3) · (n × n^2) \\=&-36 m^{1+2+3} n^{1+2} \\=&-36 m^6 n^3\end{aligned}$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
新定义运算；单项式乘单项式；同底数幂乘法
【点评】
本题结合新定义符号考查整式乘法运算，解题核心是准确理解新符号的含义，再按照单项式乘法的运算法则计算即可，计算过程中要注意系数的符号、同底数幂指数的加法运算不要出错。
【难度系数】
0.6
首先需要读懂题目给出的新符号定义，明确两种插图各自对应的代数式运算规则，再确定插图3所表示的运算式，最后运用单项式与单项式相乘的法则计算即可：第一步先算系数的乘积，第二步算同底数幂的乘积，第三步合并结果得到最终答案。
【解析】
解：由题意可得两种插图的运算规则：
1. 插图1的运算规则：以3为系数，乘上图形内所有字母因式的乘积，即$3 × a × b × c = 3abc$；
2. 插图2的运算规则：以$-4$为系数，乘上图形内对应底数的幂次的乘积，即$-4x^y w^z$。
根据规则，插图3表示的运算为：
$\begin{aligned}&3 · m · n · (-4 m^2) · 3 m^3 n^2 \\=&(3 × (-4) × 3) · (m × m^2 × m^3) · (n × n^2) \\=&-36 m^{1+2+3} n^{1+2} \\=&-36 m^6 n^3\end{aligned}$
【答案】
$-36m^6n^3$
【知识点】
新定义运算；单项式乘单项式；同底数幂乘法
【点评】
本题结合新定义符号考查整式乘法运算，解题核心是准确理解新符号的含义，再按照单项式乘法的运算法则计算即可，计算过程中要注意系数的符号、同底数幂指数的加法运算不要出错。
【难度系数】
0.6
8. 有一块长为$x^2 y$ m，宽为$xy^3$ m的长方形空地，现要在这块空地上规划一块长为$\frac{3}{5}x^2 y$ m，宽为$\frac{3}{4}xy^3$ m的长方形空地用于绿化. 求用于绿化的面积和剩余部分的面积.
答案
解：原长方形空地的面积为 $x^2y · xy^3 = x^3y^4 (\mathrm{m}^2)$，
用于绿化的长方形空地的面积为 $\frac{3}{5}x^2y · \frac{3}{4}xy^3 = \frac{9}{20}x^3y^4 (\mathrm{m}^2)$，剩余部分的面积为 $x^3y^4 - \frac{9}{20}x^3y^4 = \frac{11}{20}x^3y^4 (\mathrm{m}^2)$.
用于绿化的长方形空地的面积为 $\frac{3}{5}x^2y · \frac{3}{4}xy^3 = \frac{9}{20}x^3y^4 (\mathrm{m}^2)$，剩余部分的面积为 $x^3y^4 - \frac{9}{20}x^3y^4 = \frac{11}{20}x^3y^4 (\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
解题可按照三步思路推进：首先回忆长方形面积公式为“面积=长×宽”，先利用该公式计算整块长方形空地的总面积；再用同样的方法计算绿化区域的面积，计算时需用到单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂指数相加，最终得到绿化面积；最后用总面积减去绿化面积，合并同类项即可得到剩余部分的面积。
【解析】
解：1. 计算原长方形空地的总面积：
原面积 = 长×宽 = $x^2 y · xy^3 = x^{2+1}y^{1+3} = x^3 y^4 \, (\mathrm{m}^2)$
2. 计算绿化区域的面积：
绿化面积 = 绿化区域长×绿化区域宽 = $\frac{3}{5}x^2 y · \frac{3}{4}xy^3$
系数相乘：$\frac{3}{5} × \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$，同底数幂运算：$x^{2+1}y^{1+3}=x^3y^4$
因此绿化面积为$\frac{9}{20}x^3 y^4 \, (\mathrm{m}^2)$
3. 计算剩余部分的面积：
剩余面积 = 原总面积 - 绿化面积 = $x^3 y^4 - \frac{9}{20}x^3 y^4 = \frac{11}{20}x^3 y^4 \, (\mathrm{m}^2)$
【答案】
用于绿化的面积为$\frac{9}{20}x^3y^4 \, \mathrm{m}^2$，剩余部分的面积为$\frac{11}{20}x^3y^4 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
单项式乘单项式，长方形面积计算，合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，核心考察单项式乘法法则的掌握程度，计算时注意区分系数运算和同底数幂的指数运算规则，即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题可按照三步思路推进：首先回忆长方形面积公式为“面积=长×宽”，先利用该公式计算整块长方形空地的总面积；再用同样的方法计算绿化区域的面积，计算时需用到单项式乘单项式的运算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂指数相加，最终得到绿化面积；最后用总面积减去绿化面积，合并同类项即可得到剩余部分的面积。
【解析】
解：1. 计算原长方形空地的总面积：
原面积 = 长×宽 = $x^2 y · xy^3 = x^{2+1}y^{1+3} = x^3 y^4 \, (\mathrm{m}^2)$
2. 计算绿化区域的面积：
绿化面积 = 绿化区域长×绿化区域宽 = $\frac{3}{5}x^2 y · \frac{3}{4}xy^3$
系数相乘：$\frac{3}{5} × \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$，同底数幂运算：$x^{2+1}y^{1+3}=x^3y^4$
因此绿化面积为$\frac{9}{20}x^3 y^4 \, (\mathrm{m}^2)$
3. 计算剩余部分的面积：
剩余面积 = 原总面积 - 绿化面积 = $x^3 y^4 - \frac{9}{20}x^3 y^4 = \frac{11}{20}x^3 y^4 \, (\mathrm{m}^2)$
【答案】
用于绿化的面积为$\frac{9}{20}x^3y^4 \, \mathrm{m}^2$，剩余部分的面积为$\frac{11}{20}x^3y^4 \, \mathrm{m}^2$
【知识点】
单项式乘单项式，长方形面积计算，合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，核心考察单项式乘法法则的掌握程度，计算时注意区分系数运算和同底数幂的指数运算规则，即可避免出错。
【难度系数】
0.8
9. 已知$2a^3b^2 · (a^4b^2)^y · \frac{1}{2}a^3b = (a^2b)^x$，求$4x -8y +9$的值。
答案
解：由 $2a^3b^2 · (a^4b^2)^y · \frac{1}{2}a^3b = (a^2b)^x$，得 $a^3b^2 · a^{4y}b^{2y} · a^3b = a^{2x}b^x$，即 $a^{3+4y+3}b^{2+2y+1} = a^{6+4y}b^{3+2y} = a^{2x}b^x$，$\therefore 3+2y=x$，即 $x-2y=3$. $\therefore 4x-8y=12$. $\therefore 4x-8y+9=12+9=21$.
解析
【分析】
首先我们需要利用幂的运算性质化简等式左右两边的整式：第一步先处理等式左边的幂的乘方项$(a^4b^2)^y$，根据幂的乘方法则展开；再结合单项式乘单项式的法则，将系数、同底数幂分别合并，得到左边化简后的结果。第二步处理等式右边的积的乘方项$(a^2b)^x$，根据积的乘方法则展开。第三步根据两个相等的单项式中相同字母的指数对应相等，得到x与y的等量关系。第四步观察所求代数式$4x-8y+9$的结构，发现可以将x与y的等量关系整体代入，无需单独求出x、y的具体值即可算出结果。
【解析】
解：先化简等式两边的整式：
左边：$2a^3b^2 · (a^4b^2)^y · \frac{1}{2}a^3b$
先计算幂的乘方：$(a^4b^2)^y=a^{4y}b^{2y}$，再计算系数乘积：$2×\frac{1}{2}=1$
再合并同底数幂：
$a$的指数：$3+4y+3=6+4y$
$b$的指数：$2+2y+1=3+2y$
因此左边化简为：$a^{6+4y}b^{3+2y}$
右边：$(a^2b)^x=a^{2x}b^x$
因为等式左右两边的单项式相等，所以相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}6+4y=2x \\3+2y=x \end{cases}$
整理得：$x-2y=3$
将所求代数式变形：$4x-8y+9=4(x-2y)+9$
把$x-2y=3$代入上式：
原式$=4×3+9=12+9=21$
【答案】
$21$
【知识点】
单项式乘单项式、幂的乘方运算、整体代入求值
【点评】
本题综合考查整式的幂运算和代数式求值，核心是熟练运用幂的相关运算性质化简等式，再利用对应指数相等得到变量的关系，解题时注意观察代数式的结构，采用整体代入的方法可以避免不必要的计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
首先我们需要利用幂的运算性质化简等式左右两边的整式：第一步先处理等式左边的幂的乘方项$(a^4b^2)^y$，根据幂的乘方法则展开；再结合单项式乘单项式的法则，将系数、同底数幂分别合并，得到左边化简后的结果。第二步处理等式右边的积的乘方项$(a^2b)^x$，根据积的乘方法则展开。第三步根据两个相等的单项式中相同字母的指数对应相等，得到x与y的等量关系。第四步观察所求代数式$4x-8y+9$的结构，发现可以将x与y的等量关系整体代入，无需单独求出x、y的具体值即可算出结果。
【解析】
解：先化简等式两边的整式：
左边：$2a^3b^2 · (a^4b^2)^y · \frac{1}{2}a^3b$
先计算幂的乘方：$(a^4b^2)^y=a^{4y}b^{2y}$，再计算系数乘积：$2×\frac{1}{2}=1$
再合并同底数幂：
$a$的指数：$3+4y+3=6+4y$
$b$的指数：$2+2y+1=3+2y$
因此左边化简为：$a^{6+4y}b^{3+2y}$
右边：$(a^2b)^x=a^{2x}b^x$
因为等式左右两边的单项式相等，所以相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}6+4y=2x \\3+2y=x \end{cases}$
整理得：$x-2y=3$
将所求代数式变形：$4x-8y+9=4(x-2y)+9$
把$x-2y=3$代入上式：
原式$=4×3+9=12+9=21$
【答案】
$21$
【知识点】
单项式乘单项式、幂的乘方运算、整体代入求值
【点评】
本题综合考查整式的幂运算和代数式求值，核心是熟练运用幂的相关运算性质化简等式，再利用对应指数相等得到变量的关系，解题时注意观察代数式的结构，采用整体代入的方法可以避免不必要的计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
