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1. 下列图形中的角是圆心角的是（
B
）答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个角是不是圆心角，首先要明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须在圆的圆心处；②角的两条边都要与圆相交（即两条边都是圆的半径）。解题时我们只需对照这两个条件，逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角叫做圆心角，逐一分析选项：
选项A：角的顶点为点C，不在圆心O处，不符合圆心角的定义，排除；
选项B：角的顶点为圆心O，两边OA、OB均为圆的半径，与圆相交，完全符合圆心角的定义；
选项C：角的顶点为点C，在圆上，属于圆周角，不符合圆心角的定义，排除；
选项D：角的顶点为点C，在圆外，不符合圆心角的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确掌握圆心角的特征，就能快速选出正确答案，是对基础概念识记和理解能力的考查。
【难度系数】
0.9
要判断一个角是不是圆心角，首先要明确圆心角的判定条件：①角的顶点必须在圆的圆心处；②角的两条边都要与圆相交（即两条边都是圆的半径）。解题时我们只需对照这两个条件，逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义：顶点在圆心，且两边均与圆相交的角叫做圆心角，逐一分析选项：
选项A：角的顶点为点C，不在圆心O处，不符合圆心角的定义，排除；
选项B：角的顶点为圆心O，两边OA、OB均为圆的半径，与圆相交，完全符合圆心角的定义；
选项C：角的顶点为点C，在圆上，属于圆周角，不符合圆心角的定义，排除；
选项D：角的顶点为点C，在圆外，不符合圆心角的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确掌握圆心角的特征，就能快速选出正确答案，是对基础概念识记和理解能力的考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，圆心角$∠ AOB=25°$，将$∠ AOB$旋转$n°$得到$∠ COD$，则$\overset{\frown}{CD}$的度数为（
A.$25°$
B.$25° + n°$
C.$50°$
D.$50° + n°$
A
）A.$25°$
B.$25° + n°$
C.$50°$
D.$50° + n°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应角的大小不变；其次明确弧的度数等于它所对的圆心角的度数。第一步先根据旋转性质得出∠COD与∠AOB的大小关系，第二步结合弧的度数和圆心角的对应关系，即可求出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
解：
∵将$∠ AOB$旋转$n°$得到$∠ COD$，根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，
∴$∠ COD=∠ AOB=25°$。
又
∵弧的度数等于它所对的圆心角的度数，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数等于$∠ COD$的度数，为$25°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；圆心角与弧的度数关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查旋转的性质以及圆心角和弧度数的对应关系，牢记相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应角的大小不变；其次明确弧的度数等于它所对的圆心角的度数。第一步先根据旋转性质得出∠COD与∠AOB的大小关系，第二步结合弧的度数和圆心角的对应关系，即可求出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
解：
∵将$∠ AOB$旋转$n°$得到$∠ COD$，根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，
∴$∠ COD=∠ AOB=25°$。
又
∵弧的度数等于它所对的圆心角的度数，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数等于$∠ COD$的度数，为$25°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；圆心角与弧的度数关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查旋转的性质以及圆心角和弧度数的对应关系，牢记相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图，在$\odot O$中，$∠ A=30°$，劣弧AB的度数是 （
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
D
）A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
3. D
解析
【分析】
要计算劣弧AB的度数，需先求出劣弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，因为劣弧的度数等于它所对圆心角的度数。首先连接OB，OA和OB都是圆的半径，长度相等，因此△OAB是等腰三角形，已知∠A=30°，根据等腰三角形两底角相等的性质可得到∠B的度数，再结合三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数，进而得到劣弧AB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵ OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ B=∠ A=30°$，
在$△ AOB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-30°=120°$，
∵ 劣弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴ 劣弧AB的度数为$120°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角的条件转化为求圆心角的条件，再结合弧的度数与圆心角度数的对应关系求解，需注意区分劣弧和优弧对应的圆心角。
【难度系数】
0.8
要计算劣弧AB的度数，需先求出劣弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，因为劣弧的度数等于它所对圆心角的度数。首先连接OB，OA和OB都是圆的半径，长度相等，因此△OAB是等腰三角形，已知∠A=30°，根据等腰三角形两底角相等的性质可得到∠B的度数，再结合三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数，进而得到劣弧AB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵ OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ B=∠ A=30°$，
在$△ AOB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-30°=120°$，
∵ 劣弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴ 劣弧AB的度数为$120°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，将已知角的条件转化为求圆心角的条件，再结合弧的度数与圆心角度数的对应关系求解，需注意区分劣弧和优弧对应的圆心角。
【难度系数】
0.8
4. 如图，等边三角形ABC内接于$\odot O$，则下列说法中错误的是 （
）
A.$\overset{\frown}{AB}$的度数为$120°$
B.$\overset{\frown}{AC}$的度数为$120°$
C.$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$240°$
D.$\overset{\frown}{ABC}$的度数为$120°$
）A.$\overset{\frown}{AB}$的度数为$120°$
B.$\overset{\frown}{AC}$的度数为$120°$
C.$\overset{\frown}{ACB}$的度数为$240°$
D.$\overset{\frown}{ABC}$的度数为$120°$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先明确两个核心知识点：一是弧的度数等于它所对圆心角的度数；二是同圆中相等的弦所对的圆心角相等。首先根据等边三角形三边相等的性质，得到三条弦AB=BC=AC，进而推出它们所对的圆心角相等，结合圆周为360°算出每个圆心角的度数，再分别计算各选项对应弧的度数，判断正误即可。
【解析】
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴AB=BC=AC，
根据圆心角定理：同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴弦AB、BC、AC所对的圆心角∠AOB、∠BOC、∠AOC相等，
∵周角为360°，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=360°÷3=120°$。
弧的度数等于它所对圆心角的度数，据此判断各选项：
A. 劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应圆心角$∠ AOB=120°$，故$\overset{\frown}{AB}$的度数为120°，A说法正确；
B. 劣弧$\overset{\frown}{AC}$对应圆心角$∠ AOC=120°$，故$\overset{\frown}{AC}$的度数为120°，B说法正确；
C. $\overset{\frown}{ACB}$是端点为A、B，经过点C的优弧，它的度数$=360°-\mathrm{劣弧}\overset{\frown}{AB}\mathrm{的度数}=360°-120°=240°$，C说法正确；
D. $\overset{\frown}{ABC}$是端点为A、C，经过点B的优弧，它的度数$=360°-\mathrm{劣弧}\overset{\frown}{AC}\mathrm{的度数}=360°-120°=240°≠120°$，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
圆心角定理，等边三角形性质，弧的度数计算
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题，解题关键是掌握弧的度数与对应圆心角度数的关系，注意区分三个字母表示的优弧和两个字母表示的劣弧，避免混淆弧的范围导致判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心知识点：一是弧的度数等于它所对圆心角的度数；二是同圆中相等的弦所对的圆心角相等。首先根据等边三角形三边相等的性质，得到三条弦AB=BC=AC，进而推出它们所对的圆心角相等，结合圆周为360°算出每个圆心角的度数，再分别计算各选项对应弧的度数，判断正误即可。
【解析】
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴AB=BC=AC，
根据圆心角定理：同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴弦AB、BC、AC所对的圆心角∠AOB、∠BOC、∠AOC相等，
∵周角为360°，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=360°÷3=120°$。
弧的度数等于它所对圆心角的度数，据此判断各选项：
A. 劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应圆心角$∠ AOB=120°$，故$\overset{\frown}{AB}$的度数为120°，A说法正确；
B. 劣弧$\overset{\frown}{AC}$对应圆心角$∠ AOC=120°$，故$\overset{\frown}{AC}$的度数为120°，B说法正确；
C. $\overset{\frown}{ACB}$是端点为A、B，经过点C的优弧，它的度数$=360°-\mathrm{劣弧}\overset{\frown}{AB}\mathrm{的度数}=360°-120°=240°$，C说法正确；
D. $\overset{\frown}{ABC}$是端点为A、C，经过点B的优弧，它的度数$=360°-\mathrm{劣弧}\overset{\frown}{AC}\mathrm{的度数}=360°-120°=240°≠120°$，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
圆心角定理，等边三角形性质，弧的度数计算
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题，解题关键是掌握弧的度数与对应圆心角度数的关系，注意区分三个字母表示的优弧和两个字母表示的劣弧，避免混淆弧的范围导致判断错误。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AB，CD分别为$\odot O$的两条弦，$∠ AOB=∠ COD$，则下列结论：①$AB=CD$。②$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。③$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。其中正确的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先回忆圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。首先结合已知条件∠AOB=∠COD，且两个角都是⊙O的圆心角，可直接判断对应的弦AB、CD以及对应的弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$的关系；再分析结论②：若要$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，需要对应圆心角∠AOC=∠BOD，但题中没有给出能推导这两个角相等的条件，因此②不成立，最终筛选出正确结论即可。
【解析】
1. 已知∠AOB和∠COD都是⊙O的圆心角，且∠AOB=∠COD，根据圆心角定理：同圆中相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，可得$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故①③结论正确。
2. 对于结论②：$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角是∠AOC，$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角是∠BOD，仅由∠AOB=∠COD无法推出∠AOC=∠BOD，因此无法得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，结论②错误。
综上，正确的结论是①③，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角定理，弦与圆心角的关系，弧与圆心角的关系
【点评】
本题核心考查圆心角定理的应用，解题时要注意只有同圆或等圆中相等的圆心角才能对应相等的弦和弧，不要主观添加题目未给出的角相等的条件，避免错判结论②。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。首先结合已知条件∠AOB=∠COD，且两个角都是⊙O的圆心角，可直接判断对应的弦AB、CD以及对应的弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$的关系；再分析结论②：若要$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，需要对应圆心角∠AOC=∠BOD，但题中没有给出能推导这两个角相等的条件，因此②不成立，最终筛选出正确结论即可。
【解析】
1. 已知∠AOB和∠COD都是⊙O的圆心角，且∠AOB=∠COD，根据圆心角定理：同圆中相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，可得$AB=CD$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故①③结论正确。
2. 对于结论②：$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角是∠AOC，$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角是∠BOD，仅由∠AOB=∠COD无法推出∠AOC=∠BOD，因此无法得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，结论②错误。
综上，正确的结论是①③，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角定理，弦与圆心角的关系，弧与圆心角的关系
【点评】
本题核心考查圆心角定理的应用，解题时要注意只有同圆或等圆中相等的圆心角才能对应相等的弦和弧，不要主观添加题目未给出的角相等的条件，避免错判结论②。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在两个同心圆中,$\overset{\frown}{AB}$的度数为$60°$,则$\overset{\frown}{CD}$的度数为
60°
。答案
6. 60°
解析
【分析】
解答本题首先要明确弧的度数的相关性质：弧的度数等于它所对的圆心角的度数。观察图形可知，$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角是同一个角$∠ AOB$（即$∠ COD$），因此两个圆心角相等，对应的弧的度数也相等，结合已知$\overset{\frown}{AB}$的度数即可求出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
根据弧的度数的性质：弧的度数等于它所对圆心角的度数。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数为$60°$，
∴$∠ AOB=60°$，
又
∵$∠ COD$与$∠ AOB$是同一个角，即$∠ COD=∠ AOB=60°$，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数等于$∠ COD$的度数，为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
弧的度数与圆心角的关系，同心圆的特征
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是掌握弧的度数和对应圆心角度数相等的性质，找到两个弧所对圆心角的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确弧的度数的相关性质：弧的度数等于它所对的圆心角的度数。观察图形可知，$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角是同一个角$∠ AOB$（即$∠ COD$），因此两个圆心角相等，对应的弧的度数也相等，结合已知$\overset{\frown}{AB}$的度数即可求出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
根据弧的度数的性质：弧的度数等于它所对圆心角的度数。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数为$60°$，
∴$∠ AOB=60°$，
又
∵$∠ COD$与$∠ AOB$是同一个角，即$∠ COD=∠ AOB=60°$，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数等于$∠ COD$的度数，为$60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
弧的度数与圆心角的关系，同心圆的特征
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是掌握弧的度数和对应圆心角度数相等的性质，找到两个弧所对圆心角的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图,将一个圆分割成四个扇形甲、乙、丙、丁,使它们的圆心角的度数比为$1:2:3:4$,则扇形丙的圆心角的度数为
108°
。答案
7. 108°
解析
【分析】
首先明确整圆的圆心角即周角为360°，已知四个扇形的圆心角度数比，先计算比例的总份数，再求出每份对应的圆心角度数，最后结合扇形丙占的份数，乘每份的度数即可求出丙的圆心角度数。
【解析】
∵ 整个圆的圆心角为周角，等于$360°$，四个扇形的圆心角度数比为$1:2:3:4$
∴ 比例总份数为：$1+2+3+4=10$
每份对应的圆心角度数为：$360° ÷ 10 = 36°$
扇形丙的圆心角占3份，因此度数为：$36° × 3 = 108°$
【答案】
$108°$
【知识点】
圆心角的概念，周角的性质，按比例分配
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合周角为$360°$的性质，利用按比例分配的方法计算扇形圆心角，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先明确整圆的圆心角即周角为360°，已知四个扇形的圆心角度数比，先计算比例的总份数，再求出每份对应的圆心角度数，最后结合扇形丙占的份数，乘每份的度数即可求出丙的圆心角度数。
【解析】
∵ 整个圆的圆心角为周角，等于$360°$，四个扇形的圆心角度数比为$1:2:3:4$
∴ 比例总份数为：$1+2+3+4=10$
每份对应的圆心角度数为：$360° ÷ 10 = 36°$
扇形丙的圆心角占3份，因此度数为：$36° × 3 = 108°$
【答案】
$108°$
【知识点】
圆心角的概念，周角的性质，按比例分配
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合周角为$360°$的性质，利用按比例分配的方法计算扇形圆心角，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8. 在$\odot O$中，弦AB等于圆的半径，则该弦所对的弧的度数为
60°或300°
。答案
8. 60°或300°
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件“弦AB等于圆的半径”，联想到连接圆心O与弦的两个端点A、B，构造出圆心角所在的三角形△OAB；由于圆的半径都相等，可推出△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再注意一条非直径的弦对应两条弧：小于半圆的劣弧和大于半圆的优弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数，分别计算两条弧的度数即可，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵弦AB等于圆的半径，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
根据圆心角的度数等于它所对弧的度数：
弦AB所对的劣弧的度数等于∠AOB的度数，为60°；
弦AB所对的优弧的度数为360°-60°=300°。
因此该弦所对的弧的度数为60°或300°。
【答案】
60°或300°
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆心角与弧的度数关系；弦与弧的对应关系
【点评】
本题易错点是忽略弦对应的弧包含劣弧和优弧两种情况，仅计算劣弧的度数造成漏解，解题时需全面考虑圆中弦、圆心角、弧的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知条件“弦AB等于圆的半径”，联想到连接圆心O与弦的两个端点A、B，构造出圆心角所在的三角形△OAB；由于圆的半径都相等，可推出△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再注意一条非直径的弦对应两条弧：小于半圆的劣弧和大于半圆的优弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数，分别计算两条弧的度数即可，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵弦AB等于圆的半径，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
根据圆心角的度数等于它所对弧的度数：
弦AB所对的劣弧的度数等于∠AOB的度数，为60°；
弦AB所对的优弧的度数为360°-60°=300°。
因此该弦所对的弧的度数为60°或300°。
【答案】
60°或300°
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆心角与弧的度数关系；弦与弧的对应关系
【点评】
本题易错点是忽略弦对应的弧包含劣弧和优弧两种情况，仅计算劣弧的度数造成漏解，解题时需全面考虑圆中弦、圆心角、弧的对应关系。
【难度系数】
0.6
