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9. 如图,四边形ABCD是矩形。求证:A,B,C,D四点在同一个圆上。
答案
9. 证明:如图,连结AC,BD,交于点O。
因为四边形ABCD是矩形，
所以OA=OB=OC=OD，
所以A,B,C,D四点在以O为圆心、以$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
解析
【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，核心是证明这四个点到同一个定点的距离相等。结合矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，因此我们可以连接矩形的两条对角线，取它们的交点作为该定点，再证明四个顶点到交点的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连结AC，BD，交于点O。
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线互相平分且相等，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$，
根据圆的定义：到定点距离等于定长的所有点在同一个圆上，
∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
【答案】
证明:如图,连结AC,BD,交于点O。
因为四边形ABCD是矩形，
所以OA=OB=OC=OD，
所以A,B,C,D四点在以O为圆心、以$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
【知识点】
矩形的性质；四点共圆的判定；圆的定义
【点评】
本题属于基础证明题，解题的关键是结合圆的定义，利用矩形对角线的性质找到到四个点距离相等的定点，熟练掌握相关几何性质就能快速完成求证。
【难度系数】
0.9
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，核心是证明这四个点到同一个定点的距离相等。结合矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，因此我们可以连接矩形的两条对角线，取它们的交点作为该定点，再证明四个顶点到交点的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连结AC，BD，交于点O。
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形对角线互相平分且相等，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且$AC=BD$，
∴$OA=OB=OC=OD$，
根据圆的定义：到定点距离等于定长的所有点在同一个圆上，
∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
【答案】
证明:如图,连结AC,BD,交于点O。
因为四边形ABCD是矩形，
所以OA=OB=OC=OD，
所以A,B,C,D四点在以O为圆心、以$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
【知识点】
矩形的性质；四点共圆的判定；圆的定义
【点评】
本题属于基础证明题，解题的关键是结合圆的定义，利用矩形对角线的性质找到到四个点距离相等的定点，熟练掌握相关几何性质就能快速完成求证。
【难度系数】
0.9
10. 如图,已知空间站A与星球B的距离为a,信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶,B,C之间的距离为b。如果用S表示飞船C与空间站A的实时距离,那么S的最大值是 (
A.a
B.b
C.$a+b$
D.$a-b$
C
)A.a
B.b
C.$a+b$
D.$a-b$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先明确飞船C的运动轨迹：C在以B为圆心、b为半径的圆上运动。要求空间站A到飞船C的最大距离，结合线段的性质思考：当A、B、C三点共线，且C位于AB的延长线上时，A到C的距离最远，此时距离为AB与BC的长度之和。
【解析】
解：由题意可知，飞船C的运动轨迹是以点B为圆心，BC长b为半径的圆。
根据两点之间线段最短的性质，圆外一点到圆上各点的最大距离为该点到圆心的距离加上圆的半径。
已知A到圆心B的距离为a，圆的半径为b，因此S的最大值为$a+b$。
【答案】
C
【知识点】
圆的概念；点到圆的距离最值；线段的性质
【点评】
本题将圆的基本概念结合实际场景考查，解题的核心是先确定动点的运动轨迹，再结合线段的性质判断最值情况，是对基础知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确飞船C的运动轨迹：C在以B为圆心、b为半径的圆上运动。要求空间站A到飞船C的最大距离，结合线段的性质思考：当A、B、C三点共线，且C位于AB的延长线上时，A到C的距离最远，此时距离为AB与BC的长度之和。
【解析】
解：由题意可知，飞船C的运动轨迹是以点B为圆心，BC长b为半径的圆。
根据两点之间线段最短的性质，圆外一点到圆上各点的最大距离为该点到圆心的距离加上圆的半径。
已知A到圆心B的距离为a，圆的半径为b，因此S的最大值为$a+b$。
【答案】
C
【知识点】
圆的概念；点到圆的距离最值；线段的性质
【点评】
本题将圆的基本概念结合实际场景考查，解题的核心是先确定动点的运动轨迹，再结合线段的性质判断最值情况，是对基础知识点的灵活应用。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1个单位)中选取9个格点(格线的交点称为格点)。如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好
有3个在圆内，则r的取值范围为（
A.$2\sqrt{2}＜r＜\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt{29}$
有3个在圆内，则r的取值范围为（B
）A.$2\sqrt{2}＜r＜\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt{29}$
答案
11. B
解析
【分析】
要解决本题，核心是利用点和圆的位置关系判断规则：当点到圆心的距离d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。解题时首先需要计算除A外所有格点到A的距离，将距离从小到大排序后，要恰好有3个点在圆内，就需要r大于第3近的格点的距离，同时小于等于第4近的格点的距离，保证更远的点不在圆内。
【解析】
利用勾股定理计算各格点到点A的距离，从小到大排序如下：
1. 距离最近的2个格点，距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
2. 第3近的格点，距离为$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$；
3. 第4近的格点，距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；
4. 剩余格点的距离均大于$3\sqrt{2}$。
要恰好3个格点在圆内，需满足前3个近的格点距离小于r，第4个及更远的格点距离不小于r，即$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理的应用
【点评】
本题重点考查点和圆位置关系的实际应用，解题的关键是准确计算各格点到圆心的距离，结合“恰好3个点在圆内”的限定条件确定半径的取值范围，解题时注意区分圆内和圆上的点，避免边界取值出错。
【难度系数】
0.6
要解决本题，核心是利用点和圆的位置关系判断规则：当点到圆心的距离d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。解题时首先需要计算除A外所有格点到A的距离，将距离从小到大排序后，要恰好有3个点在圆内，就需要r大于第3近的格点的距离，同时小于等于第4近的格点的距离，保证更远的点不在圆内。
【解析】
利用勾股定理计算各格点到点A的距离，从小到大排序如下：
1. 距离最近的2个格点，距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
2. 第3近的格点，距离为$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$；
3. 第4近的格点，距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；
4. 剩余格点的距离均大于$3\sqrt{2}$。
要恰好3个格点在圆内，需满足前3个近的格点距离小于r，第4个及更远的格点距离不小于r，即$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理的应用
【点评】
本题重点考查点和圆位置关系的实际应用，解题的关键是准确计算各格点到圆心的距离，结合“恰好3个点在圆内”的限定条件确定半径的取值范围，解题时注意区分圆内和圆上的点，避免边界取值出错。
【难度系数】
0.6
12. 已知平面上点M到⊙O的最大距离是19，最小距离是3，那么⊙O的半径为
8或11
。答案
12. 8或11 【解析】当点M在圆外时，
因为点M到$\odot O$的最大距离是19，最小距离是3，
所以$\odot O$的直径为$19-3=16$，所以$\odot O$的半径为8；
当点M在圆内时，
因为点M到$\odot O$的最大距离是19，最小距离是3，
所以$\odot O$的直径为$19+3=22$，
所以$\odot O$的半径为11。
综上所述，$\odot O$的半径为8或11。
因为点M到$\odot O$的最大距离是19，最小距离是3，
所以$\odot O$的直径为$19-3=16$，所以$\odot O$的半径为8；
当点M在圆内时，
因为点M到$\odot O$的最大距离是19，最小距离是3，
所以$\odot O$的直径为$19+3=22$，
所以$\odot O$的半径为11。
综上所述，$\odot O$的半径为8或11。
解析
【分析】
解决本题首先要明确点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。由于点M到圆存在最大距离和最小距离，说明点M不在圆上（若点在圆上，最小距离为0），因此需分两种情况讨论：①点M在圆外；②点M在圆内。过点M和圆心作直线，与圆交于两点，较远点到M的距离为最大距离，较近点到M的距离为最小距离，结合两种位置关系分别计算直径，再推导半径即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点M在⊙O外时：
⊙O的直径等于点M到圆的最大距离与最小距离的差，即直径为$19-3=16$，因此半径为$16÷2=8$。
2. 当点M在⊙O内时：
⊙O的直径等于点M到圆的最大距离与最小距离的和，即直径为$19+3=22$，因此半径为$22÷2=11$。
综上，⊙O的半径为8或11。
【答案】
8或11
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，容易因漏考虑点在圆内的情况导致少解，解题时要结合点的不同位置分析最大、最小距离与直径的关联，全面覆盖所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。由于点M到圆存在最大距离和最小距离，说明点M不在圆上（若点在圆上，最小距离为0），因此需分两种情况讨论：①点M在圆外；②点M在圆内。过点M和圆心作直线，与圆交于两点，较远点到M的距离为最大距离，较近点到M的距离为最小距离，结合两种位置关系分别计算直径，再推导半径即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点M在⊙O外时：
⊙O的直径等于点M到圆的最大距离与最小距离的差，即直径为$19-3=16$，因此半径为$16÷2=8$。
2. 当点M在⊙O内时：
⊙O的直径等于点M到圆的最大距离与最小距离的和，即直径为$19+3=22$，因此半径为$22÷2=11$。
综上，⊙O的半径为8或11。
【答案】
8或11
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的基本性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，容易因漏考虑点在圆内的情况导致少解，解题时要结合点的不同位置分析最大、最小距离与直径的关联，全面覆盖所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$BC=3$，边$AB$的中点为$M$。
(1)以点$C$为圆心，2为半径作$\odot C$，则点$A$，$B$，$M$分别与$\odot C$有怎样的位置关系？
(2)若以点$C$为圆心作$\odot C$，使$A$，$B$，$M$三点中至少有一点在$\odot C$内，且至少有一点在$\odot C$外，则$\odot C$的半径$r$的取值范围是什么？
(1)以点$C$为圆心，2为半径作$\odot C$，则点$A$，$B$，$M$分别与$\odot C$有怎样的位置关系？
(2)若以点$C$为圆心作$\odot C$，使$A$，$B$，$M$三点中至少有一点在$\odot C$内，且至少有一点在$\odot C$外，则$\odot C$的半径$r$的取值范围是什么？
答案
13. 解:(1)因为在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$BC=3$，
边AB的中点为M，
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
因为以点C为圆心，2为半径作$\odot C$，
所以点A在$\odot C$上，点M在$\odot C$内，点B在$\odot C$外。
(2)以点C为圆心作$\odot C$，使A,B,M三点中至少有一点在$\odot C$内时，$r＞\frac{\sqrt{13}}{2}$，
当至少有一点在$\odot C$外时，$r＜3$，
故$\odot C$的半径r的取值范围为$\frac{\sqrt{13}}{2}＜r＜3$。
边AB的中点为M，
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
因为以点C为圆心，2为半径作$\odot C$，
所以点A在$\odot C$上，点M在$\odot C$内，点B在$\odot C$外。
(2)以点C为圆心作$\odot C$，使A,B,M三点中至少有一点在$\odot C$内时，$r＞\frac{\sqrt{13}}{2}$，
当至少有一点在$\odot C$外时，$r＜3$，
故$\odot C$的半径r的取值范围为$\frac{\sqrt{13}}{2}＜r＜3$。
解析
【分析】
要解决本题，需先明确点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则$d＞r$时点在圆外，$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内。
对于(1)：已知$AC$、$BC$的长度，$M$是直角三角形斜边$AB$的中点，可先通过勾股定理计算$AB$的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到$CM$的长度，最后将三个点到$C$的距离和半径2比较，即可判断三点与圆的位置关系。
对于(2)：先找出三个点到$C$的距离的最小值和最大值，要满足至少一点在圆内，半径需大于最小距离；要满足至少一点在圆外，半径需小于最大距离，综合两个条件即可得到$r$的取值范围。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
$\because$ $M$是$AB$的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore$ $CM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
已知$\odot C$的半径为2，
$\because$ $AC=2=r$，$\therefore$ 点$A$在$\odot C$上；
$\because$ $CM=\frac{\sqrt{13}}{2}＜2=r$，$\therefore$ 点$M$在$\odot C$内；
$\because$ $BC=3＞2=r$，$\therefore$ 点$B$在$\odot C$外。
(2) 三个点到$C$的距离从小到大排序为：$\frac{\sqrt{13}}{2}＜2＜3$，
要使三点中至少有一点在$\odot C$内，则$r＞\frac{\sqrt{13}}{2}$；
要使三点中至少有一点在$\odot C$外，则$r＜3$；
因此$\odot C$的半径$r$的取值范围为$\frac{\sqrt{13}}{2}＜r＜3$。
【答案】
(1) 点$A$在$\odot C$上，点$M$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外；
(2) $\frac{\sqrt{13}}{2}＜r＜3$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定，解题关键是先准确计算各点到圆心的距离，再结合距离和半径的大小关系判断位置；第二问要正确理解“至少一点在圆内”“至少一点在圆外”的含义，准确判断半径的取值边界，避免错取等号。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则$d＞r$时点在圆外，$d=r$时点在圆上，$d＜r$时点在圆内。
对于(1)：已知$AC$、$BC$的长度，$M$是直角三角形斜边$AB$的中点，可先通过勾股定理计算$AB$的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到$CM$的长度，最后将三个点到$C$的距离和半径2比较，即可判断三点与圆的位置关系。
对于(2)：先找出三个点到$C$的距离的最小值和最大值，要满足至少一点在圆内，半径需大于最小距离；要满足至少一点在圆外，半径需小于最大距离，综合两个条件即可得到$r$的取值范围。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=2$，$BC=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
$\because$ $M$是$AB$的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
$\therefore$ $CM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
已知$\odot C$的半径为2，
$\because$ $AC=2=r$，$\therefore$ 点$A$在$\odot C$上；
$\because$ $CM=\frac{\sqrt{13}}{2}＜2=r$，$\therefore$ 点$M$在$\odot C$内；
$\because$ $BC=3＞2=r$，$\therefore$ 点$B$在$\odot C$外。
(2) 三个点到$C$的距离从小到大排序为：$\frac{\sqrt{13}}{2}＜2＜3$，
要使三点中至少有一点在$\odot C$内，则$r＞\frac{\sqrt{13}}{2}$；
要使三点中至少有一点在$\odot C$外，则$r＜3$；
因此$\odot C$的半径$r$的取值范围为$\frac{\sqrt{13}}{2}＜r＜3$。
【答案】
(1) 点$A$在$\odot C$上，点$M$在$\odot C$内，点$B$在$\odot C$外；
(2) $\frac{\sqrt{13}}{2}＜r＜3$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题重点考查点与圆位置关系的判定，解题关键是先准确计算各点到圆心的距离，再结合距离和半径的大小关系判断位置；第二问要正确理解“至少一点在圆内”“至少一点在圆外”的含义，准确判断半径的取值边界，避免错取等号。
【难度系数】
0.7
